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7. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠B=60°$,$AB=6$,$E,F$分别是边$CD$和$BC$的延长线上一点,且$CE=CF=2$,以$CE,CF$为边作$□ CEGF$,$H$是$AG$的中点,则线段$CH$的长为(
A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
D
).A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
7. D 【点拨】本题考查菱形的性质和判定,勾股定理,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,作出辅助线得出$∠ ACG = 90°$是解题的关键.
【解析】如题图,连接$AC,CG. \because$ 四边形$ABCD$是菱形,$∠ B = 60°, \therefore AB = BC, AB // CD, \therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore AC = AB = 6, ∠ ACB = 60°. \because$ 在$□ CEGF$中,$CE = CF, \therefore □ CEGF$是菱形,$\therefore CE // GF, GF = CF = 2, \therefore AB // GF, \therefore ∠ B + ∠ F = 180°, \therefore ∠ F = 120°, \therefore ∠ FCG = ∠ FGC = 30°, \therefore ∠ ACG = 180° - ∠ ACB - ∠ FCG = 90°, CG = 2 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2 = 2\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中,$AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = 4\sqrt{3}. \because H$是$AG$的中点,$\therefore CH = \dfrac{1}{2}AG = 2\sqrt{3}$.故选D.
【解析】如题图,连接$AC,CG. \because$ 四边形$ABCD$是菱形,$∠ B = 60°, \therefore AB = BC, AB // CD, \therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore AC = AB = 6, ∠ ACB = 60°. \because$ 在$□ CEGF$中,$CE = CF, \therefore □ CEGF$是菱形,$\therefore CE // GF, GF = CF = 2, \therefore AB // GF, \therefore ∠ B + ∠ F = 180°, \therefore ∠ F = 120°, \therefore ∠ FCG = ∠ FGC = 30°, \therefore ∠ ACG = 180° - ∠ ACB - ∠ FCG = 90°, CG = 2 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2 = 2\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中,$AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = 4\sqrt{3}. \because H$是$AG$的中点,$\therefore CH = \dfrac{1}{2}AG = 2\sqrt{3}$.故选D.
解析
【分析】
要解决本题，需先利用菱形的性质和∠B=60°的条件确定等边△ABC，得到AC的长度；再结合平行四边形CEGF中CE=CF，判定其为菱形，进而求出CG的长度；接着证明∠ACG为直角，最后利用直角三角形斜边中线的性质，结合H是AG中点，计算CH的长度。
【解析】
连接AC、CG。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，又∠B = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AC = AB = 6，∠ACB = 60°。
∵ 四边形CEGF是平行四边形，且CE = CF，
∴ 平行四边形CEGF是菱形，
∴ GF = CF = 2，且CE//GF，
又
∵ AB//CD，
∴ AB//GF，
∴ ∠B + ∠F = 180°，
∵ ∠B = 60°，
∴ ∠F = 120°，
在菱形CEGF中，CF = GF = 2，∠F = 120°，
∴ ∠FCG = ∠FGC = (180° - 120°)÷2 = 30°，
∴ ∠ACG = 180° - ∠ACB - ∠FCG = 180° - 60° - 30° = 90°，
在△CFG中，由余弦定理得：
CG² = CF² + GF² - 2·CF·GF·cos∠F = 2² + 2² - 2×2×2×cos120° = 4 + 4 - 8×(-1/2) = 12，
∴ CG = √12 = 2√3。
在Rt△ACG中，AC = 6，CG = 2√3，
∴ AG = √(AC² + CG²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3。
∵ H是AG的中点，
∴ CH = ½AG = ½×4√3 = 2√3。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查菱形、等边三角形的性质，以及直角三角形斜边中线的性质，关键是通过辅助线AC、CG证明∠ACG为直角，需熟练掌握几何定理的综合应用，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先利用菱形的性质和∠B=60°的条件确定等边△ABC，得到AC的长度；再结合平行四边形CEGF中CE=CF，判定其为菱形，进而求出CG的长度；接着证明∠ACG为直角，最后利用直角三角形斜边中线的性质，结合H是AG中点，计算CH的长度。
【解析】
连接AC、CG。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，又∠B = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AC = AB = 6，∠ACB = 60°。
∵ 四边形CEGF是平行四边形，且CE = CF，
∴ 平行四边形CEGF是菱形，
∴ GF = CF = 2，且CE//GF，
又
∵ AB//CD，
∴ AB//GF，
∴ ∠B + ∠F = 180°，
∵ ∠B = 60°，
∴ ∠F = 120°，
在菱形CEGF中，CF = GF = 2，∠F = 120°，
∴ ∠FCG = ∠FGC = (180° - 120°)÷2 = 30°，
∴ ∠ACG = 180° - ∠ACB - ∠FCG = 180° - 60° - 30° = 90°，
在△CFG中，由余弦定理得：
CG² = CF² + GF² - 2·CF·GF·cos∠F = 2² + 2² - 2×2×2×cos120° = 4 + 4 - 8×(-1/2) = 12，
∴ CG = √12 = 2√3。
在Rt△ACG中，AC = 6，CG = 2√3，
∴ AG = √(AC² + CG²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3。
∵ H是AG的中点，
∴ CH = ½AG = ½×4√3 = 2√3。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查菱形、等边三角形的性质，以及直角三角形斜边中线的性质，关键是通过辅助线AC、CG证明∠ACG为直角，需熟练掌握几何定理的综合应用，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
8. 某班共有41人,在一次体质测试中,有1人未参加集体测试,老师对集体测试的成绩按40人进行了统计,得到测试成绩分数的平均数是88分,中位数是85分.缺席集体测试的同学后面进行了补测,成绩为88分.关于该班41人的体质测试成绩,下列说法正确的是(
A.平均数不变,中位数变大
B.平均数不变,中位数无法确定
C.平均数变大,中位数变大
D.平均数不变,中位数变小
B
).A.平均数不变,中位数变大
B.平均数不变,中位数无法确定
C.平均数变大,中位数变大
D.平均数不变,中位数变小
答案
8. B 【点拨】本题考查平均数,中位数,掌握平均数和中位数的定义是解题的关键.
【解析】$\because$ 缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同,都是88分,$\therefore$ 该班41人的测试成绩的平均分为88分不变.$\because$ 该班41人测试成绩的中位数是按从小到大排列后第21个人的成绩,原来是第20个和第21个人成绩的平均数,$\therefore$ 中位数可能不变,可能变大,即中位数无法确定.故选B.
【解析】$\because$ 缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同,都是88分,$\therefore$ 该班41人的测试成绩的平均分为88分不变.$\because$ 该班41人测试成绩的中位数是按从小到大排列后第21个人的成绩,原来是第20个和第21个人成绩的平均数,$\therefore$ 中位数可能不变,可能变大,即中位数无法确定.故选B.
解析
【分析】首先明确平均数和中位数的定义：平均数是所有数据的总和除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大排序后，若数据个数为奇数，取中间位置的数，若为偶数，取中间两个数的平均数。解题时，先计算加入补测成绩后的平均数，再分析中位数的变化情况，进而判断选项。
【解析】1. 计算平均数：原来40人的总分为 $40 × 88 = 3520$ 分，补测成绩为88分，41人的总分为 $3520 + 88 = 3608$ 分，因此41人的平均数为 $3608 ÷ 41 = 88$ 分，与原平均数相同，故平均数不变，排除A、C选项。2. 分析中位数：原来40人的成绩排序后，中位数是第20个和第21个成绩的平均数，即 $\frac{第20个成绩 + 第21个成绩}{2} = 85$，因此第20个和第21个成绩的和为170。加入补测的88分后，41人的成绩排序后，中位数是第21个成绩，此时第21个成绩可能是原第21个成绩，也可能因88分插入而变化，故中位数可能不变、可能变大，即中位数无法确定。综上，选项B正确。
【答案】B
【知识点】平均数、中位数
【点评】本题考查统计中平均数和中位数的基本概念，核心是掌握两者的计算规则，尤其是数据个数变化时中位数的确定方法，需注意奇数与偶数个数据中位数的区别，避免概念混淆。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算平均数：原来40人的总分为 $40 × 88 = 3520$ 分，补测成绩为88分，41人的总分为 $3520 + 88 = 3608$ 分，因此41人的平均数为 $3608 ÷ 41 = 88$ 分，与原平均数相同，故平均数不变，排除A、C选项。2. 分析中位数：原来40人的成绩排序后，中位数是第20个和第21个成绩的平均数，即 $\frac{第20个成绩 + 第21个成绩}{2} = 85$，因此第20个和第21个成绩的和为170。加入补测的88分后，41人的成绩排序后，中位数是第21个成绩，此时第21个成绩可能是原第21个成绩，也可能因88分插入而变化，故中位数可能不变、可能变大，即中位数无法确定。综上，选项B正确。
【答案】B
【知识点】平均数、中位数
【点评】本题考查统计中平均数和中位数的基本概念，核心是掌握两者的计算规则，尤其是数据个数变化时中位数的确定方法，需注意奇数与偶数个数据中位数的区别，避免概念混淆。
【难度系数】0.5
9. 一元二次方程$kx^2 - 6x + 3 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k＜3$
B.$k＜3$且$k≠0$
C.$k≤3$
D.$k≤3$且$k≠0$
B
).A.$k＜3$
B.$k＜3$且$k≠0$
C.$k≤3$
D.$k≤3$且$k≠0$
答案
9. B 【点拨】本题考查一元二次方程的定义,根的判别式,掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键.
【解析】由题意可知$36 - 12k ＞ 0$且$k ≠ 0, \therefore k ＜ 3$且$k ≠ 0$.故选B.
【解析】由题意可知$36 - 12k ＞ 0$且$k ≠ 0, \therefore k ＜ 3$且$k ≠ 0$.故选B.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两个关键条件思考：首先，题目明确是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0的性质，据此列出关于k的不等式，结合二次项系数的限制，即可求出k的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$kx^2 -6x +3=0$：
1. 满足一元二次方程的定义，需二次项系数$k≠0$；
2. 方程有两个不相等的实数根，故根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-6$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 -4×k×3 = 36 -12k ＞ 0$，
解不等式$36 -12k ＞ 0$，移项得$-12k ＞ -36$，两边同时除以$-12$（不等号方向改变），得$k ＜ 3$；
结合$k≠0$，因此$k$的取值范围是$k ＜ 3$且$k≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题时需同时满足两个条件，尤其要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，这是本题的易错点，需避免遗漏该限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两个关键条件思考：首先，题目明确是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0的性质，据此列出关于k的不等式，结合二次项系数的限制，即可求出k的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$kx^2 -6x +3=0$：
1. 满足一元二次方程的定义，需二次项系数$k≠0$；
2. 方程有两个不相等的实数根，故根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-6$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 -4×k×3 = 36 -12k ＞ 0$，
解不等式$36 -12k ＞ 0$，移项得$-12k ＞ -36$，两边同时除以$-12$（不等号方向改变），得$k ＜ 3$；
结合$k≠0$，因此$k$的取值范围是$k ＜ 3$且$k≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题时需同时满足两个条件，尤其要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，这是本题的易错点，需避免遗漏该限制条件。
【难度系数】
0.6
10. 函数$y=|x-1|(-1≤ x≤ 2)$与$y=\dfrac{1}{2}x+m$的图象有两个交点，则$m$的取值范围为（
A.$0＜ m≤ \dfrac{5}{2}$
B.$m=-\dfrac{1}{2}$
C.$-\dfrac{1}{2}＜ m≤ 0$
D.$-\dfrac{1}{2}≤ m≤ \dfrac{5}{2}$
C
）。A.$0＜ m≤ \dfrac{5}{2}$
B.$m=-\dfrac{1}{2}$
C.$-\dfrac{1}{2}＜ m≤ 0$
D.$-\dfrac{1}{2}≤ m≤ \dfrac{5}{2}$
答案
10. C 【点拨】本题考查函数图象的交点问题,作出函数图象,利用数形结合的思想是解题的关键.
【解析】如
,当$y = \dfrac{1}{2}x + m$经过点$(1,0)$时,$\dfrac{1}{2} + m = 0$,解得$m = -\dfrac{1}{2}$;当$y = \dfrac{1}{2}x + m$经过点$(2,1)$时,$\dfrac{1}{2} × 2 + m = 1$,解得$m = 0. \therefore$ 两个函数图象有两个交点时,$m$的取值范围是$-\dfrac{1}{2} ＜ m ≤ 0$.故选C.解析
【分析】
要解决两个函数图象的交点问题，需先明确函数$y=|x-1|(-1≤x≤2)$的图象特征：该绝对值函数在$-1≤x＜1$时，表达式为$y=1-x$；在$1≤x≤2$时，表达式为$y=x-1$，图象端点为$(-1,2)$、$(2,1)$，顶点为$(1,0)$。直线$y=\frac{1}{2}x+m$是斜率固定为$\frac{1}{2}$的直线，需结合直线经过关键点时的$m$值，利用数形结合判断交点个数，进而确定$m$的范围。
【解析】
1. 确定函数$y=|x-1|(-1≤x≤2)$的分段表达式：
当$-1≤x＜1$时，$y=1-x$；
当$1≤x≤2$时，$y=x-1$。
2. 分析直线与绝对值函数的交点情况：
当直线经过顶点$(1,0)$时，代入$y=\frac{1}{2}x+m$得：$\frac{1}{2}×1 + m=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$，此时直线仅与绝对值函数交于1个点；
当直线经过端点$(2,1)$时，代入$y=\frac{1}{2}x+m$得：$\frac{1}{2}×2 + m=1$，解得$m=0$，此时直线与绝对值函数交于2个点；
当$m$在$-\frac{1}{2}$和$0$之间时，直线向上平移，会同时与绝对值函数的两段各交于1个点，共2个交点；当$m≤-\frac{1}{2}$或$m＞0$时，直线与绝对值函数仅交于1个点。
因此，两个函数图象有两个交点时，$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m≤0$。
【答案】
C
【知识点】
函数图象交点；绝对值函数；一次函数
【点评】
本题考查函数图象交点问题，核心是利用数形结合思想，结合绝对值函数的分段特征分析直线的位置，需注意端点处的交点个数判断，属于中等难度的函数应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决两个函数图象的交点问题，需先明确函数$y=|x-1|(-1≤x≤2)$的图象特征：该绝对值函数在$-1≤x＜1$时，表达式为$y=1-x$；在$1≤x≤2$时，表达式为$y=x-1$，图象端点为$(-1,2)$、$(2,1)$，顶点为$(1,0)$。直线$y=\frac{1}{2}x+m$是斜率固定为$\frac{1}{2}$的直线，需结合直线经过关键点时的$m$值，利用数形结合判断交点个数，进而确定$m$的范围。
【解析】
1. 确定函数$y=|x-1|(-1≤x≤2)$的分段表达式：
当$-1≤x＜1$时，$y=1-x$；
当$1≤x≤2$时，$y=x-1$。
2. 分析直线与绝对值函数的交点情况：
当直线经过顶点$(1,0)$时，代入$y=\frac{1}{2}x+m$得：$\frac{1}{2}×1 + m=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$，此时直线仅与绝对值函数交于1个点；
当直线经过端点$(2,1)$时，代入$y=\frac{1}{2}x+m$得：$\frac{1}{2}×2 + m=1$，解得$m=0$，此时直线与绝对值函数交于2个点；
当$m$在$-\frac{1}{2}$和$0$之间时，直线向上平移，会同时与绝对值函数的两段各交于1个点，共2个交点；当$m≤-\frac{1}{2}$或$m＞0$时，直线与绝对值函数仅交于1个点。
因此，两个函数图象有两个交点时，$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m≤0$。
【答案】
C
【知识点】
函数图象交点；绝对值函数；一次函数
【点评】
本题考查函数图象交点问题，核心是利用数形结合思想，结合绝对值函数的分段特征分析直线的位置，需注意端点处的交点个数判断，属于中等难度的函数应用题型。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
答案
解：
11. 二次根式有意义的条件为被开方数非负，
由$x-2\ge0$，解得$x\ge2$。
答案：$\boldsymbol{x\ge2}$
12. 将$x=1$代入$y=2x-3$，
得$y=2×1-3=-1$。
答案：$\boldsymbol{-1}$
13. 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，
$\because S_甲^2=0.9＜S_乙^2=1.1$，
$\therefore$成绩比较稳定的是甲。
答案：$\boldsymbol{甲}$
14. $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC=5$，
$\therefore ∠ DAE=∠ AEB$，
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ AEB$，
$\therefore BE=AB=3$，
$\therefore EC=BC-BE=5-3=2$。
答案：$\boldsymbol{2}$
15. 一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标即为方程$kx+b=0$的解，
$\because$函数图象过点$(2,0)$，
$\therefore$方程$kx+b=0$的解为$x=2$。
答案：$\boldsymbol{x=2}$
16. 在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=6$，$E$是$AB$中点，
$\therefore AE=BE=2$，$BC=AD=6$，$∠ B=90°$，
$\therefore EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
由折叠性质得$A'E=AE=2$。
分两种情况讨论：
① 当$∠ A'EC=90°$时，
$\because ∠ A'EF=∠ AEF$，$∠ A'EC=90°$，
$\therefore ∠ AEF+∠ A'EF=90°$，即$∠ AEF=45°$，
$\because ∠ A=90°$，$\therefore AF=AE=2$，
可证四边形$AFA'E$为正方形，得$A'(2,2)$，
$\therefore A'C=\sqrt{(4-2)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5}$。
② 当$∠ EA'C=90°$时，
$\because ∠ EA'F=∠ A=90°$，$\therefore F、A'、C$三点共线，
即$A'$落在$EC$上，
$\therefore A'C=EC-A'E=2\sqrt{10}-2$。
综上，$A'C$的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{10}-2$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{5}或2\sqrt{10}-2}$
11. 二次根式有意义的条件为被开方数非负，
由$x-2\ge0$，解得$x\ge2$。
答案：$\boldsymbol{x\ge2}$
12. 将$x=1$代入$y=2x-3$，
得$y=2×1-3=-1$。
答案：$\boldsymbol{-1}$
13. 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，
$\because S_甲^2=0.9＜S_乙^2=1.1$，
$\therefore$成绩比较稳定的是甲。
答案：$\boldsymbol{甲}$
14. $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC=5$，
$\therefore ∠ DAE=∠ AEB$，
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ AEB$，
$\therefore BE=AB=3$，
$\therefore EC=BC-BE=5-3=2$。
答案：$\boldsymbol{2}$
15. 一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标即为方程$kx+b=0$的解，
$\because$函数图象过点$(2,0)$，
$\therefore$方程$kx+b=0$的解为$x=2$。
答案：$\boldsymbol{x=2}$
16. 在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=6$，$E$是$AB$中点，
$\therefore AE=BE=2$，$BC=AD=6$，$∠ B=90°$，
$\therefore EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
由折叠性质得$A'E=AE=2$。
分两种情况讨论：
① 当$∠ A'EC=90°$时，
$\because ∠ A'EF=∠ AEF$，$∠ A'EC=90°$，
$\therefore ∠ AEF+∠ A'EF=90°$，即$∠ AEF=45°$，
$\because ∠ A=90°$，$\therefore AF=AE=2$，
可证四边形$AFA'E$为正方形，得$A'(2,2)$，
$\therefore A'C=\sqrt{(4-2)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5}$。
② 当$∠ EA'C=90°$时，
$\because ∠ EA'F=∠ A=90°$，$\therefore F、A'、C$三点共线，
即$A'$落在$EC$上，
$\therefore A'C=EC-A'E=2\sqrt{10}-2$。
综上，$A'C$的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{10}-2$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{5}或2\sqrt{10}-2}$
解析
【分析】
本题为6道填空题，分别考查二次根式、一次函数、方差、平行四边形、一次函数与方程、矩形折叠相关知识点。解题思路：11题根据二次根式被开方数非负列不等式；12题代入自变量求一次函数值；13题利用方差越小数据越稳定判断；14题结合平行四边形性质、角平分线推出等腰三角形计算线段；15题明确一次函数与x轴交点是对应方程的解；16题用矩形、折叠性质，勾股定理分类讨论求线段长。
【解析】
11. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此令$x-2\ge0$，解得$x\ge2$；
12. 将$x=1$代入一次函数$y=2x-3$，得$y=2×1-3=-1$；
13. 方差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，已知$S_甲^2=0.9＜ S_乙^2=1.1$，故成绩稳定的是甲；
14. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC=5$，则$∠ DAE=∠ AEB$；又$AE$平分$∠ BAD$，故$∠ BAE=∠ DAE$，因此$∠ BAE=∠ AEB$，得$BE=AB=3$，所以$EC=BC-BE=5-3=2$；
15. 一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标即为方程$kx+b=0$的解，已知函数图象过点$(2,0)$，故方程$kx+b=0$的解为$x=2$；
16. 在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=6$，$E$是$AB$中点，故$AE=BE=2$，$BC=AD=6$，$∠ B=90°$，由勾股定理得$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$；由折叠性质得$A'E=AE=2$，分两种情况：①当$∠ A'EC=90°$时，由折叠得$∠ A'EF=∠ AEF$，结合$∠ A'EC=90°$得$∠ AEF=45°$，推出$AF=AE=2$，四边形$AFA'E$为正方形，得$A'(2,2)$，计算得$A'C=\sqrt{(4-2)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5}$；②当$∠ EA'C=90°$时，$F、A'、C$三点共线，$A'$落在$EC$上，故$A'C=EC-A'E=2\sqrt{10}-2$；综上，$A'C$的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{10}-2$。
【答案】
11. $x\ge2$；12. $-1$；13. 甲；14. $2$；15. $x=2$；16. $2\sqrt{5}$或$2\sqrt{10}-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、方差的意义、平行四边形的性质
【点评】
本题涵盖代数与几何基础知识点，侧重考查基本概念的应用，第16题需结合折叠性质进行分类讨论，对逻辑思维有一定要求，整体难度适中，适合巩固相关基础。
【难度系数】
0.6
本题为6道填空题，分别考查二次根式、一次函数、方差、平行四边形、一次函数与方程、矩形折叠相关知识点。解题思路：11题根据二次根式被开方数非负列不等式；12题代入自变量求一次函数值；13题利用方差越小数据越稳定判断；14题结合平行四边形性质、角平分线推出等腰三角形计算线段；15题明确一次函数与x轴交点是对应方程的解；16题用矩形、折叠性质，勾股定理分类讨论求线段长。
【解析】
11. 二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此令$x-2\ge0$，解得$x\ge2$；
12. 将$x=1$代入一次函数$y=2x-3$，得$y=2×1-3=-1$；
13. 方差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，已知$S_甲^2=0.9＜ S_乙^2=1.1$，故成绩稳定的是甲；
14. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC=5$，则$∠ DAE=∠ AEB$；又$AE$平分$∠ BAD$，故$∠ BAE=∠ DAE$，因此$∠ BAE=∠ AEB$，得$BE=AB=3$，所以$EC=BC-BE=5-3=2$；
15. 一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标即为方程$kx+b=0$的解，已知函数图象过点$(2,0)$，故方程$kx+b=0$的解为$x=2$；
16. 在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=6$，$E$是$AB$中点，故$AE=BE=2$，$BC=AD=6$，$∠ B=90°$，由勾股定理得$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$；由折叠性质得$A'E=AE=2$，分两种情况：①当$∠ A'EC=90°$时，由折叠得$∠ A'EF=∠ AEF$，结合$∠ A'EC=90°$得$∠ AEF=45°$，推出$AF=AE=2$，四边形$AFA'E$为正方形，得$A'(2,2)$，计算得$A'C=\sqrt{(4-2)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5}$；②当$∠ EA'C=90°$时，$F、A'、C$三点共线，$A'$落在$EC$上，故$A'C=EC-A'E=2\sqrt{10}-2$；综上，$A'C$的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{10}-2$。
【答案】
11. $x\ge2$；12. $-1$；13. 甲；14. $2$；15. $x=2$；16. $2\sqrt{5}$或$2\sqrt{10}-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、方差的意义、平行四边形的性质
【点评】
本题涵盖代数与几何基础知识点，侧重考查基本概念的应用，第16题需结合折叠性质进行分类讨论，对逻辑思维有一定要求，整体难度适中，适合巩固相关基础。
【难度系数】
0.6
11. 若代数式$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 1}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是________.
答案
11. $x≥2$ 【点拨】本题考查分式及二次根式有意义的条件,掌握分式的分母不为0,二次根式的被开方数非负是解题的关键.
【解析】由题意,得$\begin{cases} x-2≥0, \\ x-1≠0, \end{cases}$解得$x≥2$.故答案为$x≥2$.
【解析】由题意,得$\begin{cases} x-2≥0, \\ x-1≠0, \end{cases}$解得$x≥2$.故答案为$x≥2$.
解析
【分析】
要确定代数式$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 1}$在实数范围内有意义时$x$的取值，需分别满足二次根式和分式的有意义条件：二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，据此列出对应的不等式组，求解后得到$x$的范围。
【解析】
根据代数式有意义的条件：
1. 二次根式$\sqrt{x-2}$的被开方数需满足：$x - 2 ≥ 0$；
2. 分式$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 1}$的分母需满足：$x - 1 ≠ 0$。
联立上述条件得不等式组：$\begin{cases} x - 2 ≥ 0 \\ x - 1 ≠ 0 \end{cases}$，
解第一个不等式得$x ≥ 2$，第二个不等式得$x ≠ 1$，
由于$x ≥ 2$已包含$x ≠ 1$，因此$x$的取值范围是$x ≥ 2$。
【答案】
$x≥2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的基础条件，需牢记“二次根式被开方数非负、分式分母不为0”的规则，准确列出不等式组即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定代数式$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 1}$在实数范围内有意义时$x$的取值，需分别满足二次根式和分式的有意义条件：二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，据此列出对应的不等式组，求解后得到$x$的范围。
【解析】
根据代数式有意义的条件：
1. 二次根式$\sqrt{x-2}$的被开方数需满足：$x - 2 ≥ 0$；
2. 分式$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 1}$的分母需满足：$x - 1 ≠ 0$。
联立上述条件得不等式组：$\begin{cases} x - 2 ≥ 0 \\ x - 1 ≠ 0 \end{cases}$，
解第一个不等式得$x ≥ 2$，第二个不等式得$x ≠ 1$，
由于$x ≥ 2$已包含$x ≠ 1$，因此$x$的取值范围是$x ≥ 2$。
【答案】
$x≥2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的基础条件，需牢记“二次根式被开方数非负、分式分母不为0”的规则，准确列出不等式组即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
12. 已知$ a $是方程$ x^2 + 2x - 3 = 0 $的一个根，则代数式$ a^2 + 2a - 2025 $的值为
$-2022$
.答案
12. $-2022$ 【点拨】本题考查方程的根的定义,整体思想的应用是解题的关键.
【解析】将$x=a$代入$x^2 + 2x - 3 = 0$,得$a^2 + 2a - 3 = 0, \therefore a^2 + 2a = 3, \therefore a^2 + 2a - 2025 = 3 - 2025 = -2022$.故答案为$-2022$.
【解析】将$x=a$代入$x^2 + 2x - 3 = 0$,得$a^2 + 2a - 3 = 0, \therefore a^2 + 2a = 3, \therefore a^2 + 2a - 2025 = 3 - 2025 = -2022$.故答案为$-2022$.
解析
【分析】首先根据方程根的定义，若一个数是方程的根，将其代入方程等式成立，因此把a代入已知方程可得到a²+2a的值；再利用整体代入的思想，将求得的a²+2a的值代入目标代数式，即可快速计算结果，无需解出a的具体值。
【解析】因为a是方程x² + 2x - 3 = 0的根，所以将x=a代入方程得：a² + 2a - 3 = 0，移项可得a² + 2a = 3。把a² + 2a = 3代入代数式a² + 2a - 2025，得：3 - 2025 = -2022。
【答案】-2022
【知识点】方程的根的定义，整体代入法
【点评】本题考查方程根的概念，关键是运用整体思想简化运算，避免求解方程的根，属于基础题型，注重对核心方法的考查。
【难度系数】0.6
【解析】因为a是方程x² + 2x - 3 = 0的根，所以将x=a代入方程得：a² + 2a - 3 = 0，移项可得a² + 2a = 3。把a² + 2a = 3代入代数式a² + 2a - 2025，得：3 - 2025 = -2022。
【答案】-2022
【知识点】方程的根的定义，整体代入法
【点评】本题考查方程根的概念，关键是运用整体思想简化运算，避免求解方程的根，属于基础题型，注重对核心方法的考查。
【难度系数】0.6
13. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(单位:分)分别为8,7.5,9.5,8.5,8.5,9,则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为
$2.5$
.答案
13. $2.5$ 【点拨】本题考查离差的平方和.
【解析】小华此次演讲比赛得分的平均数为$(8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9) ÷ 6 = 8.5$(分),则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为$(8 - 8.5)^2 + (7.5 - 8.5)^2 + (9.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (9 - 8.5)^2 = 2.5$.故答案为$2.5$.
【解析】小华此次演讲比赛得分的平均数为$(8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9) ÷ 6 = 8.5$(分),则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为$(8 - 8.5)^2 + (7.5 - 8.5)^2 + (9.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (9 - 8.5)^2 = 2.5$.故答案为$2.5$.
解析
【分析】要计算离差平方和，需先明确其定义：离差平方和是一组数据中每个数据与平均数的差的平方之和。解题步骤为：第一步，计算6个评分的平均数；第二步，分别计算每个评分与平均数的差的平方；第三步，将所有差的平方相加，得到离差平方和。
【解析】首先计算6个评分的平均数：
$\bar{x} = \frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6} = \frac{51}{6} = 8.5$（分）
再计算离差平方和：
$(8 - 8.5)^2 + (7.5 - 8.5)^2 + (9.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (9 - 8.5)^2$
$= (-0.5)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0.5^2$
$= 0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25$
$= 2.5$
【答案】$2.5$
【知识点】平均数计算、离差平方和
【点评】本题考查统计中离差平方和的基本计算，属于基础题型，核心是掌握离差平方和的计算步骤，难度较低，适合基础练习。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算6个评分的平均数：
$\bar{x} = \frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6} = \frac{51}{6} = 8.5$（分）
再计算离差平方和：
$(8 - 8.5)^2 + (7.5 - 8.5)^2 + (9.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (9 - 8.5)^2$
$= (-0.5)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0.5^2$
$= 0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25$
$= 2.5$
【答案】$2.5$
【知识点】平均数计算、离差平方和
【点评】本题考查统计中离差平方和的基本计算，属于基础题型，核心是掌握离差平方和的计算步骤，难度较低，适合基础练习。
【难度系数】0.7
14. 如图,在正方形ABCD内作等边三角形ADE,连接BD,BE,则∠DBE=
$30$
°.答案
14. $30$ 【点拨】本题考查正方形的性质,等边三角形的性质,掌握正方形的性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore ∠ BAD = 90°, AB = AD, ∠ DBA = 45°. \because △ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ DAE = 60°, AD = AE, \therefore ∠ BAE = 90° - 60° = 30°, AB = AE, \therefore ∠ ABE = ∠ AEB = \dfrac{1}{2} × (180° - 30°) = 75°, \therefore ∠ DBE = ∠ EBA - ∠ DBA = 30°$.故答案为30.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore ∠ BAD = 90°, AB = AD, ∠ DBA = 45°. \because △ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ DAE = 60°, AD = AE, \therefore ∠ BAE = 90° - 60° = 30°, AB = AE, \therefore ∠ ABE = ∠ AEB = \dfrac{1}{2} × (180° - 30°) = 75°, \therefore ∠ DBE = ∠ EBA - ∠ DBA = 30°$.故答案为30.
解析
【分析】
要计算∠DBE的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导边与角的关系：首先利用正方形的性质得到边相等、内角为直角及对角线平分内角的特点，再结合等边三角形的性质得到另一组边相等，进而确定等腰三角形，最后通过角的和差关系求出目标角。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠DBA=45°（正方形的性质：四个角为直角，四条边相等，对角线平分内角）。
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°（等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°）。
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD - ∠DAE=90° - 60°=30°。
在△ABE中，AB=AE，故△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB=½×(180° - ∠BAE)=½×(180° - 30°)=75°。
∴∠DBE=∠ABE - ∠DBA=75° - 45°=30°。
【答案】
30
【知识点】
正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查正方形与等边三角形的性质，核心是利用边相等关系构造等腰三角形，再通过内角和与角的差计算目标角度，属于几何角度计算的基础综合题。
【难度系数】
0.5
要计算∠DBE的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导边与角的关系：首先利用正方形的性质得到边相等、内角为直角及对角线平分内角的特点，再结合等边三角形的性质得到另一组边相等，进而确定等腰三角形，最后通过角的和差关系求出目标角。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠DBA=45°（正方形的性质：四个角为直角，四条边相等，对角线平分内角）。
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°（等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°）。
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD - ∠DAE=90° - 60°=30°。
在△ABE中，AB=AE，故△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB=½×(180° - ∠BAE)=½×(180° - 30°)=75°。
∴∠DBE=∠ABE - ∠DBA=75° - 45°=30°。
【答案】
30
【知识点】
正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查正方形与等边三角形的性质，核心是利用边相等关系构造等腰三角形，再通过内角和与角的差计算目标角度，属于几何角度计算的基础综合题。
【难度系数】
0.5
15. 如图,平地上A,B两点被池塘隔开,测量员在岸边选一点C,并分别找到AC和BC的中点D,E,测量得$DE=12$米,则A,B两点间的距离为
$24$
米.答案
15. $24$ 【点拨】本题考查三角形中位线定理.
【解析】$\because D,E$分别是$AC,BC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DE = \dfrac{1}{2}AB. \because DE = 12$米,$\therefore AB = 24$米,即$A,B$两点间的距离为24米.故答案为24.
【解析】$\because D,E$分别是$AC,BC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DE = \dfrac{1}{2}AB. \because DE = 12$米,$\therefore AB = 24$米,即$A,B$两点间的距离为24米.故答案为24.
解析
【分析】要计算被池塘隔开的A、B两点间的距离，观察图形可知D、E分别是AC和BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，已知DE的长度，即可求出AB的长度。
【解析】
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$DE = \dfrac{1}{2}AB$，
又
∵$DE = 12$米，
∴$AB = 2×DE = 2×12 = 24$米，
即A、B两点间的距离为24米。
【答案】24
【知识点】三角形中位线定理
【点评】本题是三角形中位线定理的基础应用，将实际测量问题转化为几何问题，直接利用中位线性质求解，属于基础题，考查学生对中位线定理的掌握情况。
【难度系数】0.2
【解析】
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$DE = \dfrac{1}{2}AB$，
又
∵$DE = 12$米，
∴$AB = 2×DE = 2×12 = 24$米，
即A、B两点间的距离为24米。
【答案】24
【知识点】三角形中位线定理
【点评】本题是三角形中位线定理的基础应用，将实际测量问题转化为几何问题，直接利用中位线性质求解，属于基础题，考查学生对中位线定理的掌握情况。
【难度系数】0.2
16. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中快车送达后立即沿原路返回,往返速度的大小不变,两车离甲地的距离 y(km)与慢车行驶时间 t(h)之间的函数关系如图所示.给出下列结论:①快车比慢车晚出发2 h;②快车速度是慢车速度的2倍;③慢车从出发到两车第一次相遇时,所走的路程为$\frac{a}{2}$km;④若两车第二次相遇地距乙地距离为90 km,则$a = 360$.其中,正确的有
①③④
.(填序号)答案
16. ①③④ 【点拨】本题考查一次函数和一次方程的应用,利用数形结合的思想是解题的关键.
【解析】①由题图可得快车比慢车晚出发2 h,故①正确. ②快车的速度为$\dfrac{2a}{6-2} = \dfrac{a}{2}(\mathrm{km/h})$,慢车的速度为$\dfrac{a}{6}\ \mathrm{km/h}. \because \dfrac{a}{2} ÷ \dfrac{a}{6} = 3, \therefore$ 快车速度是慢车速度的3倍,故②错误. ③设慢车行驶$m\ \mathrm{h}$两车第一次相遇,则$\dfrac{1}{6}am = \dfrac{1}{2}a(m-2)$,解得$m=3, \therefore$ 慢车所走的路程为$\dfrac{1}{6}a × 3 = \dfrac{a}{2}(\mathrm{km})$,故③正确. ④设慢车行驶$n\ \mathrm{h}$两车第二次相遇,则$\dfrac{1}{6}an + \dfrac{1}{2}a(n - \dfrac{6-2}{2} - 2) = a$,解得$n = \dfrac{9}{2}$,此时慢车距乙地的距离为$a - \dfrac{1}{6}a × \dfrac{9}{2} = 90$,解得$a = 360$,故④正确. 综上,正确的有①③④.故答案为①③④.
【解析】①由题图可得快车比慢车晚出发2 h,故①正确. ②快车的速度为$\dfrac{2a}{6-2} = \dfrac{a}{2}(\mathrm{km/h})$,慢车的速度为$\dfrac{a}{6}\ \mathrm{km/h}. \because \dfrac{a}{2} ÷ \dfrac{a}{6} = 3, \therefore$ 快车速度是慢车速度的3倍,故②错误. ③设慢车行驶$m\ \mathrm{h}$两车第一次相遇,则$\dfrac{1}{6}am = \dfrac{1}{2}a(m-2)$,解得$m=3, \therefore$ 慢车所走的路程为$\dfrac{1}{6}a × 3 = \dfrac{a}{2}(\mathrm{km})$,故③正确. ④设慢车行驶$n\ \mathrm{h}$两车第二次相遇,则$\dfrac{1}{6}an + \dfrac{1}{2}a(n - \dfrac{6-2}{2} - 2) = a$,解得$n = \dfrac{9}{2}$,此时慢车距乙地的距离为$a - \dfrac{1}{6}a × \dfrac{9}{2} = 90$,解得$a = 360$,故④正确. 综上,正确的有①③④.故答案为①③④.
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需结合图像提取两车的行驶时间、路程信息，先计算两车速度，再针对每个结论的等量关系列方程验证，核心是理解图像中线段对应的行驶过程。
【解析】
1. 验证结论①：由图像可知，慢车从$t=0$出发，快车从$t=2$出发，因此快车比慢车晚出发2h，故①正确。
2. 验证结论②：慢车6h行驶$a\ \mathrm{km}$，速度为$\frac{a}{6}\ \mathrm{km/h}$；快车从$t=2$到$t=4$到达乙地（用时2h），行驶$a\ \mathrm{km}$，速度为$\frac{a}{4-2}=\frac{a}{2}\ \mathrm{km/h}$。快车速度是慢车速度的$\frac{a}{2}÷\frac{a}{6}=3$倍，不是2倍，故②错误。
3. 验证结论③：设慢车行驶$m\ \mathrm{h}$时两车第一次相遇，此时慢车路程为$\frac{a}{6}m$，快车行驶时间为$(m-2)\ \mathrm{h}$，路程为$\frac{a}{2}(m-2)$，相遇时路程相等，列方程：$\frac{1}{6}am=\frac{1}{2}a(m-2)$，解得$m=3$，则慢车路程为$\frac{1}{6}a×3=\frac{a}{2}\ \mathrm{km}$，故③正确。
4. 验证结论④：设慢车行驶$n\ \mathrm{h}$时两车第二次相遇，快车返回时的函数为$y=a-\frac{a}{2}(t-4)$，慢车函数为$y=\frac{a}{6}t$，相遇时两者路程相等，列方程：$\frac{1}{6}an=a-\frac{a}{2}(n-4)$，解得$n=\frac{9}{2}$。此时慢车距乙地距离为$a-\frac{1}{6}a×\frac{9}{2}=\frac{a}{4}$，由题意$\frac{a}{4}=90$，解得$a=360$，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
一次函数应用、行程问题
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程问题，需从图像中梳理两车的行驶时间、路程关系，利用速度公式和相遇时路程相等的等量关系列方程求解，数形结合是解题关键，需准确理解图像各线段的实际意义。
【难度系数】
0.4
要判断各结论是否正确，需结合图像提取两车的行驶时间、路程信息，先计算两车速度，再针对每个结论的等量关系列方程验证，核心是理解图像中线段对应的行驶过程。
【解析】
1. 验证结论①：由图像可知，慢车从$t=0$出发，快车从$t=2$出发，因此快车比慢车晚出发2h，故①正确。
2. 验证结论②：慢车6h行驶$a\ \mathrm{km}$，速度为$\frac{a}{6}\ \mathrm{km/h}$；快车从$t=2$到$t=4$到达乙地（用时2h），行驶$a\ \mathrm{km}$，速度为$\frac{a}{4-2}=\frac{a}{2}\ \mathrm{km/h}$。快车速度是慢车速度的$\frac{a}{2}÷\frac{a}{6}=3$倍，不是2倍，故②错误。
3. 验证结论③：设慢车行驶$m\ \mathrm{h}$时两车第一次相遇，此时慢车路程为$\frac{a}{6}m$，快车行驶时间为$(m-2)\ \mathrm{h}$，路程为$\frac{a}{2}(m-2)$，相遇时路程相等，列方程：$\frac{1}{6}am=\frac{1}{2}a(m-2)$，解得$m=3$，则慢车路程为$\frac{1}{6}a×3=\frac{a}{2}\ \mathrm{km}$，故③正确。
4. 验证结论④：设慢车行驶$n\ \mathrm{h}$时两车第二次相遇，快车返回时的函数为$y=a-\frac{a}{2}(t-4)$，慢车函数为$y=\frac{a}{6}t$，相遇时两者路程相等，列方程：$\frac{1}{6}an=a-\frac{a}{2}(n-4)$，解得$n=\frac{9}{2}$。此时慢车距乙地距离为$a-\frac{1}{6}a×\frac{9}{2}=\frac{a}{4}$，由题意$\frac{a}{4}=90$，解得$a=360$，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
一次函数应用、行程问题
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程问题，需从图像中梳理两车的行驶时间、路程关系，利用速度公式和相遇时路程相等的等量关系列方程求解，数形结合是解题关键，需准确理解图像各线段的实际意义。
【难度系数】
0.4
