23. (12 分)已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为边DC,BC上的点.
(1)如图1,若$BF = CE$,求证:$AF = BE$;
(2)如图2,若$BF = DE$,作$EH ⊥ AF$于点H,连接DH,求证:$DH = AB$;
(3)如图3,若$DE = CE$,$BF = \frac{4}{3}$,点G在边AB上满足$EG = AF$,求AG的长.

23. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,正方形的性质,平行四边形的判定与性质,直角三角形的性质,注意添加辅助线构造全等.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore AB = BC$,$∠ ABC = ∠ BCD = 90°$.
$\because BF = CE$,$\therefore △ ABF ≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$,$\therefore AF = BE$.
(2)证明:如题图2,延长HE交AD的延长线于点N.
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore AB = AD$,$∠ ABC = ∠ ADC = 90°$,$AD // BC$,$\therefore ∠ DAF = ∠ AFB$.
$\because EH ⊥ AF$,$\therefore ∠ DAF + ∠ N = 90° = ∠ BAF + ∠ AFB$,$\therefore ∠ BAF = ∠ N$.
又$\because ∠ ABF = ∠ NDE = 90°$,$BF = DE$,$\therefore △ ABF ≌ △ NDE(\mathrm{AAS})$,$\therefore AB = DN$,$\therefore AD = DN$.
又$\because NH ⊥ AF$,$\therefore DH = \dfrac{1}{2}AN = AD$,$\therefore DH = AB$.
(3)如图1,当点G离点B较近时,过点B作$BH // EG$交CD于点H,
$\because EG // BH$,$AB // CD$,$\therefore$ 四边形BHEG是平行四边形,$\therefore GE = BH$,$GB = EH$.
$\because DE = CE$,$DC = 4$,$\therefore DE = EC = 2$. $\because EG = AF = BH$,$AB = BC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ BCH(\mathrm{HL})$,
$\therefore BF = CH = \dfrac{4}{3}$,$\therefore EH = \dfrac{2}{3}$,$\therefore GB = EH = \dfrac{2}{3}$,$\therefore AG = AB - BG = 4 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}$;
如图2,当点G离点A较近时,过点A作$AH // GE$.
$\because EG // AH$,$AB // CD$,$\therefore$ 四边形AHEG是平行四边形,$\therefore GE = AH$,$AG = EH$.
$\because DE = CE$,$DC = 4$,$\therefore DE = EC = 2$.
$\because EG = AF = AH$,$AB = AD$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ ADH(\mathrm{HL})$,
$\therefore BF = DH = \dfrac{4}{3}$,$\therefore EH = \dfrac{2}{3}$,$\therefore AG = EH = \dfrac{2}{3}$.
综上所述,AG的长为$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{10}{3}$.

【分析】
本题为正方形相关的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证AF=BE，利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合已知BF=CE，通过SAS证明△ABF与△BCE全等，即可得到对应边相等；
(2) 要证DH=AB，利用正方形AD=AB的性质转化为证DH=AD；通过延长HE交AD延长线构造全等三角形，结合EH⊥AF的直角条件，用AAS证明△ABF与△NDE全等，得到AD=DN，再根据直角三角形斜边中线定理，得DH=AD，从而完成证明；
(3) 已知EG=AF，分点G靠近A、靠近B两种情况，构造平行四边形得到线段关系，再用HL证明直角三角形全等，计算线段长度，进而求出AG，需注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABF=∠BCE=90°，
在△ABF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AB=BC \\ ∠ABF=∠BCE \\ BF=CE \end{array} $
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE；
(2) 证明：如图2，延长HE交AD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵EH⊥AF，
∴∠AHN=90°，
∴∠DAF + ∠N = 90°，
又
∵∠BAF + ∠AFB = 90°，
∴∠BAF=∠N，
在△ABF和△NDE中，
$\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠NDE=90° \\ ∠BAF=∠N \\ BF=DE \end{array} $
∴△ABF≌△NDE（AAS），
∴AB=DN，
又
∵AB=AD，
∴AD=DN，
∵NH⊥AF，即△AHN为直角三角形，
∴DH是Rt△AHN斜边AN的中线，
∴DH=$\frac{1}{2}$AN=AD，
又
∵AD=AB，
∴DH=AB；
(3) 分两种情况：
① 当G靠近B时，过B作BH//EG交CD于H，
∵EG//BH，AB//CD，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∴GE=BH，GB=EH，
∵DE=CE，DC=4，
∴DE=EC=2，
∵EG=AF，
∴BH=AF，
在Rt△ABF和Rt△BCH中，
$\{\begin{array}{l} AB=BC \\ AF=BH \end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△BCH（HL），
∴BF=CH=$\frac{4}{3}$，
∴EH=EC - CH=2 - $\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴GB=EH=$\frac{2}{3}$，
∴AG=AB - BG=4 - $\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$；
② 当G靠近A时，过A作AH//GE交CD于H，
∵EG//AH，AB//CD，
∴四边形AHEG是平行四边形，
∴GE=AH，AG=EH，
∵DE=CE，DC=4，
∴DE=EC=2，
∵EG=AF，
∴AH=AF，
在Rt△ABF和Rt△ADH中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ AF=AH \end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△ADH（HL），
∴BF=DH=$\frac{4}{3}$，
∴EH=DE - DH=2 - $\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴AG=EH=$\frac{2}{3}$；
综上，AG的长为$\frac{2}{3}$或$\frac{10}{3}$。
【答案】$\frac{2}{3}$或$\frac{10}{3}$
【知识点】正方形性质、全等三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理、平行四边形判定与性质
【点评】本题是正方形的综合几何题，涵盖全等三角形、特殊四边形的性质与判定，以及直角三角形的核心性质，需掌握构造辅助线的常用方法（如延长线构造全等、平行四边形转化线段），第三问的分类讨论是易错点，对几何逻辑思维能力要求较高。
【难度系数】0.4