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8.（2026·江苏苏州期中）如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，E，F分别是垂足.若$AB=2AC$，则DE与DF的长度之比是（
A.$1:2$
B.$2:1$
C.$2:3$
D.$3:2$
A
）A.$1:2$
B.$2:1$
C.$2:3$
D.$3:2$
答案
8. A
9. 新素养 推理能力 某班组织了一次数学活动课，老师让同学们谈谈对三角形相关知识的理解.小峰说：“存在这样一些三角形，它们的三条高之比分别为$1:1:2,1:2:3,2:3:4,3:4:5.$”老师说：“有一个三角形是不存在的.”你认为不存在的三角形的三条高之比是（
A.$1:1:2$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
B
）A.$1:1:2$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
答案
9. B
10. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，中线$BD$把三角形的周长分为10和18两部分，则$AB$的长为
12
。答案
10. 12
11. 如图，C为直线AB外一动点，AB＝6，连接CA，CB，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC的长的最小值为
5
。答案
11. 5 解析:如图,连接BF,过点C作$CH ⊥ AB$于点H.因为D,E分别是AB,BC的中点,所以$S_{△ABE}=S_{△ACE}=S_{△ADC}=S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$,$S_{△AFD}=S_{△BFD}$,$S_{△CEF}=S_{△BEF}$. 所以 $S_{△CEF}+S_{四边形BEFD}=S_{△CEF}+S_{△ACF}$,$S_{△AFD}+S_{△CEF}=S_{△BEF}+S_{△BFD}=S_{四边形BEFD}$,即$S_{四边形BEFD}=S_{△ACF}$. 又四边形 BEFD 的面积为 5,所以$S_{△ACF}=5$,$S_{△ABC}=S_{△ACF}+S_{四边形BEFD}+S_{△AFD}+S_{△CEF}=15$,即$\frac{1}{2}CH·AB=15$. 又$AB=6$,所以$CH=5$. 因为垂线段最短,所以$AC≥CH=5$,即 AC 的长的最小值为5。
12. 如图，分别延长$△ ABC$的边$AB$，$BC$，$CA$，使得$BD=AB$，$CE=2BC$，$AF=3CA$。若$△ ABC$的面积为1，则$△ DEF$的面积为________。
答案
12. 18 解析:如图,连接AE,CD. 因为$BD=AB$,$S_{△ABC}=1$,所以$S_{△BCD}=S_{△ABC}=1$. 所以$S_{△ACD}=S_{△ABC}+S_{△BCD}=2$. 因为$CE=2BC$,所以$S_{△ACE}=2S_{△ABC}=2$,$S_{△DCE}=2S_{△BCD}=2$. 因为$AF=3CA$,所以$FC=4CA$. 所以$S_{△FCD}=4S_{△ACD}=8$,$S_{△FCE}=4S_{△ACE}=8$. 所以$S_{△DEF}=S_{△FCD}+S_{△FCE}+S_{△DCE}=18$. 则$△DEF$的面积为 18。
13. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE // AB$交AC于点E，$DF // AC$交AB于点F，连接EF交AD于点O.
(1) DO是$△ DEF$的角平分线吗？为什么？
(2) 若将“DO是$△ DEF$的角平分线”与“AD是$△ ABC$的角平分线”“$DE // AB$”“$DF // AC$”三个条件中的任一条件交换，所得的说法正确吗？请选择一个说明理由.
(1) DO是$△ DEF$的角平分线吗？为什么？
(2) 若将“DO是$△ DEF$的角平分线”与“AD是$△ ABC$的角平分线”“$DE // AB$”“$DF // AC$”三个条件中的任一条件交换，所得的说法正确吗？请选择一个说明理由.
答案
13. (1) DO 是$△DEF$的角平分线. 理由如下:因为 AD 是$△ABC$的角平分线,所以$∠EAD=∠FAD$. 因为$DE// AB$,$DF// AC$,所以$∠FAD=∠EDA$,$∠EAD=∠FDA$. 所以$∠EDA=∠FDA$. 又点 O 在 EF 上,所以 DO 是$△DEF$的角平分线.
(2) 正确.答案不唯一,如:与“$DE// AB$”交换. 理由如下:因为$DF// AC$,所以$∠EAD=∠FDA$. 因为 AD 是$△ABC$的角平分线,DO 是$△DEF$的角平分线,所以$∠EAD=∠FAD$,$∠FDA=∠EDA$. 所以$∠FAD=∠EDA$. 所以$DE// AB$.
(2) 正确.答案不唯一,如:与“$DE// AB$”交换. 理由如下:因为$DF// AC$,所以$∠EAD=∠FDA$. 因为 AD 是$△ABC$的角平分线,DO 是$△DEF$的角平分线,所以$∠EAD=∠FAD$,$∠FDA=∠EDA$. 所以$∠FAD=∠EDA$. 所以$DE// AB$.
14. 如图①，有一块三角形菜地，若从顶点A修一条笔直的小路交BC于点D，小路正好将菜地分成面积相等的两部分.
（1）找出点D的位置，并说明理由；
（2）假设在菜地中有一点E，如图②，BC上是否存在点F，使折线A--E--F将△ABC分为面积相等的两部分？若存在，请找出点F的位置，并说明理由.
（1）找出点D的位置，并说明理由；
（2）假设在菜地中有一点E，如图②，BC上是否存在点F，使折线A--E--F将△ABC分为面积相等的两部分？若存在，请找出点F的位置，并说明理由.
答案
14. (1) 如图①,取 BC 的中点 D,点 D 即为所求.理由如下:连接 AD. 因为 D 为 BC 的中点,所以$BD=CD$,即$△ABD$与$△ACD$等底同高. 所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2) 存在. 如图②,取 BC 的中点 D,连接 AD,AE,DE,过点 A 作$AF// DE$,交 BC 于点 F,点 F 即为所求. 理由如下:连接 EF 交 AD 于点 O. 因为 D 为 BC 的中点,所以$S_{△ADB}=S_{△ADC}$. 因为$DE// AF$,所以点 D 到 AF 的距离与点 E 到 AF 的距离相等,即$S_{△AEF}=S_{△ADF}$. 所以$S_{△AEO}=S_{△DFO}$,即$S_{四边形ABFE}=S_{四边形AEFC}$。
