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7. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E.点F,G分别是AD,AE的中点,则FG的长为(
A.$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.4
D.5
B
).A.$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.4
D.5
答案
7. B 【点拨】本题考查矩形的性质,角平分线的定义,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理.
【解析】如题图,连接DE,由题意得,$AB = CD = 6$,$AD = BC = 8$,$∠ BAD = ∠ B = ∠ C = 90°$. $\because AE$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE = ∠ DAE = \dfrac{1}{2}∠ BAD = 45°$,$\therefore △ BAE$是等腰直角三角形,$\therefore BE = AB = 6$,$\therefore CE = BC - BE = 8 - 6 = 2$,在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$DE = \sqrt{CD^2 + CE^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$. 又$\because$ 点F,G分别是AD,AE的中点,$\therefore FG = \dfrac{1}{2}DE = \sqrt{10}$. 故选B.
【解析】如题图,连接DE,由题意得,$AB = CD = 6$,$AD = BC = 8$,$∠ BAD = ∠ B = ∠ C = 90°$. $\because AE$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE = ∠ DAE = \dfrac{1}{2}∠ BAD = 45°$,$\therefore △ BAE$是等腰直角三角形,$\therefore BE = AB = 6$,$\therefore CE = BC - BE = 8 - 6 = 2$,在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$DE = \sqrt{CD^2 + CE^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$. 又$\because$ 点F,G分别是AD,AE的中点,$\therefore FG = \dfrac{1}{2}DE = \sqrt{10}$. 故选B.
解析
【分析】
要计算FG的长度，首先观察到F、G分别是AD、AE的中点，可利用三角形中位线定理，FG是△ADE的中位线，因此FG=½DE，只需先求出DE的长度即可。结合矩形性质和角平分线定义，先判断△ABE为等腰直角三角形，求出BE，进而得到CE，再在Rt△CDE中用勾股定理算出DE，最后代入中位线公式得到FG。
【解析】
1. 由矩形ABCD的性质得：AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠B=∠C=90°。
2. 因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE=½∠BAD=45°，故△BAE是等腰直角三角形，得BE=AB=6。
3. 计算CE：CE=BC - BE=8 - 6=2。
4. 在Rt△CDE中，根据勾股定理：DE=√(CD² + CE²)=√(6² + 2²)=√(36 + 4)=2√10。
5. 因为F、G分别是AD、AE的中点，根据三角形中位线定理：FG=½DE=½×2√10=√10。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、角平分线、等腰直角三角形、勾股定理和三角形中位线的知识，解题核心是利用中位线定理转化线段，再结合矩形性质与勾股定理计算，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
要计算FG的长度，首先观察到F、G分别是AD、AE的中点，可利用三角形中位线定理，FG是△ADE的中位线，因此FG=½DE，只需先求出DE的长度即可。结合矩形性质和角平分线定义，先判断△ABE为等腰直角三角形，求出BE，进而得到CE，再在Rt△CDE中用勾股定理算出DE，最后代入中位线公式得到FG。
【解析】
1. 由矩形ABCD的性质得：AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠B=∠C=90°。
2. 因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE=½∠BAD=45°，故△BAE是等腰直角三角形，得BE=AB=6。
3. 计算CE：CE=BC - BE=8 - 6=2。
4. 在Rt△CDE中，根据勾股定理：DE=√(CD² + CE²)=√(6² + 2²)=√(36 + 4)=2√10。
5. 因为F、G分别是AD、AE的中点，根据三角形中位线定理：FG=½DE=½×2√10=√10。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、角平分线、等腰直角三角形、勾股定理和三角形中位线的知识，解题核心是利用中位线定理转化线段，再结合矩形性质与勾股定理计算，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
8. 若点$A(x_{1},-3),B(x_{2},-4),C(x_{3},1)$在一次函数$y=-(k^{2}+1)x+4$的图象上，则$x_{1},x_{2},x_{3}$的大小关系是(
A.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
B.$x_{3}＜x_{1}＜x_{2}$
C.$x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$
D.$x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
B
).A.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
B.$x_{3}＜x_{1}＜x_{2}$
C.$x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$
D.$x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
答案
8. B 【点拨】本题考查平方数的非负性,一次函数的性质.
【解析】$\because k^2 ≥ 0$,$\therefore k^2 + 1 ≥ 1$,$\therefore -(k^2 + 1) ＜ 0$,$\therefore$ 一次函数$y = -(k^2 + 1)x + 4$中,y随x的增大而减小,又$\because$ 点$A(x_1,-3)$,$B(x_2,-4)$,$C(x_3,1)$在一次函数$y = -(k^2 + 1)x + 4$的图象上,且$1 ＞ -3 ＞ -4$,$\therefore x_3 ＜ x_1 ＜ x_2$. 故选B.
【解析】$\because k^2 ≥ 0$,$\therefore k^2 + 1 ≥ 1$,$\therefore -(k^2 + 1) ＜ 0$,$\therefore$ 一次函数$y = -(k^2 + 1)x + 4$中,y随x的增大而减小,又$\because$ 点$A(x_1,-3)$,$B(x_2,-4)$,$C(x_3,1)$在一次函数$y = -(k^2 + 1)x + 4$的图象上,且$1 ＞ -3 ＞ -4$,$\therefore x_3 ＜ x_1 ＜ x_2$. 故选B.
解析
【分析】
要解决本题，需先根据平方数的非负性确定一次函数的增减性，再利用增减性结合三个点的y值大小，判断对应x的大小关系。
【解析】
1. 判断一次函数的增减性：
因为任何数的平方都为非负数，即$k^2 ≥ 0$，所以$k^2 + 1 ≥ 1$，进而可得$-(k^2 + 1) ＜ 0$，因此一次函数$y = -(k^2 + 1)x + 4$中，y随x的增大而减小。
2. 比较三个点的y值：
三个点的y值分别为$y_A=-3$，$y_B=-4$，$y_C=1$，显然$1 ＞ -3 ＞ -4$，即$y_C ＞ y_A ＞ y_B$。
3. 推导x的大小关系：
由于该一次函数是减函数，y越大对应的x越小，因此$x_3 ＜ x_1 ＜ x_2$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质、平方数的非负性
【点评】
本题结合平方数的非负性考查一次函数的增减性，解题核心是先确定函数斜率正负判断增减性，再利用增减性比较自变量大小，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先根据平方数的非负性确定一次函数的增减性，再利用增减性结合三个点的y值大小，判断对应x的大小关系。
【解析】
1. 判断一次函数的增减性：
因为任何数的平方都为非负数，即$k^2 ≥ 0$，所以$k^2 + 1 ≥ 1$，进而可得$-(k^2 + 1) ＜ 0$，因此一次函数$y = -(k^2 + 1)x + 4$中，y随x的增大而减小。
2. 比较三个点的y值：
三个点的y值分别为$y_A=-3$，$y_B=-4$，$y_C=1$，显然$1 ＞ -3 ＞ -4$，即$y_C ＞ y_A ＞ y_B$。
3. 推导x的大小关系：
由于该一次函数是减函数，y越大对应的x越小，因此$x_3 ＜ x_1 ＜ x_2$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质、平方数的非负性
【点评】
本题结合平方数的非负性考查一次函数的增减性，解题核心是先确定函数斜率正负判断增减性，再利用增减性比较自变量大小，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 函数$y=|x+1|-2$，当$m≤ x≤4$时，对应$y$的取值范围为$-2≤ y≤3$，则$m$的取值范围为（
A.$m=-1$
B.$m≤ -1$
C.$-6≤ m≤ -1$
D.$-1≤ m＜4$
C
）。A.$m=-1$
B.$m≤ -1$
C.$-6≤ m≤ -1$
D.$-1≤ m＜4$
答案
9. C 【点拨】本题考查绝对值函数的图象特征,对称性及增减性,数形结合思想.
【解析】$y = |x + 1| - 2 = \begin{cases} -x - 3(x ＜ -1), \\ x - 1(x ≥ -1), \end{cases}$
其图象如图所示.
令$y = |x + 1| - 2 = -2$,解得$x = -1$,
令$y = |x + 1| - 2 = 3$,解得$x = -6$或$x = 4$.
当$m ≤ x ≤ 4$时,对应的y的取值范围为$-2 ≤ y ≤ 3$.
观察图象可知,$-6 ≤ m ≤ -1$. 故选C.
解析
【分析】
要确定$m$的取值范围，需先明确绝对值函数$y=|x+1|-2$的性质：首先将其转化为分段函数，找到$y=-2$和$y=3$对应的$x$值，再结合函数图象的对称性和题目中$x$的范围$m≤x≤4$，分析$y$的取值范围为$-2≤y≤3$时$m$的限制条件。具体步骤：1. 写出分段函数；2. 分别令$y=-2$和$y=3$，求解对应的$x$；3. 结合图象确定$m$的区间。
【解析】
函数$y=|x+1|-2$可写成分段函数：
$y=\begin{cases} -x-3 & (x＜-1) \\ x-1 & (x≥-1) \end{cases}$
① 令$y=-2$，代入分段函数求解：
当$x＜-1$时，$-x-3=-2$，解得$x=-1$；
当$x≥-1$时，$x-1=-2$，解得$x=-1$，即$y=-2$对应$x=-1$。
② 令$y=3$，代入分段函数求解：
当$x＜-1$时，$-x-3=3$，解得$x=-6$；
当$x≥-1$时，$x-1=3$，解得$x=4$，即$y=3$对应$x=-6$或$x=4$。
结合图象，当$m≤x≤4$时，$y$的取值范围为$-2≤y≤3$，说明$m$需满足：$y$能取到最小值$-2$，且不超出$y≤3$的范围，因此$-6≤m≤-1$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值函数图象、数形结合思想
【点评】
本题利用绝对值函数的分段性和图象对称性，结合数形结合思想求解，关键是找到对应$y$值的$x$，再根据区间限制确定$m$的范围，属于基础中档题，需掌握绝对值函数的图象特征。
【难度系数】
0.5
要确定$m$的取值范围，需先明确绝对值函数$y=|x+1|-2$的性质：首先将其转化为分段函数，找到$y=-2$和$y=3$对应的$x$值，再结合函数图象的对称性和题目中$x$的范围$m≤x≤4$，分析$y$的取值范围为$-2≤y≤3$时$m$的限制条件。具体步骤：1. 写出分段函数；2. 分别令$y=-2$和$y=3$，求解对应的$x$；3. 结合图象确定$m$的区间。
【解析】
函数$y=|x+1|-2$可写成分段函数：
$y=\begin{cases} -x-3 & (x＜-1) \\ x-1 & (x≥-1) \end{cases}$
① 令$y=-2$，代入分段函数求解：
当$x＜-1$时，$-x-3=-2$，解得$x=-1$；
当$x≥-1$时，$x-1=-2$，解得$x=-1$，即$y=-2$对应$x=-1$。
② 令$y=3$，代入分段函数求解：
当$x＜-1$时，$-x-3=3$，解得$x=-6$；
当$x≥-1$时，$x-1=3$，解得$x=4$，即$y=3$对应$x=-6$或$x=4$。
结合图象，当$m≤x≤4$时，$y$的取值范围为$-2≤y≤3$，说明$m$需满足：$y$能取到最小值$-2$，且不超出$y≤3$的范围，因此$-6≤m≤-1$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值函数图象、数形结合思想
【点评】
本题利用绝对值函数的分段性和图象对称性，结合数形结合思想求解，关键是找到对应$y$值的$x$，再根据区间限制确定$m$的范围，属于基础中档题，需掌握绝对值函数的图象特征。
【难度系数】
0.5
10. 如图,已知直线$y = kx + 2k$交$x$轴,$y$轴于$A,B$两点,以$AB$为边作等边$△ ABC$($A,B,C$三点逆时针排列),$D,E$两点坐标分别为$(-6,0),(-1,0)$,连接$CD,CE$,则$CD + CE$的最小值为(
A.$6$
B.$5 + \sqrt{3}$
C.$6.5$
D.$7$
D
).A.$6$
B.$5 + \sqrt{3}$
C.$6.5$
D.$7$
答案
10. D 【点拨】本题考查直线与坐标轴的交点,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,动点的轨迹,轴对称最短路径问题.
【解析】在$y = kx + 2k$中,令$x = -2$得$y = 0$,令$x = 0$得$y = 2k$,$\therefore A(-2,0)$,$B(0,2k)$.
如图,在x轴上方作等边$△ AOF$,连接CF.
$\because ∠ CAB = ∠ FAO = 60°$,
$\therefore ∠ CAB + ∠ BAF = ∠ BAF + ∠ FAO$,即$∠ CAF = ∠ BAO$.
又$\because CA = BA$,$AF = AO$,
$\therefore △ AOB ≌ △ AFC(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AFC = ∠ AOB = 90°$,$\therefore$ 点C的轨迹是定直线CF.
作点E关于直线CF的对称点$E'$,连接$CE'$,$DE'$,则$CE = CE'$,
$\therefore CD + CE = CD + CE' ≥ DE'$. 当D,C,$E'$三点共线时,$CD + CE$取最小值$DE'$.
$\because AF = AO = 2$,$∠ FAO = 60°$. 设CF交x轴于点G,则$∠ AFG = 90°$,$\therefore AG = 2AF = 4$,$EG = AG - AE = 4 - 1 = 3$. $EE' = 2 × \dfrac{3}{4}AF = 2 × \dfrac{3}{4} × 2 = 3$,$\therefore E'(\dfrac{1}{2},\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$,$\therefore CD + CE$的最小值为$DE' = \sqrt{(-6 - \dfrac{1}{2})^2 + (0 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2})^2} = 7$. 故选D.
解析
【分析】
要解决CD+CE的最小值问题，需先确定动点C的轨迹，再利用轴对称转化线段，结合两点间距离公式求解。步骤如下：1. 求直线与坐标轴交点A、B的坐标；2. 通过构造等边三角形，证明全等得到点C的轨迹；3. 作点E关于C轨迹直线的对称点，将CE转化为CE'，则CD+CE的最小值转化为DE'的长度；4. 计算E'坐标，代入两点间距离公式求出DE'，得到最小值。
【解析】
1. 求A、B坐标：在直线$y = kx + 2k$中，令$y=0$，得$kx + 2k = 0$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；令$x=0$，得$y=2k$，故$B(0,2k)$。
2. 确定点C的轨迹：在x轴上方作等边$△ AOF$，连接CF。因为$∠ CAB = ∠ FAO = 60°$，所以$∠ CAF = ∠ BAO$。又$CA=BA$，$AF=AO=2$，故$△ AOB ≌ △ AFC(SAS)$，得$∠ AFC = ∠ AOB = 90°$，即点C的轨迹是定直线CF。
3. 转化线段求最小值：作点E关于直线CF的对称点$E'$，则$CE=CE'$，故$CD + CE = CD + CE' ≥ DE'$，当D、C、E'共线时取最小值$DE'$。
4. 计算$DE'$：由$AF=AO=2$，$∠ FAO=60°$，得$AG=2AF=4$，$EG=AG - AE=4 -1=3$，$EE'=3$，故$E'(\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。代入两点间距离公式：$DE' = \sqrt{(-6 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{13}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{49}=7$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，全等三角形判定，轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查一次函数、等边三角形、全等三角形及轴对称最短路径的应用，需通过构造全等确定动点轨迹，再利用轴对称转化线段求最值，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
要解决CD+CE的最小值问题，需先确定动点C的轨迹，再利用轴对称转化线段，结合两点间距离公式求解。步骤如下：1. 求直线与坐标轴交点A、B的坐标；2. 通过构造等边三角形，证明全等得到点C的轨迹；3. 作点E关于C轨迹直线的对称点，将CE转化为CE'，则CD+CE的最小值转化为DE'的长度；4. 计算E'坐标，代入两点间距离公式求出DE'，得到最小值。
【解析】
1. 求A、B坐标：在直线$y = kx + 2k$中，令$y=0$，得$kx + 2k = 0$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；令$x=0$，得$y=2k$，故$B(0,2k)$。
2. 确定点C的轨迹：在x轴上方作等边$△ AOF$，连接CF。因为$∠ CAB = ∠ FAO = 60°$，所以$∠ CAF = ∠ BAO$。又$CA=BA$，$AF=AO=2$，故$△ AOB ≌ △ AFC(SAS)$，得$∠ AFC = ∠ AOB = 90°$，即点C的轨迹是定直线CF。
3. 转化线段求最小值：作点E关于直线CF的对称点$E'$，则$CE=CE'$，故$CD + CE = CD + CE' ≥ DE'$，当D、C、E'共线时取最小值$DE'$。
4. 计算$DE'$：由$AF=AO=2$，$∠ FAO=60°$，得$AG=2AF=4$，$EG=AG - AE=4 -1=3$，$EE'=3$，故$E'(\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。代入两点间距离公式：$DE' = \sqrt{(-6 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{13}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{49}=7$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，全等三角形判定，轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查一次函数、等边三角形、全等三角形及轴对称最短路径的应用，需通过构造全等确定动点轨迹，再利用轴对称转化线段求最值，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 函数$y = \sqrt{x - 4}$中,自变量$x$的取值范围为
11. 函数$y = \sqrt{x - 4}$中,自变量$x$的取值范围为
$x ≥ 4$
.答案
11. $x ≥ 4$ 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件.
【解析】由题意得,$x - 4 ≥ 0$,$\therefore$ 自变量x的取值范围为$x ≥ 4$. 故答案为$x ≥ 4$.
【解析】由题意得,$x - 4 ≥ 0$,$\therefore$ 自变量x的取值范围为$x ≥ 4$. 故答案为$x ≥ 4$.
解析
【分析】要确定函数$ y = \sqrt{x - 4} $中自变量$ x $的取值范围，需依据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$ x $的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足$ x - 4 ≥ 0 $，解该不等式得：$ x ≥ 4 $，因此自变量$ x $的取值范围为$ x ≥ 4 $。
【答案】$ x ≥ 4 $
【知识点】二次根式有意义的条件，自变量取值范围
【点评】本题为基础题，考查二次根式有意义的基本性质，解题思路直接，只需牢记被开方数非负的规则即可快速得出结果。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足$ x - 4 ≥ 0 $，解该不等式得：$ x ≥ 4 $，因此自变量$ x $的取值范围为$ x ≥ 4 $。
【答案】$ x ≥ 4 $
【知识点】二次根式有意义的条件，自变量取值范围
【点评】本题为基础题，考查二次根式有意义的基本性质，解题思路直接，只需牢记被开方数非负的规则即可快速得出结果。
【难度系数】0.9
12. 若$y=2x^{m-1}$为$y$关于$x$的正比例函数，则$m$的值为________。
答案
12. 2 【点拨】本题考查正比例函数的定义与一般形式.
【解析】若$y = 2x^{m - 1}$为y关于x的正比例函数,则$m - 1 = 1$,解得$m = 2$. 故答案为2.
【解析】若$y = 2x^{m - 1}$为y关于x的正比例函数,则$m - 1 = 1$,解得$m = 2$. 故答案为2.
解析
【分析】要解决这个问题，首先需明确正比例函数的定义：形如$y = kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其中自变量$x$的次数为1。题目中给出的函数是$y = 2x^{m - 1}$，要使其为正比例函数，只需满足$x$的指数等于1，据此列出关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】根据正比例函数的定义，正比例函数中自变量$x$的次数为1，因此对于函数$y = 2x^{m - 1}$，有$m - 1 = 1$，解方程可得：$m = 1 + 1 = 2$。
【答案】2
【知识点】正比例函数的定义
【点评】本题直接考查正比例函数的基本定义，属于基础题型，只要牢记正比例函数的形式要求，就能快速得出结果，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据正比例函数的定义，正比例函数中自变量$x$的次数为1，因此对于函数$y = 2x^{m - 1}$，有$m - 1 = 1$，解方程可得：$m = 1 + 1 = 2$。
【答案】2
【知识点】正比例函数的定义
【点评】本题直接考查正比例函数的基本定义，属于基础题型，只要牢记正比例函数的形式要求，就能快速得出结果，难度较低。
【难度系数】0.9
13. 将直线 $ y = 2x - 3 $ 向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度后，所得直线的表达式为________.
答案
13. $y = 2x + 3$ 【点拨】本题考查一次函数图象的平移.
【解析】将直线$y = 2x - 3$向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度后,得到的直线的表达式为$y = 2(x + 1) - 3 + 4$,即$y = 2x + 3$. 故答案为$y = 2x + 3$.
【解析】将直线$y = 2x - 3$向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度后,得到的直线的表达式为$y = 2(x + 1) - 3 + 4$,即$y = 2x + 3$. 故答案为$y = 2x + 3$.
解析
【分析】本题考查一次函数图象的平移，解题关键是掌握一次函数图象平移的规律：对于一次函数$y=kx+b$，向左平移$m$个单位时，解析式变为$y=k(x+m)+b$；向上平移$n$个单位时，解析式变为$y=kx+b+n$，即“左加右减，上加下减”。本题中先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，按照规律代入计算即可得到新的直线表达式。
【解析】根据一次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则：原直线为$y=2x-3$，向左平移1个单位，将$x$替换为$x+1$，得到$y=2(x+1)-3$；再向上平移4个单位，在整体上加4，因此新的解析式为$y=2(x+1)-3+4$。化简该式：$2x+2-3+4=2x+3$，故所得直线的表达式为$y=2x+3$。
【答案】$y = 2x + 3$
【知识点】一次函数图象的平移
【点评】本题是一次函数图象平移的基础题，核心考查对平移规则的掌握，只要牢记“左加右减，上加下减”的规律，就能快速准确解答，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】根据一次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则：原直线为$y=2x-3$，向左平移1个单位，将$x$替换为$x+1$，得到$y=2(x+1)-3$；再向上平移4个单位，在整体上加4，因此新的解析式为$y=2(x+1)-3+4$。化简该式：$2x+2-3+4=2x+3$，故所得直线的表达式为$y=2x+3$。
【答案】$y = 2x + 3$
【知识点】一次函数图象的平移
【点评】本题是一次函数图象平移的基础题，核心考查对平移规则的掌握，只要牢记“左加右减，上加下减”的规律，就能快速准确解答，属于易得分题。
【难度系数】0.8
14. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E在BD上，DC = DE = AE，∠1 = 24°，则∠C的大小是
$108°$
.答案
14. $108°$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角性质.
【解析】$\because DC = DE = AE$,$∠ 1 = 24°$,$\therefore ∠ ADE = ∠ 1 = 24°$,$\therefore ∠ AEB = ∠ 1 + ∠ ADE = 24° + 24° = 48°$. 又$\because AB = DC$,$∠ C = ∠ BAD$,$\therefore AB = AE$,$\therefore ∠ ABE = ∠ AEB = 48°$,$\therefore ∠ BAE = 180° - 2∠ AEB = 84°$,$\therefore ∠ BAD = ∠ BAE + ∠ 1 = 84° + 24° = 108°$,$\therefore ∠ C = ∠ BAD = 108°$. 故答案为$108°$.
【解析】$\because DC = DE = AE$,$∠ 1 = 24°$,$\therefore ∠ ADE = ∠ 1 = 24°$,$\therefore ∠ AEB = ∠ 1 + ∠ ADE = 24° + 24° = 48°$. 又$\because AB = DC$,$∠ C = ∠ BAD$,$\therefore AB = AE$,$\therefore ∠ ABE = ∠ AEB = 48°$,$\therefore ∠ BAE = 180° - 2∠ AEB = 84°$,$\therefore ∠ BAD = ∠ BAE + ∠ 1 = 84° + 24° = 108°$,$\therefore ∠ C = ∠ BAD = 108°$. 故答案为$108°$.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形和等腰三角形的性质逐步推导：首先，由AE=DE，利用等腰三角形等边对等角得到∠ADE=∠1；接着，根据三角形外角性质，∠AEB是△ADE的外角，等于∠1与∠ADE的和；再利用平行四边形对边相等（AB=DC），结合已知DC=AE，推出AB=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得出∠ABE=∠AEB；然后通过三角形内角和算出∠BAE，加上∠1得到∠BAD；最后利用平行四边形对角相等（∠C=∠BAD），求出∠C的度数。
【解析】
1. 因为AE=DE，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠ADE=∠1=24°；
2. ∠AEB是△ADE的外角，根据三角形外角性质，∠AEB=∠1+∠ADE=24°+24°=48°；
3. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，且∠C=∠BAD；又已知DC=AE，因此AB=AE，即△ABE是等腰三角形，得∠ABE=∠AEB=48°；
4. 在△ABE中，根据三角形内角和为180°，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-48°-48°=84°；
5. 所以∠BAD=∠BAE+∠1=84°+24°=108°，再由平行四边形对角相等，得∠C=∠BAD=108°。
【答案】
108°
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合运用平行四边形的对边相等、对角相等，以及等腰三角形的等边对等角、三角形外角和内角和定理，解题关键是通过边的等量关系构造等腰三角形，逐步推导角度关系，需熟练掌握几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合平行四边形和等腰三角形的性质逐步推导：首先，由AE=DE，利用等腰三角形等边对等角得到∠ADE=∠1；接着，根据三角形外角性质，∠AEB是△ADE的外角，等于∠1与∠ADE的和；再利用平行四边形对边相等（AB=DC），结合已知DC=AE，推出AB=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得出∠ABE=∠AEB；然后通过三角形内角和算出∠BAE，加上∠1得到∠BAD；最后利用平行四边形对角相等（∠C=∠BAD），求出∠C的度数。
【解析】
1. 因为AE=DE，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠ADE=∠1=24°；
2. ∠AEB是△ADE的外角，根据三角形外角性质，∠AEB=∠1+∠ADE=24°+24°=48°；
3. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，且∠C=∠BAD；又已知DC=AE，因此AB=AE，即△ABE是等腰三角形，得∠ABE=∠AEB=48°；
4. 在△ABE中，根据三角形内角和为180°，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-48°-48°=84°；
5. 所以∠BAD=∠BAE+∠1=84°+24°=108°，再由平行四边形对角相等，得∠C=∠BAD=108°。
【答案】
108°
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合运用平行四边形的对边相等、对角相等，以及等腰三角形的等边对等角、三角形外角和内角和定理，解题关键是通过边的等量关系构造等腰三角形，逐步推导角度关系，需熟练掌握几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.5
15. 在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y = kx$和$y = mx + n$的图象如图所示,则关于$x$的一元一次不等式$(k - m)x - n ＞ 0$的解集是________.
答案
15. $x ＞ 1$ 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式.
【解析】观察题图可知,一次函数$y = kx$和一次函数$y = mx + n$的图象交于点$(1,2)$,当$x ＜ 1$时,直线$y = kx$在直线$y = mx + n$的下方,此时$kx ＜ mx + n$. 当$x ＞ 1$时,直线$y = kx$在直线$y = mx + n$的上方,此时$kx ＞ mx + n$. 关于x的一元一次不等式$(k - m)x - n ＞ 0$,即$kx ＞ mx + n$,$\therefore$ 原不等式的解集是$x ＞ 1$. 故答案为$x ＞ 1$.
【解析】观察题图可知,一次函数$y = kx$和一次函数$y = mx + n$的图象交于点$(1,2)$,当$x ＜ 1$时,直线$y = kx$在直线$y = mx + n$的下方,此时$kx ＜ mx + n$. 当$x ＞ 1$时,直线$y = kx$在直线$y = mx + n$的上方,此时$kx ＞ mx + n$. 关于x的一元一次不等式$(k - m)x - n ＞ 0$,即$kx ＞ mx + n$,$\therefore$ 原不等式的解集是$x ＞ 1$. 故答案为$x ＞ 1$.
解析
【分析】
要解一元一次不等式$(k - m)x - n ＞ 0$，需先将不等式变形为两个一次函数值的大小关系，再结合两个一次函数的图像交点判断解集。具体步骤：先把不等式移项转化为$kx ＞ mx + n$，再根据图像中两个函数的位置关系，找到满足$kx ＞ mx + n$的$x$的范围。
【解析】
对不等式$(k - m)x - n ＞ 0$移项，可得$kx ＞ mx + n$。
观察题图，一次函数$y = kx$和$y = mx + n$的图象交于点$(1,2)$，当$x ＞ 1$时，直线$y = kx$在直线$y = mx + n$的上方，此时$kx ＞ mx + n$成立，因此原不等式的解集为$x ＞ 1$。
【答案】
$x ＞ 1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数图像与一元一次不等式的结合应用，核心是将不等式转化为两个函数值的大小比较，通过图像交点确定解集，属于基础题型，难度适中，需掌握函数图像与不等式的对应关系。
【难度系数】
0.6
要解一元一次不等式$(k - m)x - n ＞ 0$，需先将不等式变形为两个一次函数值的大小关系，再结合两个一次函数的图像交点判断解集。具体步骤：先把不等式移项转化为$kx ＞ mx + n$，再根据图像中两个函数的位置关系，找到满足$kx ＞ mx + n$的$x$的范围。
【解析】
对不等式$(k - m)x - n ＞ 0$移项，可得$kx ＞ mx + n$。
观察题图，一次函数$y = kx$和$y = mx + n$的图象交于点$(1,2)$，当$x ＞ 1$时，直线$y = kx$在直线$y = mx + n$的上方，此时$kx ＞ mx + n$成立，因此原不等式的解集为$x ＞ 1$。
【答案】
$x ＞ 1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数图像与一元一次不等式的结合应用，核心是将不等式转化为两个函数值的大小比较，通过图像交点确定解集，属于基础题型，难度适中，需掌握函数图像与不等式的对应关系。
【难度系数】
0.6
16. 如图,正方形ABCD的边长为6,点M为边AB上一点,BM=2,点E为正方形内一动点且BE=6,过点B作EC的垂线交AE的延长线于点F,连接MF,则MF的最大值为
$\sqrt{10}+3\sqrt{2}$
.答案
16. $\sqrt{10} + 3\sqrt{2}$ 【点拨】本题考查正方形的性质,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,直角三角形斜边上中线的性质,线段和的最大值.
【解析】如图,设AC与BD交于点O,连接AC,BD,CF,OM,OF,过点O作$OJ ⊥ AB$于点J. $\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore AB = BC = 6$,$AC ⊥ BD$,$OA = OB = OC = OD$,$∠ ABC = 90°$,$\therefore AC = 6\sqrt{2}$,$\therefore OA = OC = \dfrac{1}{2}AC = 3\sqrt{2}$. $\because OJ ⊥ AB$,$\therefore OJ = AJ = JB = 3$. $\because BM = 2$,$\therefore JM = 1$,$\therefore OM = \sqrt{JM^2 + OJ^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. $\because BA = BE$,$\therefore BE = CB$,$\therefore BF$垂直平分EC,$\therefore EF = CF$. $\because ∠ BAE = ∠ BEA$,$∠ BEC = ∠ BCE$,$\therefore ∠ ABE + 2∠ BEA = 180°$,$∠ EBC + 2∠ BEC = 180°$,$\therefore 90° + 2(∠ BEA + ∠ BEC) = 360°$,$\therefore ∠ AEC = 135°$,$\therefore ∠ FEC = 45°$,$\therefore ∠ FEC = ∠ FCE = 45°$,$\therefore ∠ AFC = 90°$,$\therefore OF = \dfrac{1}{2}AC = 3\sqrt{2}$,$\therefore MF ≤ OM + OF = \sqrt{10} + 3\sqrt{2}$,$\therefore MF$的最大值为$\sqrt{10} + 3\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{10} + 3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先确定动点F的轨迹，再结合定点M的位置求MF的最大值：1. 利用正方形边长与BE=BC的关系，结合BF⊥EC，得出BF是EC的垂直平分线，得到EF=CF；2. 通过角度推导确定∠AFC为直角，进而得出F在以AC为直径的圆上，圆心为正方形对角线交点O；3. 计算定点M到圆心O的距离OM，再根据“圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心距离加半径”的原理，求出MF的最大值。
【解析】
解：连接AC、BD交于点O，连接OM、OF。
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD=½AC=½×6√2=3√2，∠ABC=90°，
过O作OJ⊥AB于J，由正方形性质得OJ=AJ=JB=½AB=3，
∵BM=2，
∴JM=JB - BM=3 - 2=1，
在Rt△OJM中，OM=√(OJ² + JM²)=√(3² +1²)=√10。
∵BE=6，BC=6，
∴BE=BC，
又BF⊥EC，
∴BF垂直平分EC，故EF=CF，
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA；BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
在△ABE中，∠ABE + 2∠BEA=180°，在△BCE中，∠EBC +2∠BEC=180°，
又∠ABE +∠EBC=∠ABC=90°，
∴90° + 2(∠BEA +∠BEC)=360°，解得∠BEA +∠BEC=135°，即∠AEC=135°，
∴∠FEC=180° -∠AEC=45°，
又EF=CF，
∴∠FCE=∠FEC=45°，故∠EFC=90°，
∴∠AFC=90°，即F在以AC为直径的圆上，圆心为O，
∴OF=OA=3√2，
根据几何最值：MF≤OM + OF，当M、O、F三点共线时取等号，
∴MF的最大值为√10 +3√2。
【答案】$\sqrt{10} + 3\sqrt{2}$
【知识点】正方形性质、线段垂直平分线性质、圆的最值
【点评】本题是正方形背景下的动点最值问题，综合考查几何性质与轨迹分析，核心是推导动点F的轨迹，利用几何最值模型求解，对综合几何能力要求较高，属于中等难度题。
【难度系数】0.4
要解决本题，需先确定动点F的轨迹，再结合定点M的位置求MF的最大值：1. 利用正方形边长与BE=BC的关系，结合BF⊥EC，得出BF是EC的垂直平分线，得到EF=CF；2. 通过角度推导确定∠AFC为直角，进而得出F在以AC为直径的圆上，圆心为正方形对角线交点O；3. 计算定点M到圆心O的距离OM，再根据“圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心距离加半径”的原理，求出MF的最大值。
【解析】
解：连接AC、BD交于点O，连接OM、OF。
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD=½AC=½×6√2=3√2，∠ABC=90°，
过O作OJ⊥AB于J，由正方形性质得OJ=AJ=JB=½AB=3，
∵BM=2，
∴JM=JB - BM=3 - 2=1，
在Rt△OJM中，OM=√(OJ² + JM²)=√(3² +1²)=√10。
∵BE=6，BC=6，
∴BE=BC，
又BF⊥EC，
∴BF垂直平分EC，故EF=CF，
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA；BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
在△ABE中，∠ABE + 2∠BEA=180°，在△BCE中，∠EBC +2∠BEC=180°，
又∠ABE +∠EBC=∠ABC=90°，
∴90° + 2(∠BEA +∠BEC)=360°，解得∠BEA +∠BEC=135°，即∠AEC=135°，
∴∠FEC=180° -∠AEC=45°，
又EF=CF，
∴∠FCE=∠FEC=45°，故∠EFC=90°，
∴∠AFC=90°，即F在以AC为直径的圆上，圆心为O，
∴OF=OA=3√2，
根据几何最值：MF≤OM + OF，当M、O、F三点共线时取等号，
∴MF的最大值为√10 +3√2。
【答案】$\sqrt{10} + 3\sqrt{2}$
【知识点】正方形性质、线段垂直平分线性质、圆的最值
【点评】本题是正方形背景下的动点最值问题，综合考查几何性质与轨迹分析，核心是推导动点F的轨迹，利用几何最值模型求解，对综合几何能力要求较高，属于中等难度题。
【难度系数】0.4
