22. (12分)如图1,直线$y_1=3x+6$分别交$x$轴、$y$轴于$A,B$两点,直线$y_2=kx+3(k≠3)$分别交$x$轴、$y$轴于$C,D$两点,交$y_1$于点$E$.
(1)直接写出坐标:$A$,$B$,$D$;
(2)若$∠BED=45°$,求点$C$的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,作点$C$关于$y$轴的对称点$F$,过点$F$作$x$轴的垂线交直线$y_2$于点$G$,连接$EF,BG,OE$,求证:$EF-BE=\sqrt{2}OE$.

22. 【点拨】本题考查一次函数的综合应用,待定系数法确定函数解析式,一次函数图象与坐标轴的交点坐标,全等三角形的判定与性质,一次函数图象上的点的坐标特征.
【解析】(1)令$y_1 = 0$,则$3x + 6 = 0$,解得$x = -2$,令$x = 0$,则$y_1 = 6$,$\therefore A(-2,0)$,$B(0,6)$.
令$y_2 = 0$,则$kx + 3 = 0$,$x = -\dfrac{3}{k}$.
令$x = 0$,则$y_2 = 3$,$\therefore C(-\dfrac{3}{k},0)$,$D(0,3)$. 故答案为$(-2,0)$,$(0,6)$,$(0,3)$.
(2)如图,过点B作直线$BF ⊥ AB$交CD于点F,过点A作直线$AH // CD$交BF的延长线于点H.
过点B作$MN // x$轴,过点A作$AM ⊥ MN$于点M,过点H作$HN ⊥ MN$于点N,
$\because AH // CD$,$\therefore ∠ BAH = ∠ BED = 45°$,$\therefore △ ABH$为等腰直角三角形,$\therefore AB = BH$.
$\because A(-2,0)$,$B(0,6)$,$\therefore AM = 6$,$BM = 2$.
$\because ∠ ABM + ∠ MAB = 90°$,$∠ ABM + ∠ NBH = 90°$,$\therefore ∠ MAB = ∠ NBH$.
又$\because ∠ AMB = ∠ BNH = 90°$,$AB = BH$,$\therefore △ AMB ≌ △ BNH(\mathrm{AAS})$,$\therefore AM = BN = 6$,$MB = NH = 2$,$\therefore$ 点H的坐标为$(6,4)$,
由$A(-2,0)$,$H(6,4)$得,直线AH的解析式为$y = \dfrac{1}{2}x + 1$.
$\because AH // CD$,$D(0,3)$,$\therefore$ 直线CD的解析式为$y_2 = \dfrac{1}{2}x + 3$,
令$y_2 = \dfrac{1}{2}x + 3 = 0$,解得$x = -6$.$\therefore C(-6,0)$.
(3)证明:由$\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}x + 3, \\ y = 3x + 6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = -\dfrac{6}{5}, \\ y = \dfrac{12}{5}. \end{cases}$
$\therefore E(-\dfrac{6}{5},\dfrac{12}{5})$.
$\because$ 点$C(-6,0)$关于y轴的对称点为F,$\therefore F(6,0)$,
$\therefore EF = \sqrt{(-\dfrac{6}{5} - 6)^2 + (\dfrac{12}{5} - 0)^2} = \dfrac{12\sqrt{10}}{5}$.
$\because B(0,6)$,$\therefore BE = \sqrt{(-\dfrac{6}{5} - 0)^2 + (\dfrac{12}{5} - 6)^2} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$,
$\therefore EF - BE = \dfrac{12\sqrt{10}}{5} - \dfrac{6\sqrt{10}}{5} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$.
$\because OE = \sqrt{(-\dfrac{6}{5})^2 + (\dfrac{12}{5})^2} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}$,
$\therefore \sqrt{2}OE = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} × \sqrt{2} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$,$\therefore EF - BE = \sqrt{2}OE$.

【分析】
本题分为三小问，第(1)问求一次函数与坐标轴交点，只需分别令x=0和y=0代入对应直线解析式即可；第(2)问已知∠BED=45°，需通过构造等腰直角三角形，利用全等三角形求出相关点坐标，进而得到直线CD的解析式，再求C点坐标；第(3)问在(2)的条件下，先求两直线交点E的坐标，再利用对称点性质得F点坐标，通过计算线段长度验证等式成立。
【解析】
(1) 对于直线$y_1=3x+6$，令$y_1=0$，则$3x+6=0$，解得$x=-2$；令$x=0$，则$y_1=6$，故$A(-2,0)$，$B(0,6)$。
对于直线$y_2=kx+3$，令$x=0$，则$y_2=3$，故$D(0,3)$。
(2) 过点B作$BF⊥AB$交CD于点F，过点A作$AH//CD$交BF的延长线于点H，过点B作$MN//x$轴，过点A作$AM⊥MN$于点M，过点H作$HN⊥MN$于点N。
∵$AH//CD$，
∴$∠BAH=∠BED=45°$，
∴$△ ABH$为等腰直角三角形，$AB=BH$。
由$A(-2,0)$，$B(0,6)$得$AM=6$，$BM=2$；又$∠ABM+∠MAB=90°$，$∠ABM+∠NBH=90°$，
∴$∠MAB=∠NBH$。
在$△ AMB$和$△ BNH$中，$\begin{cases}∠AMB=∠BNH=90°\\∠MAB=∠NBH\\AB=BH\end{cases}$，
∴$△ AMB≌△ BNH(AAS)$，
∴$BN=AM=6$，$NH=BM=2$，故点H的坐标为$(6,4)$。
由$A(-2,0)$，$H(6,4)$，用待定系数法得直线AH的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
∵$AH//CD$，$D(0,3)$，
∴直线CD的解析式为$y_2=\frac{1}{2}x+3$。
令$y_2=0$，则$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，故$C(-6,0)$。
(3) 联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+3\\y=3x+6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-\frac{6}{5}\\y=\frac{12}{5}\end{cases}$，即$E(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$。
∵点$C(-6,0)$关于y轴的对称点为F，
∴$F(6,0)$。
计算线段长度：
$EF=\sqrt{(-\frac{6}{5}-6)^2+(\frac{12}{5}-0)^2}=\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
$BE=\sqrt{(-\frac{6}{5}-0)^2+(\frac{12}{5}-6)^2}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
$OE=\sqrt{(-\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴$EF-BE=\frac{12\sqrt{10}}{5}-\frac{6\sqrt{10}}{5}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$，$\sqrt{2}OE=\sqrt{2}×\frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$，故$EF-BE=\sqrt{2}OE$。
【答案】(1)$(-2,0)$，$(0,6)$，$(0,3)$；(2)$(-6,0)$；(3)证明成立。
【知识点】一次函数，全等三角形，两点间距离公式
【点评】本题是一次函数综合题，融合多个知识点，需构造辅助线解决角度问题，通过代数计算验证几何等式，考察学生综合应用能力，有一定难度。
【难度系数】0.5

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【答案】你所提供的题图为全空白图像，未包含任何有效题目信息，无法进行解答，请补充清晰完整的题目内容后重试。
【知识点】无
【点评】题目图像空白，缺少有效解题信息，无法完成解答，需补充完整题目内容。
【难度系数】0.0