27. (9分)如图,M为正方形ABCD内一点,AM=AD,连接MD,BM.
(1)如图1,求∠BMD的度数;
(2)过点B作BG⊥DM于点G,连接CG.
①如图2,试探究DM和CG的数量关系,并证明;
②如图3,连接AG交BC于点E,若AB=6,BE=2CE,请直接写出CG的长:.

27. 【点拨】本题考查正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,掌握相关知识是解题的关键.
【解析】(1)$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore ∠ BAD = 90°, AB = AD$.
$\because AM = AD, \therefore AB = AM, ∠ ADM = ∠ AMD = \dfrac{180° - ∠ DAM}{2}$,
$\therefore ∠ ABM = ∠ AMB = \dfrac{180° - ∠ BAM}{2}$,
$\therefore ∠ AMD + ∠ AMB = \dfrac{180° - ∠ DAM + 180° - ∠ BAM}{2} = \dfrac{360° - (∠ DAM + ∠ BAM)}{2} = \dfrac{360° - ∠ BAD}{2} = \dfrac{360° - 90°}{2} = 135°$,
$\therefore ∠ BMD = 135°$.
(2)①$DM = \sqrt{2}CG$.
证明:如题图2,延长$BG$到点$N$,使$GN = DM$,连接$CN$,设$BC$与$GD$交于点$P$.
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore CB = CD, ∠ BCD = 90°$.
由(1)知$∠ BMD = 135°, \therefore ∠ BMG = 45°$.
$\because BG ⊥ DM, \therefore ∠ BGM = 90° = ∠ BCD, △ BMG$为等腰直角三角形,
$\therefore BG = GM$,
$\therefore BG + GN = GM + DM$,即$BN = GD$.
$\because ∠ BPG = ∠ DPC, \therefore ∠ CBN = ∠ CDG$.
在$△ BCN$和$△ DCG$中,$\begin{cases} CB = CD, \\ ∠ CBN = ∠ CDG, \\ BN = DG, \end{cases}$
$\therefore △ BCN ≌ △ DCG(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ BCN = ∠ DCG, CN = CG$,
$\therefore ∠ GCN = ∠ BCD = 90°, \therefore △ CNG$是等腰直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ CNG$中,$GN = \sqrt{CG^2 + CN^2} = \sqrt{CG^2 + CG^2} = \sqrt{2}CG$,
$\therefore DM = \sqrt{2}CG$.
②如题图3,延长$BG$到点$N$,使$GN = DM$,连接$CN$,设$AG, BM$交于点$F$.
$\because AB = AD, AM = AD, \therefore AB = AM$.
由①知,$BG = GM, \therefore AG$垂直平分$BM$.
$\because ∠ MBG = 45°, \therefore ∠ BGF = 45°, BF = GF$,
$\therefore ∠ BGF = ∠ N = 45°, \therefore AG // CN, \therefore ∠ EGC = ∠ GCN = 90°$.
$\because AB = 6, \therefore BC = 6. \because BE = 2CE, \therefore BE = 4, CE = 2$.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}$,
根据等面积法可得$BF = \dfrac{AB · BE}{AE} = \dfrac{6 × 4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{12\sqrt{13}}{13}$,
$\therefore GF = BF = \dfrac{12\sqrt{13}}{13}$.
在$\mathrm{Rt}△ BFE$中,$EF = \sqrt{BE^2 - BF^2} = \sqrt{4^2 - (\dfrac{12\sqrt{13}}{13})^2} = \dfrac{8\sqrt{13}}{13}$,
$\therefore EG = GF - EF = \dfrac{12\sqrt{13}}{13} - \dfrac{8\sqrt{13}}{13} = \dfrac{4\sqrt{13}}{13}$,
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中,$CG = \sqrt{CE^2 - EG^2} = \sqrt{2^2 - (\dfrac{4\sqrt{13}}{13})^2} = \dfrac{6\sqrt{13}}{13}$.
故答案为$\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$.

【分析】
本题围绕正方形展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用正方形四边相等的性质，结合AM=AD=AB，得到两个等腰三角形△ABM和△ADM，通过三角形内角和定理，将∠AMD和∠AMB的和转化为与∠BAD相关的式子，进而求出∠BMD的度数。
2. 第(2)①问：通过延长BG构造辅助线，使GN=DM，连接CN，利用正方形性质和已得的∠BMD=135°推出△BMG是等腰直角三角形，再证明△BCN≌△DCG，得到△CNG是等腰直角三角形，从而推导出DM与CG的数量关系。
3. 第(2)②问：结合前面的结论，利用AG垂直平分BM，通过勾股定理、等面积法求出相关线段长度，最终计算出CG的长度。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=90°，AB=AD。
又
∵ AM=AD，
∴ AB=AM，△ADM和△ABM均为等腰三角形，
∴ ∠ADM=∠AMD=(180°−∠DAM)/2，
∠ABM=∠AMB=(180°−∠BAM)/2，
∴ ∠BMD=∠AMD+∠AMB
=(180°−∠DAM)/2 + (180°−∠BAM)/2
=(360°−(∠DAM+∠BAM))/2
=(360°−∠BAD)/2
=(360°−90°)/2=135°。
(2) ① DM=√2 CG，证明如下：
如图2，延长BG到点N，使GN=DM，连接CN，设BC与GD交于点P。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CB=CD，∠BCD=90°。
由(1)知∠BMD=135°，
∴ ∠BMG=180°−135°=45°。
∵ BG⊥DM，
∴ ∠BGM=90°，△BMG为等腰直角三角形，
∴ BG=GM，
∴ BG+GN=GM+DM，即BN=DG。
又
∵ ∠BPG=∠DPC，∠PBG+∠BPG=90°，∠PDC+∠DPC=90°，
∴ ∠CBN=∠CDG。
在△BCN和△DCG中：
$\{\begin{array}{l} CB=CD \\ ∠CBN=∠CDG \\ BN=DG \end{array} $
∴ △BCN≌△DCG(SAS)，
∴ CN=CG，∠BCN=∠DCG，
∴ ∠GCN=∠BCN−∠BCG=∠DCG−∠BCG=∠BCD=90°，
∴ △CNG是等腰直角三角形，
∴ GN=√(CG²+CN²)=√2 CG，
又
∵ GN=DM，
∴ DM=√2 CG。
② 如图3，延长BG到点N，使GN=DM，连接CN，设AG与BM交于点F。
∵ AB=AD，AM=AD，
∴ AB=AM，
由①知BG=GM，
∴ AG垂直平分BM，
∴ ∠BGF=90°−∠MBG=45°，BF=GF。
已知AB=6，BC=6，BE=2CE，
∴ BE=4，CE=2。
在Rt△ABE中，AE=√(AB²+BE²)=√(6²+4²)=2√13，
由等面积法：AB·BE=AE·BF，
∴ BF=(6×4)/(2√13)=12√13/13，
∴ GF=BF=12√13/13。
在Rt△BFE中，EF=√(BE²−BF²)=√(16−(144/13))=8√13/13，
∴ EG=GF−EF=12√13/13 −8√13/13=4√13/13。
在Rt△CEG中，CG=√(CE²−EG²)=√(4−(16/13))=6√13/13。
【答案】
(1) 135°；(2)① DM=√2 CG；② $\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的综合几何题，融合了等腰三角形、全等三角形、勾股定理等知识，需要通过构造辅助线解决线段关系问题，重点考查几何推理与计算能力，辅助线的构造是解题关键，对学生的几何思维要求较高。
【难度系数】
0.5