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1. 下列各曲线中,y是x的函数的是(
A.
B
).A.
答案
1. B 【点拨】本题考查函数的定义.
【解析】在A,C,D选项中,对于某些x的值,y有两个或两个以上的值与其对应,在B选项中,任意符合条件的x,都有唯一确定的y值与其对应,y是x的函数. 故选B.
【解析】在A,C,D选项中,对于某些x的值,y有两个或两个以上的值与其对应,在B选项中,任意符合条件的x,都有唯一确定的y值与其对应,y是x的函数. 故选B.
解析
【分析】要判断y是否为x的函数，需依据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。可通过“垂直x轴的直线与曲线的交点个数”辅助判断，若交点仅1个，则y是x的函数；若有多个交点，则不是。据此逐一分析选项即可。
【解析】根据函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
选项A：作垂直于x轴的直线，与圆有2个交点，说明存在x对应2个y值，不符合函数定义；
选项B：作垂直于x轴的直线，与曲线只有1个交点，说明任意x都对应唯一的y值，符合函数定义；
选项C：作垂直于x轴的直线，与曲线有2个交点，说明存在x对应2个y值，不符合函数定义；
选项D：作垂直于x轴的直线，与曲线有2个交点，说明存在x对应2个y值，不符合函数定义。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】函数的定义
【点评】本题考查函数的基本定义，核心是理解“唯一确定”的对应关系，属于基础题，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】根据函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
选项A：作垂直于x轴的直线，与圆有2个交点，说明存在x对应2个y值，不符合函数定义；
选项B：作垂直于x轴的直线，与曲线只有1个交点，说明任意x都对应唯一的y值，符合函数定义；
选项C：作垂直于x轴的直线，与曲线有2个交点，说明存在x对应2个y值，不符合函数定义；
选项D：作垂直于x轴的直线，与曲线有2个交点，说明存在x对应2个y值，不符合函数定义。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】函数的定义
【点评】本题考查函数的基本定义，核心是理解“唯一确定”的对应关系，属于基础题，难度不大。
【难度系数】0.6
2. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B
).A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
答案
2. B 【点拨】本题考查二次根式的运算.
【解析】$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式,不能合并,A错误;$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×6}=\sqrt{3}$,B正确;$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$,C错误;$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$,D错误. 故选B.
【解析】$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式,不能合并,A错误;$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×6}=\sqrt{3}$,B正确;$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$,C错误;$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$,D错误. 故选B.
解析
【分析】
本题是判断二次根式运算的正确性，需回忆二次根式的加减、乘除法则及二次根式的性质，逐个分析选项：首先明确只有同类二次根式才能合并，二次根式乘法需满足被开方数非负，二次根式的结果为非负数，再逐一验证每个选项的运算是否正确。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，故A错误；
选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$，计算得$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{1}{2} × 6} = \sqrt{3}$，故B正确；
选项C：同类二次根式相减，系数相减，根式不变，$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3} ≠ 1$，故C错误；
选项D：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$，$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 ≠ -3$，故D错误；
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，涵盖同类二次根式合并、二次根式乘法法则、二次根式性质等核心知识点，属于基础题型，需学生准确掌握二次根式的运算法则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题是判断二次根式运算的正确性，需回忆二次根式的加减、乘除法则及二次根式的性质，逐个分析选项：首先明确只有同类二次根式才能合并，二次根式乘法需满足被开方数非负，二次根式的结果为非负数，再逐一验证每个选项的运算是否正确。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，故A错误；
选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$，计算得$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{1}{2} × 6} = \sqrt{3}$，故B正确；
选项C：同类二次根式相减，系数相减，根式不变，$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3} ≠ 1$，故C错误；
选项D：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$，$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 ≠ -3$，故D错误；
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，涵盖同类二次根式合并、二次根式乘法法则、二次根式性质等核心知识点，属于基础题型，需学生准确掌握二次根式的运算法则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
3. 某组数据平均数为10,其中一个数据关于平均数的离差为-3,则该数据是(
A.7
B.10
C.13
D.无法确定
A
).A.7
B.10
C.13
D.无法确定
答案
3. A 【点拨】本题考查离差.
【解析】由离差公式$x_i - \overline{x} = -3$,$\overline{x}=10$,可得$x_i=10-3=7$. 故选A.
【解析】由离差公式$x_i - \overline{x} = -3$,$\overline{x}=10$,可得$x_i=10-3=7$. 故选A.
解析
【分析】
首先明确离差的定义：离差是指一组数据中某个数据与这组数据平均数的差，即离差=该数据-平均数。解题时，利用已知的平均数和离差，代入离差公式变形即可求出对应的数据，进而选出正确选项。
【解析】
设该数据为$x_i$，根据离差公式：离差 = $x_i - \overline{x}$（$\overline{x}$为平均数），已知$\overline{x}=10$，离差为-3，代入公式得：$x_i - 10 = -3$，解得$x_i = 10 - 3 = 7$，因此该数据是7，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
离差的概念
【点评】
本题考查基础的离差公式应用，属于概念类基础题，只要牢记离差的定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8
首先明确离差的定义：离差是指一组数据中某个数据与这组数据平均数的差，即离差=该数据-平均数。解题时，利用已知的平均数和离差，代入离差公式变形即可求出对应的数据，进而选出正确选项。
【解析】
设该数据为$x_i$，根据离差公式：离差 = $x_i - \overline{x}$（$\overline{x}$为平均数），已知$\overline{x}=10$，离差为-3，代入公式得：$x_i - 10 = -3$，解得$x_i = 10 - 3 = 7$，因此该数据是7，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
离差的概念
【点评】
本题考查基础的离差公式应用，属于概念类基础题，只要牢记离差的定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 对于函数$y = -4x + 3$,下列结论正确的是(
A.它的图象必经过点$(-1,1)$
B.它的图象不经过第三象限
C.当$x ＞ 0$时,$y ＞ 0$
D.$y$随$x$的增大而增大
B
).A.它的图象必经过点$(-1,1)$
B.它的图象不经过第三象限
C.当$x ＞ 0$时,$y ＞ 0$
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
4. B 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质.
【解析】对于函数$y = -4x + 3$,令$x = -1$,得$y = -4 × (-1) + 3 = 7$,其图象必经过点$(-1,7)$,而不经过点$(-1,1)$,A错误;$\because k = -4 ＜ 0$,$b = 3 ＞ 0$,$\therefore$ 其图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,B正确;令$y = -4x + 3 = 0$,则$x = \dfrac{3}{4}$. 又$\because k = -4 ＜ 0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x ＜ \dfrac{3}{4}$时,$y ＞ 0$,当$x ＞ \dfrac{3}{4}$时,$y ＜ 0$,C,D错误. 故选B.
【解析】对于函数$y = -4x + 3$,令$x = -1$,得$y = -4 × (-1) + 3 = 7$,其图象必经过点$(-1,7)$,而不经过点$(-1,1)$,A错误;$\because k = -4 ＜ 0$,$b = 3 ＞ 0$,$\therefore$ 其图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,B正确;令$y = -4x + 3 = 0$,则$x = \dfrac{3}{4}$. 又$\because k = -4 ＜ 0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x ＜ \dfrac{3}{4}$时,$y ＞ 0$,当$x ＞ \dfrac{3}{4}$时,$y ＜ 0$,C,D错误. 故选B.
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路是逐个分析每个选项：A选项通过代入x值计算对应的y值，判断点是否在函数图象上；B选项根据一次函数中k、b的符号确定图象经过的象限；C选项先求y=0时的x值，再结合k的符号判断x＞0时y的取值；D选项根据k的符号判断y随x的变化趋势，最终选出正确选项。
【解析】
对于函数$y = -4x + 3$，逐一分析选项：
选项A：令$x=-1$，代入函数得$y=-4×(-1)+3=7$，因此图象经过点$(-1,7)$，而非$(-1,1)$，A错误；
选项B：一次函数中$k=-4＜0$，$b=3＞0$，根据一次函数图象性质，当$k＜0$、$b＞0$时，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，B正确；
选项C：令$y=0$，解得$x=\frac{3}{4}$，又因为$k=-4＜0$，$y$随$x$增大而减小，所以当$x＞\frac{3}{4}$时$y＜0$，并非$x＞0$时$y＞0$，C错误；
选项D：$k=-4＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小，而非增大，D错误；
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象、一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数的基础题型，主要考查一次函数图象与系数的关系，需熟练掌握k、b对函数图象的影响，以及点在函数图象上的判定方法，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.6
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路是逐个分析每个选项：A选项通过代入x值计算对应的y值，判断点是否在函数图象上；B选项根据一次函数中k、b的符号确定图象经过的象限；C选项先求y=0时的x值，再结合k的符号判断x＞0时y的取值；D选项根据k的符号判断y随x的变化趋势，最终选出正确选项。
【解析】
对于函数$y = -4x + 3$，逐一分析选项：
选项A：令$x=-1$，代入函数得$y=-4×(-1)+3=7$，因此图象经过点$(-1,7)$，而非$(-1,1)$，A错误；
选项B：一次函数中$k=-4＜0$，$b=3＞0$，根据一次函数图象性质，当$k＜0$、$b＞0$时，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，B正确；
选项C：令$y=0$，解得$x=\frac{3}{4}$，又因为$k=-4＜0$，$y$随$x$增大而减小，所以当$x＞\frac{3}{4}$时$y＜0$，并非$x＞0$时$y＞0$，C错误；
选项D：$k=-4＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小，而非增大，D错误；
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象、一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数的基础题型，主要考查一次函数图象与系数的关系，需熟练掌握k、b对函数图象的影响，以及点在函数图象上的判定方法，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.6
5. 如图,点 P 是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AC$(不与$A,C$重合)上一动点,分别作$PM ⊥ AB$于点$M$,$PN ⊥ BC$于点$N$,点$O$是$MN$的中点,若$AB=9$,$BC=12$,当点$P$在$AC$上运动时,$BO$的最小值是(
A.3
B.3.6
C.3.75
D.4
B
).A.3
B.3.6
C.3.75
D.4
答案
5. B 【点拨】本题考查勾股定理,矩形的判定与性质,垂线段最短,等面积法求点到直线的距离.
【解析】如题图,连接OP.$\because ∠ ABC = 90°$,$PM ⊥ AB$,$PN ⊥ BC$,$\therefore$ 四边形BMPN是矩形,$\therefore B,O,P$三点共线,$BP = MN$,$BP$与MN相互平分.$\because$ 点O是MN的中点,$\therefore BO = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}BP$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 15$,当$BP ⊥ AC$时,$BP_{\mathrm{最小}} = \dfrac{AB × BC}{AC} = \dfrac{9 × 12}{15} = 7.2$,$\therefore BO$的最小值为$\dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}BP = 3.6$. 故选B.
【解析】如题图,连接OP.$\because ∠ ABC = 90°$,$PM ⊥ AB$,$PN ⊥ BC$,$\therefore$ 四边形BMPN是矩形,$\therefore B,O,P$三点共线,$BP = MN$,$BP$与MN相互平分.$\because$ 点O是MN的中点,$\therefore BO = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}BP$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 15$,当$BP ⊥ AC$时,$BP_{\mathrm{最小}} = \dfrac{AB × BC}{AC} = \dfrac{9 × 12}{15} = 7.2$,$\therefore BO$的最小值为$\dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}BP = 3.6$. 故选B.
解析
【分析】要解决BO的最小值问题，首先观察图形，由已知垂直条件可判定四边形BMPN为矩形，利用矩形性质推导BO与BP的数量关系；再根据“垂线段最短”确定BP的最小值，最后通过勾股定理和等面积法计算BP的最小值，进而求出BO的最小值。
【解析】连接BP。
∵ ∠ABC=90°，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴ 四边形BMPN是矩形，
∴ MN=BP，且矩形对角线互相平分，
又
∵ 点O是MN的中点，
∴ BO = 1/2 MN = 1/2 BP。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC = √(AB² + BC²) = √(9² + 12²) = 15，
根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP取得最小值，利用三角形面积等积法：
S△ABC = 1/2 × AB × BC = 1/2 × AC × BP，
代入数值计算得：BP = (AB × BC)/AC = (9×12)/15 = 7.2，
∴ BO的最小值为 1/2 × BP = 1/2 ×7.2 = 3.6。
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】本题综合考查矩形性质、垂线段最短及勾股定理，核心是将BO的最小值转化为BP的最小值，通过等积法计算BP长度，解题关键是发现BO与BP的关系，属于中等难度几何题。
【难度系数】0.5
【解析】连接BP。
∵ ∠ABC=90°，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴ 四边形BMPN是矩形，
∴ MN=BP，且矩形对角线互相平分，
又
∵ 点O是MN的中点，
∴ BO = 1/2 MN = 1/2 BP。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC = √(AB² + BC²) = √(9² + 12²) = 15，
根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP取得最小值，利用三角形面积等积法：
S△ABC = 1/2 × AB × BC = 1/2 × AC × BP，
代入数值计算得：BP = (AB × BC)/AC = (9×12)/15 = 7.2，
∴ BO的最小值为 1/2 × BP = 1/2 ×7.2 = 3.6。
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】本题综合考查矩形性质、垂线段最短及勾股定理，核心是将BO的最小值转化为BP的最小值，通过等积法计算BP长度，解题关键是发现BO与BP的关系，属于中等难度几何题。
【难度系数】0.5
6. 如图,在面积为6的菱形ABCD中,点P沿A→B→C→D的路径移动,设点P经过的路径长为x,△ADP的面积为y,则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(
A.
A
).A.
答案
6. A 【点拨】本题考查动点问题的函数图象,菱形的性质,三角形面积公式.
【解析】设$AB = BC = CD = a$,菱形的高为h,点P沿$A \to B$移动时,$△ ADP$的面积$y = \dfrac{1}{2}xh(0 ≤ x ≤ a)$,$y$是关于x的正比例函数,y随x的增大而增大,点P沿$B \to C$移动时,$△ ADP$的面积$y = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 3$,保持不变. 当点P沿$C \to D$移动时,$△ ADP$的面积$y = \dfrac{1}{2} × (3a - x) × h = -\dfrac{1}{2}hx + \dfrac{3ah}{2}$,$y$是关于x的一次函数,y随x的增大而减小,$\therefore$ 能大致反映y和x的函数关系的图象是A. 故选A.
【解析】设$AB = BC = CD = a$,菱形的高为h,点P沿$A \to B$移动时,$△ ADP$的面积$y = \dfrac{1}{2}xh(0 ≤ x ≤ a)$,$y$是关于x的正比例函数,y随x的增大而增大,点P沿$B \to C$移动时,$△ ADP$的面积$y = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 3$,保持不变. 当点P沿$C \to D$移动时,$△ ADP$的面积$y = \dfrac{1}{2} × (3a - x) × h = -\dfrac{1}{2}hx + \dfrac{3ah}{2}$,$y$是关于x的一次函数,y随x的增大而减小,$\therefore$ 能大致反映y和x的函数关系的图象是A. 故选A.
解析
【分析】
本题是菱形背景下的动点函数图象问题，解题思路为：将点P的移动路径分为A→B、B→C、C→D三段，分别分析每一段中△ADP的面积y随路径长x的变化规律，结合函数图象的特征，选出符合的选项。
【解析】
设菱形ABCD的边长为$a$，高为$h$，由菱形面积公式得$ah=6$。
1. 当点P沿$A \to B$移动时，路径长$x$的范围是$0 ≤ x ≤ a$，此时$△ ADP$的底为$AP=x$，高为菱形的高$h$，根据三角形面积公式得：$y=\dfrac{1}{2}xh$，$y$是关于$x$的正比例函数，随$x$增大而增大；
2. 当点P沿$B \to C$移动时，路径长$x$的范围是$a ＜ x ≤ 2a$，此时$△ ADP$的底为菱形的边$AD=a$，高仍为菱形的高$h$，所以$y=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2} × 6=3$，面积保持不变；
3. 当点P沿$C \to D$移动时，路径长$x$的范围是$2a ＜ x ≤ 3a$，此时$△ ADP$的底为$DP=3a - x$，高为菱形的高$h$，所以$y=\dfrac{1}{2}(3a - x)h=-\dfrac{1}{2}hx + \dfrac{3ah}{2}$，$y$是关于$x$的一次函数，随$x$增大而减小。
综上，$y$随$x$的变化为：先上升，再水平，再下降，对应图象为选项A。
【答案】
A
【知识点】
动点问题的函数图象、菱形的性质、三角形面积公式
【点评】
本题结合菱形性质与动点变化，分阶段分析函数关系，考查数形结合思想，是初中数学常见的中档题型，需明确各阶段图形的面积计算依据。
【难度系数】
0.5
本题是菱形背景下的动点函数图象问题，解题思路为：将点P的移动路径分为A→B、B→C、C→D三段，分别分析每一段中△ADP的面积y随路径长x的变化规律，结合函数图象的特征，选出符合的选项。
【解析】
设菱形ABCD的边长为$a$，高为$h$，由菱形面积公式得$ah=6$。
1. 当点P沿$A \to B$移动时，路径长$x$的范围是$0 ≤ x ≤ a$，此时$△ ADP$的底为$AP=x$，高为菱形的高$h$，根据三角形面积公式得：$y=\dfrac{1}{2}xh$，$y$是关于$x$的正比例函数，随$x$增大而增大；
2. 当点P沿$B \to C$移动时，路径长$x$的范围是$a ＜ x ≤ 2a$，此时$△ ADP$的底为菱形的边$AD=a$，高仍为菱形的高$h$，所以$y=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2} × 6=3$，面积保持不变；
3. 当点P沿$C \to D$移动时，路径长$x$的范围是$2a ＜ x ≤ 3a$，此时$△ ADP$的底为$DP=3a - x$，高为菱形的高$h$，所以$y=\dfrac{1}{2}(3a - x)h=-\dfrac{1}{2}hx + \dfrac{3ah}{2}$，$y$是关于$x$的一次函数，随$x$增大而减小。
综上，$y$随$x$的变化为：先上升，再水平，再下降，对应图象为选项A。
【答案】
A
【知识点】
动点问题的函数图象、菱形的性质、三角形面积公式
【点评】
本题结合菱形性质与动点变化，分阶段分析函数关系，考查数形结合思想，是初中数学常见的中档题型，需明确各阶段图形的面积计算依据。
【难度系数】
0.5
