28. (12分)已知:在平面直角坐标系中,直线$m:y=kx-4$与直线$n:y=hx-4$分别与$x$轴交于$B,C$两点,与$y$轴交于点$A$.
(1)如图1,若$k=-1,h=2$.
①求点$A,B,C$的坐标;
②点$M,N$分别在射线$CA$和射线$BA$上,点$P$在$x$轴上,若四边形$CMNP$为菱形,求点$P$的坐标;
(2)如图2,若$k=\frac{1}{2},D(0,-2)$,连接$BD$交$AC$于点$Q$,若$∠ BQC=45°$,请直接写出$h$的值.

28. 【点拨】本题考查一次函数的解析式与几何图形的结合,菱形的性质,全等三角形的判定和性质,利用数形结合思想,用点的坐标的意义表示线段的长度,求出线段之间的关系是解题的关键.
【解析】(1)若$k = -1, h = 2$,则直线$m$的表达式为$y = -x - 4$,直线$n$的表达式为$y = 2x - 4$.
①对于$y = -x - 4$,当$x = 0$时,$y = -4$,当$y = 0$时,$x = -4$,
$\therefore A(0,-4), B(-4,0)$;
对于$y = 2x - 4$,当$y = 0$时,$x = 2, \therefore C(2,0)$.
②当点$P$位于点$C$左侧时,如,若四边形$CMNP$为菱形,则$MN // PC$,
设$M(m,2m - 4)$,则$N(-2m,2m - 4), \therefore MN = 3m$.
由题意得$MN = CM$,即$(3m)^2 = (2 - m)^2 + (2m - 4)^2$,解得$m = \dfrac{3\sqrt{5} - 5}{2}$(负值已舍去),
$\therefore MN = 3m = \dfrac{9\sqrt{5} - 15}{2} = PC, \therefore P(\dfrac{19 - 9\sqrt{5}}{2},0)$.
当点$P$位于点$C$右侧时,同理得$P(\dfrac{19 + 9\sqrt{5}}{2},0)$.
综上,点$P$的坐标为$(\dfrac{19 - 9\sqrt{5}}{2},0)$或$(\dfrac{19 + 9\sqrt{5}}{2},0)$.
(2)若$k = \dfrac{1}{2}$,则直线$m:y = \dfrac{1}{2}x - 4, \therefore B(8,0)$.
又$\because D(0,-2)$,
$\therefore$ 直线$BD$的表达式为$y = \dfrac{1}{4}x - 2$,
联立$\begin{cases} y = \dfrac{1}{4}x - 2, \\ y = hx - 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = \dfrac{8}{4h - 1}, \\ y = \dfrac{-8h + 4}{4h - 1}, \end{cases}$
$\therefore Q(\dfrac{8}{4h - 1}, \dfrac{-8h + 4}{4h - 1})$.
如,过点$B$作$BT ⊥ AC$于点$T$,则$△ BQT$为等腰直角三角形,$QT = BT, ∠ QTB = 90°$,
过点$T$作$x$轴的平行线$l$,过点$B$作$y$轴的平行线交$l$于点$N$,过点$Q$作$y$轴的平行线交$l$于点$M$.
设$T(t,th - 4)$.
$\because ∠ MTQ + ∠ NTB = 90°, ∠ NTB + ∠ TBN = 90°$,
$\therefore ∠ MTQ = ∠ TBN. \because ∠ QMT = ∠ TNB = 90°$,
$\therefore △ QMT ≌ △ TNB(\mathrm{AAS}), \therefore MQ = TN, MT = BN$,
即$th - 4 - \dfrac{-8h + 4}{4h - 1} = 8 - t$,且$t - \dfrac{8}{4h - 1} = th - 4$,解得$h = \dfrac{1}{2}$(舍去)或$h = \dfrac{5}{3}$,
经检验,$h = \dfrac{5}{3}$是方程的根,
$\therefore h$的值为$\dfrac{5}{3}$.

【分析】
本题是一次函数与几何图形的综合题，分两小问：
(1)①利用直线与坐标轴交点的求法，分别代入x=0（求y轴交点A）、y=0（求x轴交点B、C）即可得到各点坐标；
(1)②四边形CMNP为菱形，需满足对边平行且四边相等，结合MN//PC（PC在x轴），设M、N的坐标，利用菱形边长相等（MN=CM）列方程求解，注意分P在C左侧和右侧两种情况；
(2)先根据k=1/2求出B点坐标，再求直线BD的解析式，联立AC与BD得Q点坐标，利用∠BQC=45°构造等腰直角三角形，通过全等三角形的性质建立方程，求解h的值。
【解析】
(1)①已知k=-1，h=2，直线m：y=-x-4，直线n：y=2x-4。
对于直线m，当x=0时，y=-4，故A(0,-4)；当y=0时，-x-4=0→x=-4，故B(-4,0)。
对于直线n，当y=0时，2x-4=0→x=2，故C(2,0)。
②设M(m,2m-4)，因MN//PC（PC在x轴），故N的纵坐标与M相同，代入直线BA：y=-x-4，得2m-4=-x-4→x=-2m，即N(-2m,2m-4)。
MN的长度为|m - (-2m)|=3m，CM的长度为√[(2 - m)² + (0 - (2m -4))²]。
由菱形性质MN=CM，得：
(3m)²=(2 - m)² + (2m -4)²
展开整理：9m²=5m² -20m +20→4m² +20m -20=0→m² +5m -5=0
解得m=(-5±3√5)/2，因M在射线CA上，取m=(3√5 -5)/2（负值舍去）。
MN=3m=(9√5 -15)/2，PC=MN：
当P在C左侧时，PC=2 - p=(9√5 -15)/2→p=(19 -9√5)/2，故P((19 -9√5)/2,0)；
当P在C右侧时，PC=p -2=(9√5 -15)/2→p=(19 +9√5)/2，故P((19 +9√5)/2,0)。
(2)当k=1/2时，直线m：y=(1/2)x -4，令y=0得x=8，故B(8,0)。
已知D(0,-2)，设直线BD解析式为y=ax+b，代入D(0,-2)得b=-2，代入B(8,0)得0=8a-2→a=1/4，故BD：y=(1/4)x -2。
联立AC：y=hx -4与BD：y=(1/4)x -2，解得Q点坐标：
(1/4)x -2 = hx -4→x=8/(4h -1)，y=(-8h +4)/(4h -1)，即Q(8/(4h -1), (-8h +4)/(4h -1))。
过B作BT⊥AC于T，△BQ T为等腰直角三角形，故BT=QT，通过构造全等三角形△QMT≌△TNB，建立方程：
th -4 - (-8h +4)/(4h -1)=8 - t，t -8/(4h -1)=th -4
解得h=5/3（h=1/2舍去），经检验h=5/3是方程的根。
【答案】
(1)①A(0,-4)，B(-4,0)，C(2,0)；②P((19 -9√5)/2,0)或((19 +9√5)/2,0)；(2)h=5/3
【知识点】
一次函数、菱形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合压轴题，融合多个几何知识点，需运用数形结合、方程思想分析问题，对学生的综合能力要求较高，解题关键是利用几何性质建立坐标间的关系。
【难度系数】
0.4