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20. (10分)如图,在$5×5$的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点$A,B,C,D,E,F$均为格点,请用无刻度的直尺完成下列作图(画图过程用虚线,结果用实线).
(1)如图1,过点$C$作直线$AB$的平行线;
(2)如图2,点$M$为线段$AB$上一动点,连接$MD,MC$,找一点$M$,使$MD+MC$最小;
(3)如图3,在线段$AB$上找一点$P$(不与点$A$重合),使得$PE ⊥ PF$.
(1)如图1,过点$C$作直线$AB$的平行线;
(2)如图2,点$M$为线段$AB$上一动点,连接$MD,MC$,找一点$M$,使$MD+MC$最小;
(3)如图3,在线段$AB$上找一点$P$(不与点$A$重合),使得$PE ⊥ PF$.
答案
20. 【点拨】本题考查网格的结构特征,利用网格结构作已知直线的平行线,轴对称最短路径作图.
【解析】(1)如图1,取格点D,连接CD,则$CD // AB$.
(2)如图2,作点C关于AB的对称点$C'$,连接$C'D$交AB于点M,连接CM,点M即为所求.
(3)如图3,取格点M,N,K,连接MN,则$MN ⊥ EN$,连接FK并延长交AB于点P,则$PE ⊥ PF$,点P即为所求.
解析
【分析】
本题为5×5网格中的作图题，需结合网格结构特征，运用几何性质完成作图：
(1) 作AB的平行线，需在网格中找到与AB斜率一致的格点连线，利用平行线的判定方法确定直线；
(2) 求MD+MC的最小值，利用轴对称将两条线段的和转化为两点间的线段，根据“两点之间线段最短”确定点M；
(3) 构造PE⊥PF，需在网格中找到满足垂直关系的格点，进而确定AB上的点P。
【解析】
(1) 如图1，取格点D，连接CD，由网格中AB与CD的横向、纵向格点数比例相同，可得CD//AB，直线CD即为所求；
(2) 如图2，作点C关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于点M，此时MD+MC=MD+MC'=C'D，根据两点之间线段最短，该点M使MD+MC最小，点M即为所求；
(3) 如图3，取格点构造直角关系，连接FK并延长交AB于点P，此时PE与PF满足垂直条件，点P即为所求。
【答案】
(1) 直线CD；(2) 点M；(3) 点P（对应各图中所作的实线图形）
【知识点】
网格作图、轴对称最短路径、平行线判定
【点评】
本题依托网格考查几何作图，核心是利用网格的格点特征转化几何关系，将抽象的平行、最短路径、垂直等问题转化为直观的线段连线，是网格作图的典型应用，需掌握相关几何性质在网格中的运用。
【难度系数】
0.6
本题为5×5网格中的作图题，需结合网格结构特征，运用几何性质完成作图：
(1) 作AB的平行线，需在网格中找到与AB斜率一致的格点连线，利用平行线的判定方法确定直线；
(2) 求MD+MC的最小值，利用轴对称将两条线段的和转化为两点间的线段，根据“两点之间线段最短”确定点M；
(3) 构造PE⊥PF，需在网格中找到满足垂直关系的格点，进而确定AB上的点P。
【解析】
(1) 如图1，取格点D，连接CD，由网格中AB与CD的横向、纵向格点数比例相同，可得CD//AB，直线CD即为所求；
(2) 如图2，作点C关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于点M，此时MD+MC=MD+MC'=C'D，根据两点之间线段最短，该点M使MD+MC最小，点M即为所求；
(3) 如图3，取格点构造直角关系，连接FK并延长交AB于点P，此时PE与PF满足垂直条件，点P即为所求。
【答案】
(1) 直线CD；(2) 点M；(3) 点P（对应各图中所作的实线图形）
【知识点】
网格作图、轴对称最短路径、平行线判定
【点评】
本题依托网格考查几何作图，核心是利用网格的格点特征转化几何关系，将抽象的平行、最短路径、垂直等问题转化为直观的线段连线，是网格作图的典型应用，需掌握相关几何性质在网格中的运用。
【难度系数】
0.6
21. (12 分)某制衣厂准备生产 A 款衣服和 B 款衣服共 100 万件,已知生产 1 件 A 款衣服和 1 件 B 款衣服共需成本 185 元,且每件 B 款衣服成本比 A 款高 15 元.
(1)求 A,B 两款衣服每件的成本分别是多少元;
(2)该制衣厂每售出 1 件 A 款衣服就捐出 a 元. 根据市场供需情况,计划生产 A 款衣服至少 60 万件,B 款衣服至少 30 万件.已知 A,B 两款衣服每件售价分别为 125 元和 130 元,该制衣厂将如何安排生产才能获得最大利润?
(1)求 A,B 两款衣服每件的成本分别是多少元;
(2)该制衣厂每售出 1 件 A 款衣服就捐出 a 元. 根据市场供需情况,计划生产 A 款衣服至少 60 万件,B 款衣服至少 30 万件.已知 A,B 两款衣服每件售价分别为 125 元和 130 元,该制衣厂将如何安排生产才能获得最大利润?
答案
21. 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用,一次函数的应用.
【解析】(1)设A,B两款衣服每件的成本分别是m元和n元,根据题意得$\begin{cases} m + n = 185, \\ n - m = 15, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 85, \\ n = 100. \end{cases}$
答:A,B两款衣服每件的成本分别是85元和100元.
(2)设生产A款衣服x万件,则生产B款衣服$(100 - x)$万件,总利润为w万元,则$w = (125 - 85)x + (130 - 100)(100 - x) - ax = (10 - a)x + 3000$.
$\because \begin{cases} x ≥ 60, \\ 100 - x ≥ 30, \end{cases}$$\therefore 60 ≤ x ≤ 70$.
①当$10 - a ＞ 0$,即$0 ＜ a ＜ 10$时,w随x的增大而增大,$\therefore$ 当$x = 70$时,$w_{\mathrm{最大值}} = 3700 - 70a$;
②当$10 - a = 0$,即$a = 10$时,$w = 3000$;
③当$10 - a ＜ 0$,即$a ＞ 10$时,w随x的增大而减小,$\therefore$ 当$x = 60$时,$w_{\mathrm{最大值}} = 3600 - 60a$.
综上所述,当$0 ＜ a ＜ 10$时,该厂安排生产A款衣服70万件,B款衣服30万件,才能获得最大利润;当$a = 10$时,利润均为3000万元;当$a ＞ 10$时,该厂安排生产A款衣服60万件,B款衣服40万件,才能获得最大利润.
【解析】(1)设A,B两款衣服每件的成本分别是m元和n元,根据题意得$\begin{cases} m + n = 185, \\ n - m = 15, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 85, \\ n = 100. \end{cases}$
答:A,B两款衣服每件的成本分别是85元和100元.
(2)设生产A款衣服x万件,则生产B款衣服$(100 - x)$万件,总利润为w万元,则$w = (125 - 85)x + (130 - 100)(100 - x) - ax = (10 - a)x + 3000$.
$\because \begin{cases} x ≥ 60, \\ 100 - x ≥ 30, \end{cases}$$\therefore 60 ≤ x ≤ 70$.
①当$10 - a ＞ 0$,即$0 ＜ a ＜ 10$时,w随x的增大而增大,$\therefore$ 当$x = 70$时,$w_{\mathrm{最大值}} = 3700 - 70a$;
②当$10 - a = 0$,即$a = 10$时,$w = 3000$;
③当$10 - a ＜ 0$,即$a ＞ 10$时,w随x的增大而减小,$\therefore$ 当$x = 60$时,$w_{\mathrm{最大值}} = 3600 - 60a$.
综上所述,当$0 ＜ a ＜ 10$时,该厂安排生产A款衣服70万件,B款衣服30万件,才能获得最大利润;当$a = 10$时,利润均为3000万元;当$a ＞ 10$时,该厂安排生产A款衣服60万件,B款衣服40万件,才能获得最大利润.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求两款衣服的单件成本，属于二元一次方程组的应用，需设A、B两款衣服的成本分别为未知数，根据“1件A和1件B成本共185元”“B成本比A高15元”两个等量关系列方程组求解；第(2)问是求最大利润，属于一次函数的应用，需先设生产A款衣服的数量，进而表示B款的数量，结合售价、成本、捐款计算总利润，再根据生产数量的约束条件确定自变量范围，最后根据一次函数的斜率分情况讨论利润的最大值，从而确定最优生产安排。
【解析】
(1)设A、B两款衣服每件的成本分别是m元和n元，根据题意得：
$\begin{cases} m + n = 185, \\ n - m = 15, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = 85, \\ n = 100. \end{cases}$
答：A、B两款衣服每件的成本分别是85元和100元。
(2)设生产A款衣服x万件，则生产B款衣服$(100 - x)$万件，总利润为w万元，根据题意：
$w = (125 - 85)x + (130 - 100)(100 - x) - ax = (10 - a)x + 3000$。
由生产数量的约束条件得：$\begin{cases} x ≥ 60, \\ 100 - x ≥ 30, \end{cases}$解得$60 ≤ x ≤ 70$。
①当$10 - a ＞ 0$，即$0 ＜ a ＜ 10$时，w随x的增大而增大，因此当$x = 70$时，$w_{\mathrm{最大值}} = 3700 - 70a$；
②当$10 - a = 0$，即$a = 10$时，$w = 3000$；
③当$10 - a ＜ 0$，即$a ＞ 10$时，w随x的增大而减小，因此当$x = 60$时，$w_{\mathrm{最大值}} = 3600 - 60a$。
综上所述，当$0 ＜ a ＜ 10$时，该厂安排生产A款衣服70万件、B款衣服30万件，才能获得最大利润；当$a = 10$时，利润均为3000万元；当$a ＞ 10$时，该厂安排生产A款衣服60万件、B款衣服40万件，才能获得最大利润。
【答案】
(1)A、B两款衣服每件的成本分别是85元和100元；
(2)当$0 ＜ a ＜ 10$时，生产A款70万件、B款30万件；当$a = 10$时，利润均为3000万元；当$a ＞ 10$时，生产A款60万件、B款40万件，可获得最大利润。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一次函数的应用
【点评】
本题结合实际生产场景，考查二元一次方程组与一次函数的应用，第(2)问需根据一次函数的增减性分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想，是常见的中考应用型题目，需准确梳理等量关系。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求两款衣服的单件成本，属于二元一次方程组的应用，需设A、B两款衣服的成本分别为未知数，根据“1件A和1件B成本共185元”“B成本比A高15元”两个等量关系列方程组求解；第(2)问是求最大利润，属于一次函数的应用，需先设生产A款衣服的数量，进而表示B款的数量，结合售价、成本、捐款计算总利润，再根据生产数量的约束条件确定自变量范围，最后根据一次函数的斜率分情况讨论利润的最大值，从而确定最优生产安排。
【解析】
(1)设A、B两款衣服每件的成本分别是m元和n元，根据题意得：
$\begin{cases} m + n = 185, \\ n - m = 15, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = 85, \\ n = 100. \end{cases}$
答：A、B两款衣服每件的成本分别是85元和100元。
(2)设生产A款衣服x万件，则生产B款衣服$(100 - x)$万件，总利润为w万元，根据题意：
$w = (125 - 85)x + (130 - 100)(100 - x) - ax = (10 - a)x + 3000$。
由生产数量的约束条件得：$\begin{cases} x ≥ 60, \\ 100 - x ≥ 30, \end{cases}$解得$60 ≤ x ≤ 70$。
①当$10 - a ＞ 0$，即$0 ＜ a ＜ 10$时，w随x的增大而增大，因此当$x = 70$时，$w_{\mathrm{最大值}} = 3700 - 70a$；
②当$10 - a = 0$，即$a = 10$时，$w = 3000$；
③当$10 - a ＜ 0$，即$a ＞ 10$时，w随x的增大而减小，因此当$x = 60$时，$w_{\mathrm{最大值}} = 3600 - 60a$。
综上所述，当$0 ＜ a ＜ 10$时，该厂安排生产A款衣服70万件、B款衣服30万件，才能获得最大利润；当$a = 10$时，利润均为3000万元；当$a ＞ 10$时，该厂安排生产A款衣服60万件、B款衣服40万件，才能获得最大利润。
【答案】
(1)A、B两款衣服每件的成本分别是85元和100元；
(2)当$0 ＜ a ＜ 10$时，生产A款70万件、B款30万件；当$a = 10$时，利润均为3000万元；当$a ＞ 10$时，生产A款60万件、B款40万件，可获得最大利润。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一次函数的应用
【点评】
本题结合实际生产场景，考查二元一次方程组与一次函数的应用，第(2)问需根据一次函数的增减性分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想，是常见的中考应用型题目，需准确梳理等量关系。
【难度系数】
0.6
