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21. (7分)如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点都是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.(画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示)
(1)如图1,先画点D,使四边形ABDC为平行四边形,连接AD交BC于点E,再在AC上画点F,使$EF // AB$;
(2)在图2中,先在△ABC内部画格点M,连接AM,BM,CM,使$S_{△ ABM}=S_{△ BCM}=S_{△ ACM}$,再画点M关于AB的对称点N.
B卷(39分)
(1)如图1,先画点D,使四边形ABDC为平行四边形,连接AD交BC于点E,再在AC上画点F,使$EF // AB$;
(2)在图2中,先在△ABC内部画格点M,连接AM,BM,CM,使$S_{△ ABM}=S_{△ BCM}=S_{△ ACM}$,再画点M关于AB的对称点N.
B卷(39分)
答案
21. 【点拨】本题考查作图——轴对称变换,三角形中位线定理,平行四边形的判定和性质,理解题意,灵活运用所学知识是解题的关键.
【解析】(1)如
所示.(2)如
所示.解析
【分析】
本题是网格作图题，需结合平行四边形性质、三角形中位线定理、三角形重心性质及轴对称性质完成作图。
(1) 画平行四边形ABDC时，利用平行四边形对边平行且相等，在格点中确定点D；连接AD与BC交于E，因平行四边形对角线互相平分，E是BC中点；要使EF//AB，根据三角形中位线定理，取AC中点F，连接EF即可（三角形中位线平行于第三边）。
(2) 要使三个小三角形面积相等，点M是△ABC的重心（三条中线交点，将三角形分成面积相等的三部分），先作两条中线得M；再根据轴对称性质，作M关于AB的对称点N，即作M到AB的垂线，延长相同长度得到N。
【解析】
(1) ① 依据平行四边形对边平行且相等，在网格中找到格点D，使AB与CD平行且长度相等，AC与BD平行且长度相等，顺次连接A、B、D、C，得到平行四边形ABDC；② 连接AD，AD与BC交于点E（平行四边形对角线互相平分，E为BC中点）；③ 取AC的中点F，连接EF，由三角形中位线定理，EF//AB，完成图1的作图。
(2) ① 作△ABC的两条中线：取BC的中点，连接该中点与顶点A；取AC的中点，连接该中点与顶点B，两条中线的交点即为格点M（三角形重心，此时S△ABM=S△BCM=S△ACM）；② 过点M作AB的垂线，在垂线上AB的另一侧取点N，使N到AB的距离等于M到AB的距离，得到点N，即M关于AB的对称点，完成图2的作图。
【答案】
(1) 如所示；(2) 如所示
【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理、三角形重心、轴对称变换
【点评】
本题考查网格中的几何作图，核心是运用平行四边形、三角形中位线、重心及轴对称的基本性质，结合格点特点作图，是基础几何知识的综合应用，需掌握相关性质才能准确完成。
【难度系数】
0.5
本题是网格作图题，需结合平行四边形性质、三角形中位线定理、三角形重心性质及轴对称性质完成作图。
(1) 画平行四边形ABDC时，利用平行四边形对边平行且相等，在格点中确定点D；连接AD与BC交于E，因平行四边形对角线互相平分，E是BC中点；要使EF//AB，根据三角形中位线定理，取AC中点F，连接EF即可（三角形中位线平行于第三边）。
(2) 要使三个小三角形面积相等，点M是△ABC的重心（三条中线交点，将三角形分成面积相等的三部分），先作两条中线得M；再根据轴对称性质，作M关于AB的对称点N，即作M到AB的垂线，延长相同长度得到N。
【解析】
(1) ① 依据平行四边形对边平行且相等，在网格中找到格点D，使AB与CD平行且长度相等，AC与BD平行且长度相等，顺次连接A、B、D、C，得到平行四边形ABDC；② 连接AD，AD与BC交于点E（平行四边形对角线互相平分，E为BC中点）；③ 取AC的中点F，连接EF，由三角形中位线定理，EF//AB，完成图1的作图。
(2) ① 作△ABC的两条中线：取BC的中点，连接该中点与顶点A；取AC的中点，连接该中点与顶点B，两条中线的交点即为格点M（三角形重心，此时S△ABM=S△BCM=S△ACM）；② 过点M作AB的垂线，在垂线上AB的另一侧取点N，使N到AB的距离等于M到AB的距离，得到点N，即M关于AB的对称点，完成图2的作图。
【答案】
(1) 如
所示；(2) 如所示【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理、三角形重心、轴对称变换
【点评】
本题考查网格中的几何作图，核心是运用平行四边形、三角形中位线、重心及轴对称的基本性质，结合格点特点作图，是基础几何知识的综合应用，需掌握相关性质才能准确完成。
【难度系数】
0.5
一、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
22. 化简:$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} =$
22. 化简:$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} =$
$-\sqrt{6}$
.答案
22. $-\sqrt{6}$ 【点拨】本题考查二次根式的化简,掌握二次根式的性质是解题的关键.
【解析】设$x = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} ＜ 0$,则$x^2 = (6 - 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} × \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + (6 + 3\sqrt{3}) = 12 - 6 = 6, \therefore \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} = -\sqrt{6}$.故答案为$-\sqrt{6}$.
【解析】设$x = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} ＜ 0$,则$x^2 = (6 - 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} × \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} + (6 + 3\sqrt{3}) = 12 - 6 = 6, \therefore \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} = -\sqrt{6}$.故答案为$-\sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题是双重二次根式的化简问题，直接分别化简两个双重二次根式较为复杂，可采用设元法简化计算：令原式等于$x$，对$x$平方后利用二次根式乘法法则计算，再根据$x$的正负确定最终结果，这样能快速得到结果。
【解析】
设$x = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$，先判断$x$的正负：因为$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} ＜ \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$，所以$x ＜ 0$。
对$x$两边平方：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}})^2\\&=(6 - 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{(6 - 3\sqrt{3})(6 + 3\sqrt{3})} + (6 + 3\sqrt{3})\\&=12 - 2\sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2}\\&=12 - 2\sqrt{36 - 27}\\&=12 - 2×3\\&=6\end{aligned}$
因为$x ＜ 0$，所以$x = -\sqrt{6}$，即原式结果为$-\sqrt{6}$。
【答案】
$-\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式性质
【点评】
本题考查双重二次根式的化简，设元平方是核心解题技巧，避免了直接拆分双重根式的复杂运算，需注意计算后判断结果的正负，防止符号错误。
【难度系数】
0.4
本题是双重二次根式的化简问题，直接分别化简两个双重二次根式较为复杂，可采用设元法简化计算：令原式等于$x$，对$x$平方后利用二次根式乘法法则计算，再根据$x$的正负确定最终结果，这样能快速得到结果。
【解析】
设$x = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$，先判断$x$的正负：因为$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} ＜ \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$，所以$x ＜ 0$。
对$x$两边平方：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}})^2\\&=(6 - 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{(6 - 3\sqrt{3})(6 + 3\sqrt{3})} + (6 + 3\sqrt{3})\\&=12 - 2\sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2}\\&=12 - 2\sqrt{36 - 27}\\&=12 - 2×3\\&=6\end{aligned}$
因为$x ＜ 0$，所以$x = -\sqrt{6}$，即原式结果为$-\sqrt{6}$。
【答案】
$-\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式性质
【点评】
本题考查双重二次根式的化简，设元平方是核心解题技巧，避免了直接拆分双重根式的复杂运算，需注意计算后判断结果的正负，防止符号错误。
【难度系数】
0.4
23. 已知关于$ x $的两个方程$ x^2 - x + 5c = 0, x^2 + x + c = 0(c ≠ 0) $. 若前一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的5倍,则实数$ c $的值是________ \.
答案
23. $-\dfrac{3}{4}$ 【点拨】本题考查一元二次方程根的定义,掌握一元二次方程根的定义是解题的关键.
【解析】设$a$是方程$x^2 + x + c = 0$的一个根,则$5a$是方程$x^2 - x + 5c = 0$的一个根,那么$a^2 + a + c = 0$①,$25a^2 - 5a + 5c = 0$②,②$-$①$× 5$,得$20a^2 - 10a = 0$,解得$a = 0$或$a = \dfrac{1}{2}$. 当$a = 0$时,$0^2 + 0 + c = 0$,解得$c = 0$(不符合题意,舍去);当$a = \dfrac{1}{2}$时,$(\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{2} + c = 0$,解得$c = -\dfrac{3}{4}$. 综上,实数$c$的值为$-\dfrac{3}{4}$. 故答案为$-\dfrac{3}{4}$.
【解析】设$a$是方程$x^2 + x + c = 0$的一个根,则$5a$是方程$x^2 - x + 5c = 0$的一个根,那么$a^2 + a + c = 0$①,$25a^2 - 5a + 5c = 0$②,②$-$①$× 5$,得$20a^2 - 10a = 0$,解得$a = 0$或$a = \dfrac{1}{2}$. 当$a = 0$时,$0^2 + 0 + c = 0$,解得$c = 0$(不符合题意,舍去);当$a = \dfrac{1}{2}$时,$(\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{2} + c = 0$,解得$c = -\dfrac{3}{4}$. 综上,实数$c$的值为$-\dfrac{3}{4}$. 故答案为$-\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用“前一个方程的根是后一个方程某个根的5倍”的关系，设后一个方程的根为$a$，则前一个方程对应的根为$5a$；再根据一元二次方程根的定义，将根代入对应方程得到方程组，联立求解后，结合题目中$c≠0$的条件舍去不符合的解，即可得到$c$的值。
【解析】
设$a$是方程$x^2 + x + c = 0$的一个根，则$5a$是方程$x^2 - x + 5c = 0$的一个根。
根据一元二次方程根的定义，将根代入对应方程得：
$a^2 + a + c = 0$ ①
$(5a)^2 - 5a + 5c = 0$，即$25a^2 - 5a + 5c = 0$ ②
用②减去①的5倍，消去$c$：
$25a^2 -5a +5c -5(a^2 +a +c) = 0$
展开化简得：$20a^2 -10a =0$，提取公因式得$10a(2a -1)=0$
解得$a=0$或$a=\frac{1}{2}$。
当$a=0$时，代入①得$c=0$，与题目中$c≠0$矛盾，舍去；
当$a=\frac{1}{2}$时，代入①得$(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} +c=0$，计算得$\frac{3}{4} +c=0$，解得$c=-\frac{3}{4}$，符合题意。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题关键是根据根的数量关系设未知数，代入方程联立求解，需注意题目中$c≠0$的限制条件，避免得到不符合题意的解，整体难度中等，适合巩固一元二次方程根的相关知识。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是利用“前一个方程的根是后一个方程某个根的5倍”的关系，设后一个方程的根为$a$，则前一个方程对应的根为$5a$；再根据一元二次方程根的定义，将根代入对应方程得到方程组，联立求解后，结合题目中$c≠0$的条件舍去不符合的解，即可得到$c$的值。
【解析】
设$a$是方程$x^2 + x + c = 0$的一个根，则$5a$是方程$x^2 - x + 5c = 0$的一个根。
根据一元二次方程根的定义，将根代入对应方程得：
$a^2 + a + c = 0$ ①
$(5a)^2 - 5a + 5c = 0$，即$25a^2 - 5a + 5c = 0$ ②
用②减去①的5倍，消去$c$：
$25a^2 -5a +5c -5(a^2 +a +c) = 0$
展开化简得：$20a^2 -10a =0$，提取公因式得$10a(2a -1)=0$
解得$a=0$或$a=\frac{1}{2}$。
当$a=0$时，代入①得$c=0$，与题目中$c≠0$矛盾，舍去；
当$a=\frac{1}{2}$时，代入①得$(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} +c=0$，计算得$\frac{3}{4} +c=0$，解得$c=-\frac{3}{4}$，符合题意。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题关键是根据根的数量关系设未知数，代入方程联立求解，需注意题目中$c≠0$的限制条件，避免得到不符合题意的解，整体难度中等，适合巩固一元二次方程根的相关知识。
【难度系数】
0.5
24. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10,E是对角线BD上的动点,连接CE,以CE,CD为边作$□ CEFD$,连接CF,则$CE+CF$的最小值为
$\sqrt{185}$
.答案
24. $\sqrt{185}$ 【点拨】本题考查轴对称——最短路线问题,矩形的性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理,识别出“将军饮马”模型和线段转化是解题的关键.
【解析】如
,连接$AF. \because$ 四边形$ABCD$是矩形,四边形$CEFD$是平行四边形,$\therefore AB = CD, AB // CD, EF = CD, EF // CD, CE = DF, \therefore AB = EF, AB // EF, \therefore$ 四边形$ABEF$是平行四边形,$\therefore$ 点$F$的运动轨迹是$AF$所在的直线.$\because CE = DF, \therefore CE + CF = DF + CF$,$\therefore$ 要求$CE + CF$的最小值,可以转化为求$DF + CF$的最小值.作点$D$关于直线$AF$的对称点$G$,连接$CG$,过点$G$作$GH ⊥ CD$交$CD$的延长线于点$H$,延长$AF$交$CH$于点$N$,设$DG$与$AN$交于点$M$,过点$M$作$MP ⊥ CH$于点$P$,连接$GF, \therefore MP // GH, DF + CF = GF + CF ≥ CG$,当$C,F,G$三点共线时取等号,此时$CF + DF$有最小值$CG. \because$ 四边形$ABEF$是平行四边形,四边形$CEFD$是平行四边形,$\therefore AF // BE, EF // DC$,即$FN // ED, FE // ND, \therefore$ 四边形$FEDN$是平行四边形,$\therefore EF = DN, \therefore DN = AB. \because AB = 5, BC = 10, \therefore DN = 5, AD = 10$. 在$\mathrm{Rt}△ ADN$中,$AN = \sqrt{AD^2 + DN^2} = 5\sqrt{5}. \because DM ⊥ AN, \therefore DM = \dfrac{AD · DN}{AN} = 2\sqrt{5}$. 在$\mathrm{Rt}△ DMN$中,$MN = \sqrt{DN^2 - DM^2} = \sqrt{5}. \because MP ⊥ CN, \therefore MP = \dfrac{DM · MN}{DN} = 2$. 在$\mathrm{Rt}△ MDP$中,$DP = \sqrt{DM^2 - MP^2} = 4$. $\because M$是$DG$的中点,$MP // GH, \therefore MP$是$△ DGH$的中位线,$\therefore GH = 2MP = 4, DH = 2DP = 8, \therefore CH = CD + DH = 13$. 在$\mathrm{Rt}△ CHG$中,$CG = \sqrt{CH^2 + GH^2} = \sqrt{185}, \therefore CE + CF$的最小值是$\sqrt{185}$. 故答案为$\sqrt{185}$.解析
【分析】首先利用矩形和平行四边形的性质，将CE转化为DF，把CE+CF转化为DF+CF；接着通过证明四边形ABEF是平行四边形，确定点F的运动轨迹为直线AF；最后利用轴对称的“将军饮马”模型，作点D关于直线AF的对称点G，将DF转化为GF，此时DF+CF的最小值即为线段CG的长度，通过勾股定理计算CG即可得到结果。
【解析】连接AF。
∵四边形ABCD是矩形，四边形CEFD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，EF=CD，EF//CD，CE=DF，
∴AB=EF，AB//EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴点F的运动轨迹是直线AF。
∵CE=DF，
∴CE+CF=DF+CF，要求CE+CF的最小值，即求DF+CF的最小值。
作点D关于直线AF的对称点G，连接CG，过点G作GH⊥CD交CD的延长线于点H，延长AF交CH于点N，设DG与AN交于点M，过点M作MP⊥CH于点P，连接GF，则DF=GF，
∴DF+CF=GF+CF≥CG，当C、F、G三点共线时取等号，此时CE+CF的最小值为CG。
∵四边形ABEF是平行四边形，四边形CEFD是平行四边形，
∴AF//BE，EF//DC，即FN//ED，FE//ND，
∴四边形FEDN是平行四边形，
∴EF=DN，又EF=AB，AB=5，
∴DN=5。
在Rt△ADN中，AD=BC=10，DN=5，
∴AN=√(AD²+DN²)=√(10²+5²)=5√5。
∵DM⊥AN，
∴DM=(AD·DN)/AN=(10×5)/(5√5)=2√5。
在Rt△DMN中，MN=√(DN²-DM²)=√(5²-(2√5)²)=√5。
∵MP⊥CN，M是DG中点，MP//GH，
∴MP是△DGH的中位线，计算得MP=2，GH=2MP=4，DP=4，DH=2DP=8，CH=CD+DH=13。
在Rt△CHG中，CG=√(CH²+GH²)=√(13²+4²)=√185，
∴CE+CF的最小值为√185。
【答案】√185
【知识点】矩形性质、平行四边形性质、轴对称最短路径
【点评】本题综合考查了矩形、平行四边形的性质，以及轴对称求最短路径的“将军饮马”模型，解题关键是通过线段转化确定F的运动轨迹，将所求最小值转化为两点间的距离，需要学生具备较强的图形分析和转化能力。
【难度系数】0.3
【解析】连接AF。
∵四边形ABCD是矩形，四边形CEFD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，EF=CD，EF//CD，CE=DF，
∴AB=EF，AB//EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴点F的运动轨迹是直线AF。
∵CE=DF，
∴CE+CF=DF+CF，要求CE+CF的最小值，即求DF+CF的最小值。
作点D关于直线AF的对称点G，连接CG，过点G作GH⊥CD交CD的延长线于点H，延长AF交CH于点N，设DG与AN交于点M，过点M作MP⊥CH于点P，连接GF，则DF=GF，
∴DF+CF=GF+CF≥CG，当C、F、G三点共线时取等号，此时CE+CF的最小值为CG。
∵四边形ABEF是平行四边形，四边形CEFD是平行四边形，
∴AF//BE，EF//DC，即FN//ED，FE//ND，
∴四边形FEDN是平行四边形，
∴EF=DN，又EF=AB，AB=5，
∴DN=5。
在Rt△ADN中，AD=BC=10，DN=5，
∴AN=√(AD²+DN²)=√(10²+5²)=5√5。
∵DM⊥AN，
∴DM=(AD·DN)/AN=(10×5)/(5√5)=2√5。
在Rt△DMN中，MN=√(DN²-DM²)=√(5²-(2√5)²)=√5。
∵MP⊥CN，M是DG中点，MP//GH，
∴MP是△DGH的中位线，计算得MP=2，GH=2MP=4，DP=4，DH=2DP=8，CH=CD+DH=13。
在Rt△CHG中，CG=√(CH²+GH²)=√(13²+4²)=√185，
∴CE+CF的最小值为√185。
【答案】√185
【知识点】矩形性质、平行四边形性质、轴对称最短路径
【点评】本题综合考查了矩形、平行四边形的性质，以及轴对称求最短路径的“将军饮马”模型，解题关键是通过线段转化确定F的运动轨迹，将所求最小值转化为两点间的距离，需要学生具备较强的图形分析和转化能力。
【难度系数】0.3
25. 一次函数$y_1 = kx + b(b ＞ 5)$与$y_2 = mx - m$的图象交于点$A(3,2)$，下列结论一定正确的有________（填序号）.
①关于$x$的方程$kx + b = mx - m$的解为$x = 3$；②$k ＜ -1$；③若$|y_1 - y_2| = b + 1$，则$x = 0$；④将直线$y_1$沿$y$轴向下平移后得到直线$y_3$，$y_3$交$y_2$于点$B$，若点$B$的纵坐标为$1$，当$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$时，$2 ＜ x ＜ 3$.
①关于$x$的方程$kx + b = mx - m$的解为$x = 3$；②$k ＜ -1$；③若$|y_1 - y_2| = b + 1$，则$x = 0$；④将直线$y_1$沿$y$轴向下平移后得到直线$y_3$，$y_3$交$y_2$于点$B$，若点$B$的纵坐标为$1$，当$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$时，$2 ＜ x ＜ 3$.
答案
25. ①②④ 【点拨】本题考查一次函数的性质,一次函数图象与几何变换,一次函数与不等式的关系,一次函数与方程的关系,数形结合是解题的关键.
【解析】①一次函数$y_1 = kx + b(b ＞ 5)$与$y_2 = mx - m$的图象交于点$A(3,2), \therefore$ 关于$x$的方程$kx + b = mx - m$的解为$x = 3$,故①正确;
②$\because$ 一次函数$y_1 = kx + b(b ＞ 5)$的图象过点$A(3,2), \therefore 2 = 3k + b, \therefore k = \dfrac{2 - b}{3}. \because b ＞ 5, \therefore 2 - b ＜ -3, \therefore k ＜ -1$,故②正确;③$\because y_2 = mx - m$的图象过点$A(3,2), \therefore 2 = 3m - m, \therefore m = 1, \therefore y_2 = x - 1, \therefore |y_1 - y_2| = |kx + b - x + 1|. \because |y_1 - y_2| = b + 1, \therefore kx - x = 0$或$kx - x = -2b - 2. \because 2 = 3k + b, \therefore b = 2 - 3k, \therefore (k - 1)x = 0$或$(k - 1)x = 6(k - 1). \because k ≠ 1, \therefore x = 0$或$x = 6$,故③错误;④将直线$y_1$沿$y$轴向下平移后得到直线$y_3$,$y_3$交$y_2$于点$B$,若点$B$的纵坐标为1,如
,可知当$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$时,$2 ＜ x ＜ 3$,故④正确. 综上,结论一定正确的有①②④. 故答案为①②④.解析
【分析】
本题围绕一次函数的性质、与方程/不等式的关系、平移展开，需逐个分析结论：①利用函数交点与对应方程解的关系判断；②代入交点求k的表达式，结合b的范围推导k的范围；③先求y₂的解析式，再代入绝对值等式，结合k与b的关系求解；④结合y₂上点B的坐标，利用函数平移和不等式性质判断x的范围，核心是数形结合与代数运算结合。
【解析】
① 一次函数$y_1=kx+b$与$y_2=mx-m$的图象交于点$A(3,2)$，根据一次函数交点的意义，两函数交点的横坐标即为方程$kx+b=mx-m$的解，故方程的解为$x=3$，①正确；
② 将$A(3,2)$代入$y_1=kx+b$，得$2=3k+b$，整理得$k=\frac{2-b}{3}$。已知$b＞5$，则$2-b＜-3$，因此$k=\frac{2-b}{3}＜\frac{-3}{3}=-1$，故$k＜-1$，②正确；
③ 先求$y_2$的解析式：将$A(3,2)$代入$y_2=mx-m$，得$2=3m-m$，解得$m=1$，故$y_2=x-1$。将$|y_1-y_2|=b+1$代入得$|kx+b-(x-1)|=b+1$，即$|(k-1)x + b +1|=b+1$。结合$b=2-3k$（由②中$2=3k+b$得），代入得$|(k-1)x + 3 -3k|=3-3k$，提取公因式得$|(k-1)(x-3)|=3(1-k)$。因$k＜-1$，故$k-1≠0$，两边除以$|k-1|=1-k$，得$|x-3|=3$，解得$x=0$或$x=6$，并非仅$x=0$，故③错误；
④ 点$B$在$y_2=x-1$上，纵坐标为1，代入得$1=x-1$，解得$x=2$，即$B(2,1)$。$y_3$是$y_1$沿$y$轴向下平移得到，故$y_3$斜率与$y_1$相同，设为$y_3=kx+c$，代入$B(2,1)$得$1=2k+c$，即$c=1-2k$。要满足$y_3＜y_2＜y_1$，即$kx+c ＜x-1 ＜kx+b$：
对$x-1 ＜kx+b$，整理得$(1-k)x ＜b+1$，因$k＜-1$，故$1-k＞0$，代入$b=2-3k$得$(1-k)x ＜3-3k$，两边除以$1-k$得$x＜3$；
对$kx+c ＜x-1$，整理得$(k-1)x ＜ -1 -c$，代入$c=1-2k$得$(k-1)x ＜2k-2$，因$k-1＜0$，两边除以$k-1$得$x＞2$；
因此$2＜x＜3$，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与方程的关系；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题综合考查一次函数的核心知识点，需结合数形结合思想，对绝对值方程、不等式方向判断等细节要求较高，能有效区分学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.3
本题围绕一次函数的性质、与方程/不等式的关系、平移展开，需逐个分析结论：①利用函数交点与对应方程解的关系判断；②代入交点求k的表达式，结合b的范围推导k的范围；③先求y₂的解析式，再代入绝对值等式，结合k与b的关系求解；④结合y₂上点B的坐标，利用函数平移和不等式性质判断x的范围，核心是数形结合与代数运算结合。
【解析】
① 一次函数$y_1=kx+b$与$y_2=mx-m$的图象交于点$A(3,2)$，根据一次函数交点的意义，两函数交点的横坐标即为方程$kx+b=mx-m$的解，故方程的解为$x=3$，①正确；
② 将$A(3,2)$代入$y_1=kx+b$，得$2=3k+b$，整理得$k=\frac{2-b}{3}$。已知$b＞5$，则$2-b＜-3$，因此$k=\frac{2-b}{3}＜\frac{-3}{3}=-1$，故$k＜-1$，②正确；
③ 先求$y_2$的解析式：将$A(3,2)$代入$y_2=mx-m$，得$2=3m-m$，解得$m=1$，故$y_2=x-1$。将$|y_1-y_2|=b+1$代入得$|kx+b-(x-1)|=b+1$，即$|(k-1)x + b +1|=b+1$。结合$b=2-3k$（由②中$2=3k+b$得），代入得$|(k-1)x + 3 -3k|=3-3k$，提取公因式得$|(k-1)(x-3)|=3(1-k)$。因$k＜-1$，故$k-1≠0$，两边除以$|k-1|=1-k$，得$|x-3|=3$，解得$x=0$或$x=6$，并非仅$x=0$，故③错误；
④ 点$B$在$y_2=x-1$上，纵坐标为1，代入得$1=x-1$，解得$x=2$，即$B(2,1)$。$y_3$是$y_1$沿$y$轴向下平移得到，故$y_3$斜率与$y_1$相同，设为$y_3=kx+c$，代入$B(2,1)$得$1=2k+c$，即$c=1-2k$。要满足$y_3＜y_2＜y_1$，即$kx+c ＜x-1 ＜kx+b$：
对$x-1 ＜kx+b$，整理得$(1-k)x ＜b+1$，因$k＜-1$，故$1-k＞0$，代入$b=2-3k$得$(1-k)x ＜3-3k$，两边除以$1-k$得$x＜3$；
对$kx+c ＜x-1$，整理得$(k-1)x ＜ -1 -c$，代入$c=1-2k$得$(k-1)x ＜2k-2$，因$k-1＜0$，两边除以$k-1$得$x＞2$；
因此$2＜x＜3$，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与方程的关系；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题综合考查一次函数的核心知识点，需结合数形结合思想，对绝对值方程、不等式方向判断等细节要求较高，能有效区分学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.3
26. (6分)A城有肥料400 t,B城有肥料600 t,现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料480 t,D乡需要肥料520 t.设从A城运往C乡x t肥料,总运费为y元.
(1)①从B城运往C乡的肥料为
②求y关于x的函数解析式,并求出最少总运费;
(2)由于更换车型,使从A城运往C乡的运费每吨减少$m(4＜m＜6)$元,其他不变,这时怎样调运才能使总运费最少?
(1)①从B城运往C乡的肥料为
$480-x$
t,从B城运往D乡的肥料为$120+x$
t;(用含x的式子表示)②求y关于x的函数解析式,并求出最少总运费;
(2)由于更换车型,使从A城运往C乡的运费每吨减少$m(4＜m＜6)$元,其他不变,这时怎样调运才能使总运费最少?
答案
26. 【点拨】本题考查一次函数的实际应用,根据题意求出一次函数解析式,掌握一次函数的性质是解题的关键.
【解析】(1)①从B城运往C乡的肥料为$(480 - x)\mathrm{t}$,
从B城运往D乡的肥料为$(120 + x)\mathrm{t}$.
故答案为$(480 - x), (120 + x)$.
②根据题意,得$y = 20x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x)$,
即$y = 4x + 20080(0 ≤ x ≤ 400)$,
$\because k = 4 ＞ 0, \therefore y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$x = 0$时,$y$取得最小值,为20080,即最少总运费为20080元.
(2)$y = (20 - m)x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x) = (4 - m)x + 20080(0 ≤ x ≤ 400)$,
$\because 4 ＜ m ＜ 6, \therefore 4 - m ＜ 0$,
$\therefore y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x = 400$时,$y$最小,
$\therefore$ 调运方案为从A城运往C乡400 t肥料,运往D乡0 t肥料,从B城运往C乡80 t肥料,运往D乡520 t肥料.
【解析】(1)①从B城运往C乡的肥料为$(480 - x)\mathrm{t}$,
从B城运往D乡的肥料为$(120 + x)\mathrm{t}$.
故答案为$(480 - x), (120 + x)$.
②根据题意,得$y = 20x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x)$,
即$y = 4x + 20080(0 ≤ x ≤ 400)$,
$\because k = 4 ＞ 0, \therefore y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$x = 0$时,$y$取得最小值,为20080,即最少总运费为20080元.
(2)$y = (20 - m)x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x) = (4 - m)x + 20080(0 ≤ x ≤ 400)$,
$\because 4 ＜ m ＜ 6, \therefore 4 - m ＜ 0$,
$\therefore y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x = 400$时,$y$最小,
$\therefore$ 调运方案为从A城运往C乡400 t肥料,运往D乡0 t肥料,从B城运往C乡80 t肥料,运往D乡520 t肥料.
解析
【分析】
本题是一次函数在调运问题中的实际应用，解题思路为：1. 根据各城肥料总量、各乡需求量，用含x的式子表示各调运路线的肥料量，结合运量非负确定自变量x的取值范围；2. 总运费为各调运路线运费之和，据此列出总运费关于x的函数解析式；3. 根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围，求出总运费的最小值；4. 当A城运往C乡的运费减少m元时，重新整理函数解析式，根据m的范围判断函数增减性，进而确定最优调运方案。
【解析】
(1)① 已知从A城运往C乡x t，A城有肥料400 t，则从A城运往D乡的肥料为(400 - x) t；C乡需要肥料480 t，因此从B城运往C乡的肥料为(480 - x) t；B城有肥料600 t，所以从B城运往D乡的肥料为600 - (480 - x) = (120 + x) t。
② 总运费y为各路线运费之和：
$\begin{aligned}y&=20x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x)\\&=20x + 10000 -25x +7200 -15x +2880 +24x\\&=4x + 20080\end{aligned}$
根据运量非负，得自变量x的取值范围为$0 ≤ x ≤ 400$。
因为$k=4＞0$，所以y随x的增大而增大，当$x=0$时，y取得最小值，最小值为$20080$元，即最少总运费为20080元。
(2) 运费调整后，总运费为：
$\begin{aligned}y&=(20 - m)x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x)\\&=(4 - m)x + 20080\end{aligned}$
已知$4 ＜ m ＜ 6$，则$4 - m ＜ 0$，所以y随x的增大而减小，当$x=400$时，y最小。
此时调运方案：从A城运往C乡400 t，运往D乡0 t；从B城运往C乡$480 - 400 = 80$ t，运往D乡$120 + 400 = 520$ t。
【答案】
(1)①$(480 - x)$，$(120 + x)$；②$y=4x + 20080(0 ≤ x ≤ 400)$，最少总运费为20080元；(2)从A城运往C乡400 t，运往D乡0 t，从B城运往C乡80 t，运往D乡520 t。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题为典型的一次函数调运问题，需理清各调运量的数量关系，正确建立函数解析式，利用一次函数增减性求最值，同时注意自变量的实际取值范围，考查学生的逻辑分析与运算能力。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数在调运问题中的实际应用，解题思路为：1. 根据各城肥料总量、各乡需求量，用含x的式子表示各调运路线的肥料量，结合运量非负确定自变量x的取值范围；2. 总运费为各调运路线运费之和，据此列出总运费关于x的函数解析式；3. 根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围，求出总运费的最小值；4. 当A城运往C乡的运费减少m元时，重新整理函数解析式，根据m的范围判断函数增减性，进而确定最优调运方案。
【解析】
(1)① 已知从A城运往C乡x t，A城有肥料400 t，则从A城运往D乡的肥料为(400 - x) t；C乡需要肥料480 t，因此从B城运往C乡的肥料为(480 - x) t；B城有肥料600 t，所以从B城运往D乡的肥料为600 - (480 - x) = (120 + x) t。
② 总运费y为各路线运费之和：
$\begin{aligned}y&=20x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x)\\&=20x + 10000 -25x +7200 -15x +2880 +24x\\&=4x + 20080\end{aligned}$
根据运量非负，得自变量x的取值范围为$0 ≤ x ≤ 400$。
因为$k=4＞0$，所以y随x的增大而增大，当$x=0$时，y取得最小值，最小值为$20080$元，即最少总运费为20080元。
(2) 运费调整后，总运费为：
$\begin{aligned}y&=(20 - m)x + 25(400 - x) + 15(480 - x) + 24(120 + x)\\&=(4 - m)x + 20080\end{aligned}$
已知$4 ＜ m ＜ 6$，则$4 - m ＜ 0$，所以y随x的增大而减小，当$x=400$时，y最小。
此时调运方案：从A城运往C乡400 t，运往D乡0 t；从B城运往C乡$480 - 400 = 80$ t，运往D乡$120 + 400 = 520$ t。
【答案】
(1)①$(480 - x)$，$(120 + x)$；②$y=4x + 20080(0 ≤ x ≤ 400)$，最少总运费为20080元；(2)从A城运往C乡400 t，运往D乡0 t，从B城运往C乡80 t，运往D乡520 t。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题为典型的一次函数调运问题，需理清各调运量的数量关系，正确建立函数解析式，利用一次函数增减性求最值，同时注意自变量的实际取值范围，考查学生的逻辑分析与运算能力。
【难度系数】
0.5
