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三、解答题(本大题共7小题,共72分.解答应写出过程)
17. (8分)一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2,3)$和$(1,-3)$.
(1)求一次函数解析式;
(2)求不等式$kx + b ≥ 0$的解集.
17. (8分)一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2,3)$和$(1,-3)$.
(1)求一次函数解析式;
(2)求不等式$kx + b ≥ 0$的解集.
答案
17. 【点拨】本题考查待定系数法确定一次函数解析式,一次函数与一元一次不等式.
【解析】(1)$\because$ 一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2,3)$和$(1,-3)$,$\therefore \begin{cases} -2k + b = 3, \\ k + b = -3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = -1. \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y = -2x - 1$.
(2)$\because k = -2 ＜ 0$,$\therefore y$随x的增大而减小,令$y = -2x - 1 = 0$,解得$x = -\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 当$x ≤ -\dfrac{1}{2}$时,$y ≥ 0$,$\therefore$ 不等式$kx + b ≥ 0$的解集为$x ≤ -\dfrac{1}{2}$.
【解析】(1)$\because$ 一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2,3)$和$(1,-3)$,$\therefore \begin{cases} -2k + b = 3, \\ k + b = -3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = -1. \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y = -2x - 1$.
(2)$\because k = -2 ＜ 0$,$\therefore y$随x的增大而减小,令$y = -2x - 1 = 0$,解得$x = -\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 当$x ≤ -\dfrac{1}{2}$时,$y ≥ 0$,$\therefore$ 不等式$kx + b ≥ 0$的解集为$x ≤ -\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问求一次函数解析式，需利用待定系数法：将已知两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，进而得到解析式；第(2)问解不等式kx+b≥0，需先根据k的正负判断一次函数的增减性，再求出函数与x轴的交点，结合增减性确定不等式的解集。
【解析】
(1) 因为一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2,3)$和$(1,-3)$，所以将两点坐标代入解析式可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 3 \\ k + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$3k = -6$，解得$k = -2$。
将$k = -2$代入$k + b = -3$，得：$-2 + b = -3$，解得$b = -1$。
因此，一次函数的解析式为$y = -2x - 1$。
(2) 由(1)知$k = -2 ＜ 0$，所以一次函数$y = -2x -1$中，y随x的增大而减小。
令$y = 0$，即$-2x -1 = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$。
因为y随x增大而减小，所以当$x ≤ -\frac{1}{2}$时，$y ≥ 0$，即不等式$kx + b ≥ 0$的解集为$x ≤ -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y = -2x - 1$；(2) $x ≤ -\frac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查待定系数法确定一次函数解析式及一次函数与一元一次不等式的结合应用，属于基础题型，解题思路清晰，步骤明确，是学生需掌握的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，第(1)问求一次函数解析式，需利用待定系数法：将已知两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，进而得到解析式；第(2)问解不等式kx+b≥0，需先根据k的正负判断一次函数的增减性，再求出函数与x轴的交点，结合增减性确定不等式的解集。
【解析】
(1) 因为一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2,3)$和$(1,-3)$，所以将两点坐标代入解析式可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 3 \\ k + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$3k = -6$，解得$k = -2$。
将$k = -2$代入$k + b = -3$，得：$-2 + b = -3$，解得$b = -1$。
因此，一次函数的解析式为$y = -2x - 1$。
(2) 由(1)知$k = -2 ＜ 0$，所以一次函数$y = -2x -1$中，y随x的增大而减小。
令$y = 0$，即$-2x -1 = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$。
因为y随x增大而减小，所以当$x ≤ -\frac{1}{2}$时，$y ≥ 0$，即不等式$kx + b ≥ 0$的解集为$x ≤ -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y = -2x - 1$；(2) $x ≤ -\frac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查待定系数法确定一次函数解析式及一次函数与一元一次不等式的结合应用，属于基础题型，解题思路清晰，步骤明确，是学生需掌握的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
18. (8分)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且$AE = CF$.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形边长为$4\sqrt{2},AE = 2$,求菱形BEDF的面积.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形边长为$4\sqrt{2},AE = 2$,求菱形BEDF的面积.
答案
18. 【点拨】本题考查正方形的性质,菱形的判定与性质,正方形与菱形的面积公式.
【解析】(1)证明:如题图,连接BD交AC于点O.
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore BD ⊥ AC$,$OB = OD = OA = OC$.
$\because AE = CF$,$\therefore OA - AE = OC - CF$,即$OE = OF$,$\therefore$ 四边形BEDF是平行四边形. 又$\because BD ⊥ EF$,$\therefore$ 四边形BEDF是菱形.
(2)$\because$ 正方形ABCD的边长为$4\sqrt{2}$,$\therefore AC = BD = 4\sqrt{2} × \sqrt{2} = 8$.
$\because AE = CF = 2$,$\therefore EF = AC - 2 × 2 = 4$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}BEDF} = \dfrac{1}{2}BD × EF = \dfrac{1}{2} × 8 × 4 = 16$.
【解析】(1)证明:如题图,连接BD交AC于点O.
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore BD ⊥ AC$,$OB = OD = OA = OC$.
$\because AE = CF$,$\therefore OA - AE = OC - CF$,即$OE = OF$,$\therefore$ 四边形BEDF是平行四边形. 又$\because BD ⊥ EF$,$\therefore$ 四边形BEDF是菱形.
(2)$\because$ 正方形ABCD的边长为$4\sqrt{2}$,$\therefore AC = BD = 4\sqrt{2} × \sqrt{2} = 8$.
$\because AE = CF = 2$,$\therefore EF = AC - 2 × 2 = 4$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}BEDF} = \dfrac{1}{2}BD × EF = \dfrac{1}{2} × 8 × 4 = 16$.
解析
【分析】
要解决本题，分两小问逐步推导：第(1)问需证明四边形BEDF是菱形，结合正方形的对角线性质，通过连接对角线BD交AC于点O，利用已知AE=CF推导出线段关系，先证平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定菱形；第(2)问求菱形面积，利用菱形面积公式（对角线乘积的一半），先根据正方形边长算出对角线长度，再结合AE的长度求出另一对角线EF，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BD⊥AC，OB=OD=OA=OC（正方形的对角线互相垂直平分且相等）。
又
∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，即 OE = OF。
∵ OB=OD，OE=OF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ BD⊥EF，
∴ 四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 正方形ABCD的边长为$4\sqrt{2}$，
∴ 正方形的对角线$AC=BD=4\sqrt{2}×\sqrt{2}=8$。
已知$AE=CF=2$，
∴ $EF=AC - AE - CF=8 - 2 - 2=4$。
根据菱形面积公式，
$S_{\mathrm{菱形}BEDF}=\dfrac{1}{2}×BD×EF=\dfrac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 16
【知识点】
正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积计算
【点评】
本题综合考查正方形与菱形的性质、判定及面积计算，解题核心是利用正方形对角线的特性推导线段关系，熟练运用几何定理即可完成证明与计算，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两小问逐步推导：第(1)问需证明四边形BEDF是菱形，结合正方形的对角线性质，通过连接对角线BD交AC于点O，利用已知AE=CF推导出线段关系，先证平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定菱形；第(2)问求菱形面积，利用菱形面积公式（对角线乘积的一半），先根据正方形边长算出对角线长度，再结合AE的长度求出另一对角线EF，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BD⊥AC，OB=OD=OA=OC（正方形的对角线互相垂直平分且相等）。
又
∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，即 OE = OF。
∵ OB=OD，OE=OF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ BD⊥EF，
∴ 四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 正方形ABCD的边长为$4\sqrt{2}$，
∴ 正方形的对角线$AC=BD=4\sqrt{2}×\sqrt{2}=8$。
已知$AE=CF=2$，
∴ $EF=AC - AE - CF=8 - 2 - 2=4$。
根据菱形面积公式，
$S_{\mathrm{菱形}BEDF}=\dfrac{1}{2}×BD×EF=\dfrac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 16
【知识点】
正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积计算
【点评】
本题综合考查正方形与菱形的性质、判定及面积计算，解题核心是利用正方形对角线的特性推导线段关系，熟练运用几何定理即可完成证明与计算，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.6
19. (10分)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=3x+3$分别交$x$轴,$y$轴于点$A,B$.
(1)当$0 ＜ y≤ 3$时,自变量$x$的取值范围是________(直接写出结果);
(2)点$C(-\dfrac{2}{3},n)$在直线$y=3x+3$上.
①直接写出$n$的值为________;
②过点$C$作$CD⊥ AB$交$x$轴于点$D$,求直线$CD$的解析式.
(1)当$0 ＜ y≤ 3$时,自变量$x$的取值范围是________(直接写出结果);
(2)点$C(-\dfrac{2}{3},n)$在直线$y=3x+3$上.
①直接写出$n$的值为________;
②过点$C$作$CD⊥ AB$交$x$轴于点$D$,求直线$CD$的解析式.
答案
19. 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质,一次函数的图象与坐标轴的交点,一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法确定一次函数解析式.
【解析】(1)当$y = 3x + 3 = 0$时,解得$x = -1$,当$x = 0$时,$y = 3$,$\therefore A(-1,0)$,$B(0,3)$,$\therefore$ 当$0 ＜ y ≤ 3$时,自变量x的取值范围是$-1 ＜ x ≤ 0$. 故答案为$-1 ＜ x ≤ 0$.
(2)①把$C(-\dfrac{2}{3},n)$代入$y = 3x + 3$得,$n = 3 × (-\dfrac{2}{3}) + 3 = 1$,故答案为1.
②由①知$C(-\dfrac{2}{3},1)$,$\because AB ⊥ CD$,$\therefore$ 设直线CD的解析式为$y = -\dfrac{1}{3}x + b$.
$\because$ 点$C(-\dfrac{2}{3},1)$在直线CD上,$\therefore -\dfrac{1}{3} × (-\dfrac{2}{3}) + b = 1$,解得$b = \dfrac{7}{9}$,$\therefore$ 直线CD的解析式为$y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{9}$.
【解析】(1)当$y = 3x + 3 = 0$时,解得$x = -1$,当$x = 0$时,$y = 3$,$\therefore A(-1,0)$,$B(0,3)$,$\therefore$ 当$0 ＜ y ≤ 3$时,自变量x的取值范围是$-1 ＜ x ≤ 0$. 故答案为$-1 ＜ x ≤ 0$.
(2)①把$C(-\dfrac{2}{3},n)$代入$y = 3x + 3$得,$n = 3 × (-\dfrac{2}{3}) + 3 = 1$,故答案为1.
②由①知$C(-\dfrac{2}{3},1)$,$\because AB ⊥ CD$,$\therefore$ 设直线CD的解析式为$y = -\dfrac{1}{3}x + b$.
$\because$ 点$C(-\dfrac{2}{3},1)$在直线CD上,$\therefore -\dfrac{1}{3} × (-\dfrac{2}{3}) + b = 1$,解得$b = \dfrac{7}{9}$,$\therefore$ 直线CD的解析式为$y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{9}$.
解析
【分析】
本题围绕一次函数的性质展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：先求直线与x轴、y轴的交点，结合直线的增减性，确定y在0＜y≤3时对应的自变量x的范围；
2. 第(2)①问：利用“点在直线上，坐标满足直线解析式”，代入点C的坐标即可求出n；
3. 第(2)②问：根据垂直直线的斜率关系（斜率乘积为-1）得到直线CD的斜率，再用待定系数法，代入点C的坐标求出直线CD的解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=3x+3$，令$y=0$，解得$x=-1$，即$A(-1,0)$；令$x=0$，解得$y=3$，即$B(0,3)$。
因为直线$y=3x+3$中$k=3＞0$，$y$随$x$的增大而增大，所以当$0＜y≤3$时，自变量$x$的取值范围是$-1＜x≤0$。
(2) ① 把$C(-\dfrac{2}{3},n)$代入$y=3x+3$，得$n=3×(-\dfrac{2}{3})+3=1$。
② 由①知$C(-\dfrac{2}{3},1)$，因为$AB⊥CD$，直线$AB$的斜率为$3$，所以直线$CD$的斜率为$-\dfrac{1}{3}$（垂直直线斜率乘积为$-1$）。
设直线$CD$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+b$，将$C(-\dfrac{2}{3},1)$代入得：
$1=-\dfrac{1}{3}×(-\dfrac{2}{3})+b$，解得$b=\dfrac{7}{9}$，因此直线$CD$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{9}$。
【答案】
(1)$-1＜x≤0$；(2)①$1$；②$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{9}$
【知识点】
一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，涵盖求自变量取值范围、点在直线上的计算、垂直直线的斜率关系及解析式求解，侧重对一次函数核心知识点的掌握，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
本题围绕一次函数的性质展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：先求直线与x轴、y轴的交点，结合直线的增减性，确定y在0＜y≤3时对应的自变量x的范围；
2. 第(2)①问：利用“点在直线上，坐标满足直线解析式”，代入点C的坐标即可求出n；
3. 第(2)②问：根据垂直直线的斜率关系（斜率乘积为-1）得到直线CD的斜率，再用待定系数法，代入点C的坐标求出直线CD的解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=3x+3$，令$y=0$，解得$x=-1$，即$A(-1,0)$；令$x=0$，解得$y=3$，即$B(0,3)$。
因为直线$y=3x+3$中$k=3＞0$，$y$随$x$的增大而增大，所以当$0＜y≤3$时，自变量$x$的取值范围是$-1＜x≤0$。
(2) ① 把$C(-\dfrac{2}{3},n)$代入$y=3x+3$，得$n=3×(-\dfrac{2}{3})+3=1$。
② 由①知$C(-\dfrac{2}{3},1)$，因为$AB⊥CD$，直线$AB$的斜率为$3$，所以直线$CD$的斜率为$-\dfrac{1}{3}$（垂直直线斜率乘积为$-1$）。
设直线$CD$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+b$，将$C(-\dfrac{2}{3},1)$代入得：
$1=-\dfrac{1}{3}×(-\dfrac{2}{3})+b$，解得$b=\dfrac{7}{9}$，因此直线$CD$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{9}$。
【答案】
(1)$-1＜x≤0$；(2)①$1$；②$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{9}$
【知识点】
一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，涵盖求自变量取值范围、点在直线上的计算、垂直直线的斜率关系及解析式求解，侧重对一次函数核心知识点的掌握，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
