22.(10分)如图,在三角形ABC中,点D,F在边BC上,点E在边AB上,点G在边AC上,连结AD,EF,GD,延长EF与GD交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°。
(1)EH与AD平行吗?为什么?
(2)若∠DGC=58°,且∠H=∠4+10°,求∠H的度数。

22.(1)EH//AD。理由如下：因为∠1=∠B，所以AB//GD。所以∠2=∠BAD。又因为∠2+∠3=180°，所以∠BAD+∠3=180°。所以EH//AD。
(2)因为EH//AD，所以∠2=∠H。所以∠H=∠BAD。由(1)得AB//GD。所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°。又因为∠H=∠4+10°，所以∠4+10°+∠4=58°，解得∠4=24°。所以∠H=34°。

【分析】
要判断EH与AD是否平行，需利用平行线的判定定理，先通过∠1=∠B推出AB//GD，得到∠2与∠BAD的关系，再结合已知的∠2+∠3=180°，推导同旁内角互补，从而证明EH//AD；第(2)问利用平行线的性质，结合已知∠DGC的度数和∠H与∠4的关系，通过角度等量代换求解∠H的度数。
【解析】
(1) EH//AD，理由如下：
∵ ∠1=∠B（已知），
∴ AB//GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠BAD+∠3=180°（等量代换），
∴ EH//AD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 由(1)知EH//AD，AB//GD，
∵ AB//GD，
∴ ∠BAC=∠DGC=58°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠BAC=∠BAD+∠4，且由EH//AD得∠2=∠H，结合AB//GD得∠2=∠BAD，故∠BAD=∠H，
∴ ∠H + ∠4 = 58°。
已知∠H=∠4+10°，代入得：
∠4+10° + ∠4 =58°，
解得∠4=24°，
∴ ∠H=24°+10°=34°。
【答案】
(1) EH与AD平行，理由见解析；(2) ∠H的度数为34°。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题核心是通过角度关系推导直线平行，再利用平行关系进行角度等量代换，逻辑推导清晰，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.6

23. (10分)定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c(abc≠0,a≠c)$中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的新方程叫作原方程的“友好方程”。例如:方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$。
(1)求方程$x+2y=3$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,求方程$ax+by=c$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的“友好方程”,求$\frac{m}{n}$的值。

23.(1)方程x+2y=3的“友好方程”为3x+2y=1，所以$\begin{cases} x+2y=3 ①, \\ 3x+2y=1 ②。 \end{cases}$ ①−②，得−2x=2，解得x=−1，把x=−1代入①中，得y=2，所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=2。 \end{cases}$
(2)方程ax+by=c的“友好方程”为cx+by=a，所以$\begin{cases} ax+by=c ①, \\ cx+by=a ②。 \end{cases}$ ①−②得(a−c)x=c−a，解得x=−1，把x=−1代入①中，得−a+by=c，所以by=a+c。因为a+b+c=0，即a+c=−b，所以by=−b。所以y=−1。所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1。 \end{cases}$
(3)因为关于x,y的二元一次方程(3m−t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m−1的“友好方程”，所以$\begin{cases} 3m-t=m-1 ①, \\ 2+n=m+2t ②。 \end{cases}$
由①得t=2m+1，代入②中，得2+n=m+2(2m+1)，即5m=n，所以$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{5}$。

【分析】
本题需先明确“友好方程”的定义：对于二元一次方程$ax+by=c$，其“友好方程”为$cx+by=a$（常数项$c$与$x$的系数$a$互换），再结合二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法）分三小问求解：
(1) 先根据定义写出原方程的友好方程，联立成方程组后用加减消元法求解；
(2) 联立原方程与友好方程的方程组，利用已知条件$a+b+c=0$，通过消元法求方程组的解；
(3) 根据“友好方程”的对应关系，列出关于$m、n、t$的方程组，消去参数$t$后推导$m$与$n$的关系，进而求$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
(1) 方程$x+2y=3$的“友好方程”为$3x+2y=1$，联立得方程组：
$\begin{cases} x+2y=3 ① \\ 3x+2y=1 ② \end{cases}$
①$-$②得：$-2x=2$，解得$x=-1$，将$x=-1$代入①得：$-1+2y=3$，解得$y=2$，故方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) 方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$，联立得方程组：
$\begin{cases} ax+by=c ① \\ cx+by=a ② \end{cases}$
①$-$②得：$(a-c)x=c-a$，即$(a-c)x=-(a-c)$，因$a≠c$，故$x=-1$；
将$x=-1$代入①得：$-a+by=c$，即$by=a+c$，又因$a+b+c=0$，则$a+c=-b$，故$by=-b$，因$b≠0$，得$y=-1$，故方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$。
(3) 由“友好方程”定义，对应系数得：
$\begin{cases} 3m-t=m-1 ① \\ 2+n=m+2t ② \end{cases}$
由①得：$t=2m+1$，代入②得：$2+n=m+2(2m+1)$，化简得$2+n=5m+2$，即$n=5m$，故$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$；(3) $\frac{1}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解、新定义运算
【点评】
本题为新定义结合二元一次方程组的题型，核心是准确理解“友好方程”的定义，再运用加减消元法、代入消元法求解方程组，考查学生的阅读理解能力与代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6