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三、解答题(本大题共5小题,共33分.解答应写出过程)
17. (6分)(1)$\sqrt{18} + (\sqrt{98} - \sqrt{27})$; (2)$(3 - \sqrt{5})^2 - \sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × 2\sqrt{3}$; (3)$2x^2 - 6x + 1 = 0$(配方法).
17. (6分)(1)$\sqrt{18} + (\sqrt{98} - \sqrt{27})$; (2)$(3 - \sqrt{5})^2 - \sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × 2\sqrt{3}$; (3)$2x^2 - 6x + 1 = 0$(配方法).
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式的混合运算,解一元二次方程,掌握二次根式的性质,二次根式的运算法则及用配方法解一元二次方程是解题的关键.
【解析】(1)$\sqrt{18} + (\sqrt{98} - \sqrt{27})$
$=3\sqrt{2} + 7\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
$=10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$.
(2)$(3 - \sqrt{5})^2 - \sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × 2\sqrt{3}$
$=9 - 6\sqrt{5} + 5 - \sqrt{3} × 2\sqrt{3}$
$=9 - 6\sqrt{5} + 5 - 6$
$=8 - 6\sqrt{5}$.
(3)$2x^2 - 6x + 1 = 0$
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$
$x^2 - 3x + \dfrac{9}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{4}$
$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$
$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$.
【解析】(1)$\sqrt{18} + (\sqrt{98} - \sqrt{27})$
$=3\sqrt{2} + 7\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
$=10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$.
(2)$(3 - \sqrt{5})^2 - \sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × 2\sqrt{3}$
$=9 - 6\sqrt{5} + 5 - \sqrt{3} × 2\sqrt{3}$
$=9 - 6\sqrt{5} + 5 - 6$
$=8 - 6\sqrt{5}$.
(3)$2x^2 - 6x + 1 = 0$
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$
$x^2 - 3x + \dfrac{9}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{4}$
$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$
$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$.
解析
【分析】
本题包含三个小题，分别考查二次根式的加减运算、二次根式的混合运算以及配方法解一元二次方程。解题思路如下：
1. 第(1)问：先将式中各二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；
2. 第(2)问：先利用完全平方公式展开乘方项，再按从左到右顺序计算二次根式的乘除，最后进行加减运算；
3. 第(3)问：用配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开方求解得到方程的根。
【解析】
(1) $\sqrt{18} + (\sqrt{98} - \sqrt{27})$
$=3\sqrt{2} + 7\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
$=10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$；
(2) $(3 - \sqrt{5})^2 - \sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × 2\sqrt{3}$
$=9 - 6\sqrt{5} + 5 - \sqrt{3} × 2\sqrt{3}$
$=14 - 6\sqrt{5} - 6$
$=8 - 6\sqrt{5}$；
(3) $2x^2 - 6x + 1 = 0$
移项得：$2x^2 - 6x = -1$，
二次项系数化为1：$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$，
配方：$x^2 - 3x + \dfrac{9}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{4}$，
即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$，
开方得：$x - \dfrac{3}{2} = ±\dfrac{\sqrt{7}}{2}$，
解得：$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1) $10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$；(2) $8 - 6\sqrt{5}$；(3) $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算、配方法解一元二次方程
【点评】
本题是二次根式运算与一元二次方程解法的基础综合题，重点考查二次根式的化简、运算法则及配方法的操作步骤，计算时需注意运算顺序、公式的正确应用以及符号处理，整体难度不大，是学生需熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.6
本题包含三个小题，分别考查二次根式的加减运算、二次根式的混合运算以及配方法解一元二次方程。解题思路如下：
1. 第(1)问：先将式中各二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；
2. 第(2)问：先利用完全平方公式展开乘方项，再按从左到右顺序计算二次根式的乘除，最后进行加减运算；
3. 第(3)问：用配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开方求解得到方程的根。
【解析】
(1) $\sqrt{18} + (\sqrt{98} - \sqrt{27})$
$=3\sqrt{2} + 7\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
$=10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$；
(2) $(3 - \sqrt{5})^2 - \sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × 2\sqrt{3}$
$=9 - 6\sqrt{5} + 5 - \sqrt{3} × 2\sqrt{3}$
$=14 - 6\sqrt{5} - 6$
$=8 - 6\sqrt{5}$；
(3) $2x^2 - 6x + 1 = 0$
移项得：$2x^2 - 6x = -1$，
二次项系数化为1：$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$，
配方：$x^2 - 3x + \dfrac{9}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{4}$，
即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$，
开方得：$x - \dfrac{3}{2} = ±\dfrac{\sqrt{7}}{2}$，
解得：$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1) $10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$；(2) $8 - 6\sqrt{5}$；(3) $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算、配方法解一元二次方程
【点评】
本题是二次根式运算与一元二次方程解法的基础综合题，重点考查二次根式的化简、运算法则及配方法的操作步骤，计算时需注意运算顺序、公式的正确应用以及符号处理，整体难度不大，是学生需熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.6
18. (6分)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AB,CD的中点.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)连接BD,当$△ ABD$满足什么条件时,四边形EBFD为菱形?说明理由.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)连接BD,当$△ ABD$满足什么条件时,四边形EBFD为菱形?说明理由.
答案
18. 【点拨】本题考查菱形的判定,平行四边形的性质与判定,掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB = CD, AB // CD. \because E,F$分别是$AB,CD$的中点,
$\therefore BE = \dfrac{1}{2}AB, DF = \dfrac{1}{2}CD, \therefore BE = DF$,
$\therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2)当$△ ABD$满足$∠ ADB = 90°$时,四边形$EBFD$是菱形.理由如下:
$\because ∠ ADB = 90°, E$是$AB$的中点,
$\therefore DE = BE = \dfrac{1}{2}AB, \therefore □ EBFD$是菱形.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB = CD, AB // CD. \because E,F$分别是$AB,CD$的中点,
$\therefore BE = \dfrac{1}{2}AB, DF = \dfrac{1}{2}CD, \therefore BE = DF$,
$\therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2)当$△ ABD$满足$∠ ADB = 90°$时,四边形$EBFD$是菱形.理由如下:
$\because ∠ ADB = 90°, E$是$AB$的中点,
$\therefore DE = BE = \dfrac{1}{2}AB, \therefore □ EBFD$是菱形.
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形EBFD是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等，结合E、F是中点推出BE与DF平行且相等，根据平行四边形的判定定理完成证明；第(2)问要使平行四边形EBFD成为菱形，需让其邻边相等，结合E是AB中点，利用直角三角形斜边中线的性质，找到△ABD满足的条件即可推导。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD。
∵ E，F分别是AB，CD的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB，DF = $\frac{1}{2}$CD，
∴ BE = DF，又 BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
(2) 当△ABD满足∠ADB = 90°时，四边形EBFD为菱形，理由如下：
∵ ∠ADB = 90°，E是AB的中点，
∴ 在Rt△ABD中，DE = $\frac{1}{2}$AB = BE，
又
∵ 四边形EBFD是平行四边形，
∴ 平行四边形EBFD是菱形。
【答案】
(1) 四边形EBFD是平行四边形，证明见解析；(2) 当△ABD满足∠ADB = 90°时，四边形EBFD为菱形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定，结合直角三角形性质，是几何证明的基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证明四边形EBFD是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等，结合E、F是中点推出BE与DF平行且相等，根据平行四边形的判定定理完成证明；第(2)问要使平行四边形EBFD成为菱形，需让其邻边相等，结合E是AB中点，利用直角三角形斜边中线的性质，找到△ABD满足的条件即可推导。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD。
∵ E，F分别是AB，CD的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB，DF = $\frac{1}{2}$CD，
∴ BE = DF，又 BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
(2) 当△ABD满足∠ADB = 90°时，四边形EBFD为菱形，理由如下：
∵ ∠ADB = 90°，E是AB的中点，
∴ 在Rt△ABD中，DE = $\frac{1}{2}$AB = BE，
又
∵ 四边形EBFD是平行四边形，
∴ 平行四边形EBFD是菱形。
【答案】
(1) 四边形EBFD是平行四边形，证明见解析；(2) 当△ABD满足∠ADB = 90°时，四边形EBFD为菱形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定，结合直角三角形性质，是几何证明的基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
19. (7分)已知点$A(-8,0)$及在第二象限内的动点$P(x,y)$，且$y - x = 10$，设$△ OPA$的面积为$S$.
(1)求$S$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的取值范围；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出函数$S$的图象；
(3)当$S = 12$时，求点$P$的坐标.
(1)求$S$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的取值范围；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出函数$S$的图象；
(3)当$S = 12$时，求点$P$的坐标.
答案
19. 【点拨】本题考查一次函数的应用,象限内点的坐标特征,掌握相关知识是解题的关键.
【解析】(1)由$y - x = 10$,得$y = x + 10$.
由点$P$在第二象限,得$\begin{cases} x ＜ 0, \\ x + 10 ＞ 0, \end{cases}$解得$-10 ＜ x ＜ 0$.
$\because S = \dfrac{1}{2} × 8 × (x + 10) = 4x + 40$,
$\therefore S$关于$x$的函数解析式为$S = 4x + 40(-10 ＜ x ＜ 0)$.
(2)如
所示.(3)当$S = 12$时,$4x + 40 = 12$,解得$x = -7, \therefore y = x + 10 = 3$,
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-7,3)$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合三角形面积公式、象限内点的坐标特征和一次函数的性质：首先根据动点P所在象限确定自变量x的取值范围，再用三角形面积公式推导S与x的函数关系；然后根据函数解析式和x的范围画出对应图像；最后代入S的值求解点P的坐标。
【解析】
(1) 由$ y - x = 10 $，移项得$ y = x + 10 $。
因为点$ P(x,y) $在第二象限，所以满足$ \begin{cases} x ＜ 0 \\ y = x + 10 ＞ 0 \end{cases} $，解不等式$ x + 10 ＞ 0 $得$ x ＞ -10 $，因此x的取值范围是$ -10 ＜ x ＜ 0 $。
点$ A(-8,0) $，则OA的长度为$ |-8 - 0| = 8 $，$ △ OPA $的面积$ S = \frac{1}{2} × OA × |y| $，由于P在第二象限，$ y ＞ 0 $，代入得：
$ S = \frac{1}{2} × 8 × (x + 10) = 4x + 40 $，即S关于x的函数解析式为$ S = 4x + 40(-10 ＜ x ＜ 0) $。
(2) 函数$ S = 4x + 40 $是一次函数，当$ x = -10 $时$ S = 0 $，当$ x = 0 $时$ S = 40 $，结合$ -10 ＜ x ＜ 0 $，画出连接空心点$ (-10,0) $和$ (0,40) $的线段，如所示。
(3) 当$ S = 12 $时，代入解析式$ 4x + 40 = 12 $，解得$ x = -7 $，则$ y = x + 10 = 3 $，故点P的坐标为$ (-7,3) $。
【答案】
(1) $ S = 4x + 40(-10 ＜ x ＜ 0) $；
(2) 图像如所示；
(3) $ (-7,3) $
【知识点】
一次函数应用、三角形面积、象限内点的坐标特征
【点评】
本题结合动点考查一次函数的实际应用，关键是利用象限特征确定自变量范围，再结合面积公式推导解析式，属于基础应用题型，需注意端点的空心标注。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合三角形面积公式、象限内点的坐标特征和一次函数的性质：首先根据动点P所在象限确定自变量x的取值范围，再用三角形面积公式推导S与x的函数关系；然后根据函数解析式和x的范围画出对应图像；最后代入S的值求解点P的坐标。
【解析】
(1) 由$ y - x = 10 $，移项得$ y = x + 10 $。
因为点$ P(x,y) $在第二象限，所以满足$ \begin{cases} x ＜ 0 \\ y = x + 10 ＞ 0 \end{cases} $，解不等式$ x + 10 ＞ 0 $得$ x ＞ -10 $，因此x的取值范围是$ -10 ＜ x ＜ 0 $。
点$ A(-8,0) $，则OA的长度为$ |-8 - 0| = 8 $，$ △ OPA $的面积$ S = \frac{1}{2} × OA × |y| $，由于P在第二象限，$ y ＞ 0 $，代入得：
$ S = \frac{1}{2} × 8 × (x + 10) = 4x + 40 $，即S关于x的函数解析式为$ S = 4x + 40(-10 ＜ x ＜ 0) $。
(2) 函数$ S = 4x + 40 $是一次函数，当$ x = -10 $时$ S = 0 $，当$ x = 0 $时$ S = 40 $，结合$ -10 ＜ x ＜ 0 $，画出连接空心点$ (-10,0) $和$ (0,40) $的线段，如
所示。(3) 当$ S = 12 $时，代入解析式$ 4x + 40 = 12 $，解得$ x = -7 $，则$ y = x + 10 = 3 $，故点P的坐标为$ (-7,3) $。
【答案】
(1) $ S = 4x + 40(-10 ＜ x ＜ 0) $；
(2) 图像如
所示；(3) $ (-7,3) $
【知识点】
一次函数应用、三角形面积、象限内点的坐标特征
【点评】
本题结合动点考查一次函数的实际应用，关键是利用象限特征确定自变量范围，再结合面积公式推导解析式，属于基础应用题型，需注意端点的空心标注。
【难度系数】
0.5
20. (7分)某校为了解八年级学生参加社会实践活动的情况,随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据绘制了统计图1和图2,请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为
(2)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数;
(3)若该校八年级学生有1 200人,估计在第一学期参加社会实践活动时间大于7天的学生人数.
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为
$40$
,图1中的m的值为$20$
;(2)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数;
(3)若该校八年级学生有1 200人,估计在第一学期参加社会实践活动时间大于7天的学生人数.
答案
20. 【点拨】本题考查条形统计图、扇形统计图,众数、中位数和平均数,用样本估计总体,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解题的关键.
【解析】(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为$14 ÷ 35\% = 40$,
$\therefore m\% = \dfrac{8}{40} × 100\% = 20\%$,则$m = 20$.故答案为40,20.
(2)在这组样本数据中,5出现了14次,出现的次数最多,故众数是5天;
将这组数据按从小到大排列,其中处于中间的两个数都是6,故中位数是$\dfrac{6+6}{2}=6$(天);
这组数据的平均数是$\dfrac{5 × 14 + 6 × 8 + 7 × 10 + 8 × 4 + 9 × 4}{40} = 6.4$(天).
(3)$1200 × (10\% + 10\%) = 240$.
故估计在第一学期参加社会实践活动时间大于7天的学生人数为240.
【解析】(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为$14 ÷ 35\% = 40$,
$\therefore m\% = \dfrac{8}{40} × 100\% = 20\%$,则$m = 20$.故答案为40,20.
(2)在这组样本数据中,5出现了14次,出现的次数最多,故众数是5天;
将这组数据按从小到大排列,其中处于中间的两个数都是6,故中位数是$\dfrac{6+6}{2}=6$(天);
这组数据的平均数是$\dfrac{5 × 14 + 6 × 8 + 7 × 10 + 8 × 4 + 9 × 4}{40} = 6.4$(天).
(3)$1200 × (10\% + 10\%) = 240$.
故估计在第一学期参加社会实践活动时间大于7天的学生人数为240.
解析
【分析】
本题结合条形统计图和扇形统计图考查统计相关知识，解题思路如下：
1. 求总人数和m值：利用5天的人数（14人）及其在扇形图中的占比（35%），总人数=对应人数÷对应占比；再用6天的人数（8人）除以总人数得到其占比，即可求出m。
2. 求众数、中位数、平均数：众数是样本中出现次数最多的数据；总样本数为偶数时，中位数是排序后中间两个数据的平均数；平均数是所有数据之和除以总人数。
3. 用样本估计总体：先计算样本中参加社会实践时间大于7天的学生占比，再乘以八年级总人数1200，得到估计值。
【解析】
(1) 本次接受调查的学生人数：$14 ÷ 35\% = 40$；
6天的人数为8，故$m\% = \frac{8}{40} × 100\% = 20\%$，即$m=20$。
(2) 众数：5天出现了14次，次数最多，故众数为5天；
中位数：总数据共40个，排序后第20、21个数据都是6，故中位数为$\frac{6+6}{2}=6$天；
平均数：$\frac{5 × 14 + 6 × 8 + 7 × 10 + 8 × 4 + 9 × 4}{40} = \frac{70 + 48 + 70 + 32 + 36}{40} = \frac{256}{40}=6.4$天。
(3) 参加时间大于7天的占比：$10\% +10\% =20\%$，估计人数：$1200 × 20\% =240$。
【答案】
(1) 40，20；(2) 众数为5天，中位数为6天，平均数为6.4天；(3) 240
【知识点】
条形统计图与扇形统计图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体
【点评】
本题需结合两种统计图提取数据，掌握统计量的计算方法和用样本估计总体的思想，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题结合条形统计图和扇形统计图考查统计相关知识，解题思路如下：
1. 求总人数和m值：利用5天的人数（14人）及其在扇形图中的占比（35%），总人数=对应人数÷对应占比；再用6天的人数（8人）除以总人数得到其占比，即可求出m。
2. 求众数、中位数、平均数：众数是样本中出现次数最多的数据；总样本数为偶数时，中位数是排序后中间两个数据的平均数；平均数是所有数据之和除以总人数。
3. 用样本估计总体：先计算样本中参加社会实践时间大于7天的学生占比，再乘以八年级总人数1200，得到估计值。
【解析】
(1) 本次接受调查的学生人数：$14 ÷ 35\% = 40$；
6天的人数为8，故$m\% = \frac{8}{40} × 100\% = 20\%$，即$m=20$。
(2) 众数：5天出现了14次，次数最多，故众数为5天；
中位数：总数据共40个，排序后第20、21个数据都是6，故中位数为$\frac{6+6}{2}=6$天；
平均数：$\frac{5 × 14 + 6 × 8 + 7 × 10 + 8 × 4 + 9 × 4}{40} = \frac{70 + 48 + 70 + 32 + 36}{40} = \frac{256}{40}=6.4$天。
(3) 参加时间大于7天的占比：$10\% +10\% =20\%$，估计人数：$1200 × 20\% =240$。
【答案】
(1) 40，20；(2) 众数为5天，中位数为6天，平均数为6.4天；(3) 240
【知识点】
条形统计图与扇形统计图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体
【点评】
本题需结合两种统计图提取数据，掌握统计量的计算方法和用样本估计总体的思想，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
