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24.(12分)某科技小组制作了甲、乙两个机器人,请阅读下列性能测试信息,完成相应任务。
性能信息
1.两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；
2.标准模式的速度比基础模式的速度快10m/min；
3.全速模式速度是标准模式速度的两倍。
测试信息
实验1:测各模式速度。
标准模式下300m测试路程所花时间与基础模式200m测试路程所花时间相等。
实验2:测5min(包括故障时间)所跑路程。
信息一:甲、乙同时图 发,同向而行。
信息二:甲全程在标准模式下完成跑步。
信息三:乙先在全速模式下跑步,1min后发生故障,用$a$min紧急调试后切换为基础模式继续跑了70m。
任务
任务一:求基础模式和标准模式的速度。
任务二:求实验2中机器人乙故障时长$a$的值。
任务三:求实验2整个过程中第几分钟时,两个机器人之间的距离等于10m。
性能信息
1.两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；
2.标准模式的速度比基础模式的速度快10m/min；
3.全速模式速度是标准模式速度的两倍。
测试信息
实验1:测各模式速度。
标准模式下300m测试路程所花时间与基础模式200m测试路程所花时间相等。
实验2:测5min(包括故障时间)所跑路程。
信息一:甲、乙同时
信息二:甲全程在标准模式下完成跑步。
信息三:乙先在全速模式下跑步,1min后发生故障,用$a$min紧急调试后切换为基础模式继续跑了70m。
任务
任务一:求基础模式和标准模式的速度。
任务二:求实验2中机器人乙故障时长$a$的值。
任务三:求实验2整个过程中第几分钟时,两个机器人之间的距离等于10m。
答案
24.任务一：设基础模式的速度为x m/min，则标准模式的速度为(x+10) m/min。根据题意得$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$，解得x=20。经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，所以x+10=20+10=30。所以基础模式的速度为20 m/min，标准模式的速度为30 m/min。
任务二：根据题意得$1+a+\dfrac{70}{20}=5$，解得a=0.5。所以实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5。
任务三：设甲的运动时间为t(min)。当0＜t≤1时，30×2t−30t=10，解得$t=\dfrac{1}{3}$；当1＜t≤1.5时，30×2×1−30t=10，解得$t=\dfrac{5}{3}$(不符合题意，舍去)；当1.5＜t≤5时，$|30×2×1+20(t−1.5)−30t|=10$，解得t=2或t=4。综上所述，实验2整个过程中第$\dfrac{1}{3}$或2或4 min时，两个机器人之间的距离等于10 m。
任务二：根据题意得$1+a+\dfrac{70}{20}=5$，解得a=0.5。所以实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5。
任务三：设甲的运动时间为t(min)。当0＜t≤1时，30×2t−30t=10，解得$t=\dfrac{1}{3}$；当1＜t≤1.5时，30×2×1−30t=10，解得$t=\dfrac{5}{3}$(不符合题意，舍去)；当1.5＜t≤5时，$|30×2×1+20(t−1.5)−30t|=10$，解得t=2或t=4。综上所述，实验2整个过程中第$\dfrac{1}{3}$或2或4 min时，两个机器人之间的距离等于10 m。
解析
【分析】
首先，任务一：根据“标准模式速度比基础模式快10m/min”设未知数，利用“标准模式跑300m的时间与基础模式跑200m的时间相等”的等量关系，结合时间=路程/速度列分式方程求解，需检验解的合理性；任务二：明确机器人乙总运动时间为5min，将乙的过程分为全速跑、故障调试、基础模式跑步三段，三段时间之和等于5min，结合基础模式速度列一元一次方程求故障时长；任务三：分时间段讨论两机器人的路程差，根据不同阶段乙的运动状态（全速、故障、基础模式），分别计算两者路程，利用距离=路程差=10m列方程，综合所有符合条件的解。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$ m/min，则标准模式的速度为$(x+10)$ m/min。
根据题意，标准模式跑300m的时间与基础模式跑200m的时间相等，列方程：$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$
解方程：交叉相乘得$300x=200(x+10)$，化简得$100x=2000$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合题意。则标准模式速度为$20+10=30$ m/min。
答：基础模式的速度为20 m/min，标准模式的速度为30 m/min。
任务二：由任务一知基础模式速度为20 m/min，乙的总时间为5min，其过程时间和为：全速跑1min + 故障调试$a$ min + 基础跑70m的时间（$\dfrac{70}{20}$ min），列方程：
$1+a+\dfrac{70}{20}=5$
化简得$1+a+3.5=5$，解得$a=0.5$。
答：实验2中机器人乙故障时长$a$的值为0.5。
任务三：设甲的运动时间为$t$ min，分情况讨论：
①当$0＜t≤1$时，乙为全速模式，速度为$2×30=60$ m/min，甲速度为30 m/min，两者距离为$60t - 30t=10$，解得$t=\dfrac{1}{3}$，符合区间；
②当$1＜t≤1.5$时，乙处于故障阶段，路程为$60×1=60$ m，甲路程为$30t$，距离为$|60 - 30t|=10$，解得$t=\dfrac{5}{3}$或$t=\dfrac{7}{3}$，均不在区间内，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时，乙故障后路程为$60 + 20(t - 1.5)$，甲路程为$30t$，距离为$|60 + 20(t - 1.5) - 30t|=10$，化简得$|30 -10t|=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合区间。
综上，第$\dfrac{1}{3}$、2、4 min时，两机器人距离为10m。
【答案】
任务一：基础模式速度为20 m/min，标准模式速度为30 m/min；任务二：$a=0.5$；任务三：第$\dfrac{1}{3}$、2或4 min时，两个机器人之间的距离等于10 m。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题结合实际场景考查行程问题的应用，需准确梳理各阶段的运动状态，任务三的分段讨论是难点，易因漏分情况导致错误，解题时需仔细分析每个时间段的速度与路程关系。
【难度系数】
0.6
首先，任务一：根据“标准模式速度比基础模式快10m/min”设未知数，利用“标准模式跑300m的时间与基础模式跑200m的时间相等”的等量关系，结合时间=路程/速度列分式方程求解，需检验解的合理性；任务二：明确机器人乙总运动时间为5min，将乙的过程分为全速跑、故障调试、基础模式跑步三段，三段时间之和等于5min，结合基础模式速度列一元一次方程求故障时长；任务三：分时间段讨论两机器人的路程差，根据不同阶段乙的运动状态（全速、故障、基础模式），分别计算两者路程，利用距离=路程差=10m列方程，综合所有符合条件的解。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$ m/min，则标准模式的速度为$(x+10)$ m/min。
根据题意，标准模式跑300m的时间与基础模式跑200m的时间相等，列方程：$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$
解方程：交叉相乘得$300x=200(x+10)$，化简得$100x=2000$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合题意。则标准模式速度为$20+10=30$ m/min。
答：基础模式的速度为20 m/min，标准模式的速度为30 m/min。
任务二：由任务一知基础模式速度为20 m/min，乙的总时间为5min，其过程时间和为：全速跑1min + 故障调试$a$ min + 基础跑70m的时间（$\dfrac{70}{20}$ min），列方程：
$1+a+\dfrac{70}{20}=5$
化简得$1+a+3.5=5$，解得$a=0.5$。
答：实验2中机器人乙故障时长$a$的值为0.5。
任务三：设甲的运动时间为$t$ min，分情况讨论：
①当$0＜t≤1$时，乙为全速模式，速度为$2×30=60$ m/min，甲速度为30 m/min，两者距离为$60t - 30t=10$，解得$t=\dfrac{1}{3}$，符合区间；
②当$1＜t≤1.5$时，乙处于故障阶段，路程为$60×1=60$ m，甲路程为$30t$，距离为$|60 - 30t|=10$，解得$t=\dfrac{5}{3}$或$t=\dfrac{7}{3}$，均不在区间内，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时，乙故障后路程为$60 + 20(t - 1.5)$，甲路程为$30t$，距离为$|60 + 20(t - 1.5) - 30t|=10$，化简得$|30 -10t|=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合区间。
综上，第$\dfrac{1}{3}$、2、4 min时，两机器人距离为10m。
【答案】
任务一：基础模式速度为20 m/min，标准模式速度为30 m/min；任务二：$a=0.5$；任务三：第$\dfrac{1}{3}$、2或4 min时，两个机器人之间的距离等于10 m。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题结合实际场景考查行程问题的应用，需准确梳理各阶段的运动状态，任务三的分段讨论是难点，易因漏分情况导致错误，解题时需仔细分析每个时间段的速度与路程关系。
【难度系数】
0.6
