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1. 已知正比例函数图象上一个点 A 在 x 轴的下方，y 轴的右侧，距离 x 轴 4 个单位长度，距离 y 轴 2 个单位长度，求该正比例函数的表达式.
答案
∵点 A 在 x 轴的下方,y 轴的右侧,距离 x 轴 4 个单位长度,距离 y 轴 2 个单位长度,
∴点 A 的坐标为(2,-4).
设正比例函数的表达式为 y=kx(k≠0),
将点(2,-4)代入 y=kx 中,
得-4=2k,解得 k=-2.
∴该正比例函数的表达式为 y=-2x.
解析
【分析】
解题时首先要确定点A的坐标：先根据点A的位置（x轴下方、y轴右侧）判断它在第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负；再结合点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，就能求出点A的具体坐标。接下来用待定系数法求正比例函数表达式：正比例函数的通用形式为$y=kx(k≠0)$，把点A的坐标代入该式求出$k$的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
∵点A在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点A的坐标为$(2,-4)$。
设正比例函数的表达式为$y=kx(k≠0)$，
将点$(2,-4)$代入$y=kx$中，
得$-4=2k$，解得$k=-2$。
∴该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
【答案】
$y=-2x$
【知识点】
1. 点的坐标与象限的关系
2. 待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，解题关键是先结合象限特征和点到坐标轴的距离准确确定点的坐标，再用待定系数法求解解析式，易错点是容易混淆横纵坐标的对应关系或弄错坐标符号，解题时可先判断坐标符号再确定具体数值。
【难度系数】
0.8
解题时首先要确定点A的坐标：先根据点A的位置（x轴下方、y轴右侧）判断它在第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负；再结合点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，就能求出点A的具体坐标。接下来用待定系数法求正比例函数表达式：正比例函数的通用形式为$y=kx(k≠0)$，把点A的坐标代入该式求出$k$的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
∵点A在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点A的坐标为$(2,-4)$。
设正比例函数的表达式为$y=kx(k≠0)$，
将点$(2,-4)$代入$y=kx$中，
得$-4=2k$，解得$k=-2$。
∴该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
【答案】
$y=-2x$
【知识点】
1. 点的坐标与象限的关系
2. 待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，解题关键是先结合象限特征和点到坐标轴的距离准确确定点的坐标，再用待定系数法求解解析式，易错点是容易混淆横纵坐标的对应关系或弄错坐标符号，解题时可先判断坐标符号再确定具体数值。
【难度系数】
0.8
2. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数，表中给出了部分对应值.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求 $ m,n $ 的值.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求 $ m,n $ 的值.
答案
(1)设一次函数的表达式为 y=kx+b(k≠0).
由题意,得$\begin{cases}-k+b=5,\\2k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为 y=-2x+3.
(2)当 x=4 时,m=-2×4+3=-5;
当 y=-7 时,-7=-2n+3,解得 n=5,
∴m=-5,n=5.
由题意,得$\begin{cases}-k+b=5,\\2k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为 y=-2x+3.
(2)当 x=4 时,m=-2×4+3=-5;
当 y=-7 时,-7=-2n+3,解得 n=5,
∴m=-5,n=5.
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式的核心方法是待定系数法，一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，我们只需代入两组已知的x、y对应值，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可确定函数解析式，题目中给出的$x=-1,y=5$和$x=2,y=-1$正好可作为代入的两组数据。
(2) 求m时，m是x=4对应的函数值，只需把x=4代入已求出的解析式计算即可；求n时，n是y=-7对应的自变量值，把y=-7代入解析式解一元一次方程就能得到n的值。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=-1,y=5$和$x=2,y=-1$分别代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=5\\2k+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$3k=-6$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$-k+b=5$，得$2+b=5$，解得$b=3$。
因此一次函数的表达式为$y=-2x+3$。
(2) 求m的值：当$x=4$时，代入$y=-2x+3$，
$m=-2×4+3=-8+3=-5$；
求n的值：当$y=-7$时，代入$y=-2x+3$，
$-7=-2n+3$，移项得$2n=10$，解得$n=5$。
【答案】
(1) $y=-2x+3$
(2) $m=-5$，$n=5$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数点坐标与解析式的关系
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查待定系数法的应用和一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法的求解步骤是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数表达式的核心方法是待定系数法，一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，我们只需代入两组已知的x、y对应值，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可确定函数解析式，题目中给出的$x=-1,y=5$和$x=2,y=-1$正好可作为代入的两组数据。
(2) 求m时，m是x=4对应的函数值，只需把x=4代入已求出的解析式计算即可；求n时，n是y=-7对应的自变量值，把y=-7代入解析式解一元一次方程就能得到n的值。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=-1,y=5$和$x=2,y=-1$分别代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=5\\2k+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$3k=-6$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$-k+b=5$，得$2+b=5$，解得$b=3$。
因此一次函数的表达式为$y=-2x+3$。
(2) 求m的值：当$x=4$时，代入$y=-2x+3$，
$m=-2×4+3=-8+3=-5$；
求n的值：当$y=-7$时，代入$y=-2x+3$，
$-7=-2n+3$，移项得$2n=10$，解得$n=5$。
【答案】
(1) $y=-2x+3$
(2) $m=-5$，$n=5$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数点坐标与解析式的关系
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查待定系数法的应用和一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法的求解步骤是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图,过点$A(4,0)$的两条直线$l_1,l_2$分别交$y$轴于点$B,C$,其中点$B$在原点上方,点$C$在原点下方,已知$AB=2\sqrt{13}$.若$△ ABC$的面积为$20$,求直线$l_2$的函数表达式.
答案
∵点 A(4,0),
∴AO=4.
∵∠AOB=90°,AO=4,AB=2√13,
∴BO=√(AB²-AO²)=√(52-16)=√36=6.
又点 B 在原点上方,
∴点 B 的坐标为(0,6).
∵△ABC 的面积为 20,
∴$\frac{1}{2}BC·AO=20$,
∴BC=10.
∵BO=6,
∴CO=10-6=4.
又点 C 在原点下方,
∴点 C 的坐标为(0,-4).
设直线$l_2$的函数表达式为 y=kx+b(k≠0),
则$\begin{cases}b=-4,\\0=4k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1,\\b=-4,\end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为 y=x-4.
解析
【分析】
要得到直线$l_2$的函数表达式，需先确定$l_2$经过的两个点的坐标，已知$l_2$过点$A(4,0)$，因此需要先求出点$C$的坐标。第一步，在$Rt△ AOB$中，利用勾股定理求出$OB$的长度，得到点$B$的坐标；第二步，根据$△ ABC$的面积公式，以$BC$为底、$OA$为高，求出$BC$的长度，结合$OB$的长度算出$OC$的长度，得到点$C$的坐标；第三步，利用待定系数法，将$A$、$C$两点的坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到$l_2$的解析式。
【解析】
$\because$点$A(4,0)$,
$\therefore AO=4$.
$\because ∠ AOB=90°$,$AO=4$,$AB=2\sqrt{13}$,
$\therefore BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{52-16}=\sqrt{36}=6$.
又点$B$在原点上方,
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,6)$.
$\because △ ABC$的面积为$20$,
$\therefore \frac{1}{2}BC·AO=20$,
$\therefore BC=10$.
$\because BO=6$,
$\therefore CO=10-6=4$.
又点$C$在原点下方,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-4)$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
则$\begin{cases}b=-4,\\0=4k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1,\\b=-4,\end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的函数表达式为$y=x-4$.
【答案】
$y=x-4$
【知识点】
勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，解题核心是结合勾股定理和三角形面积公式求出未知点坐标，再运用待定系数法求解函数解析式，注重考查数形结合思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要得到直线$l_2$的函数表达式，需先确定$l_2$经过的两个点的坐标，已知$l_2$过点$A(4,0)$，因此需要先求出点$C$的坐标。第一步，在$Rt△ AOB$中，利用勾股定理求出$OB$的长度，得到点$B$的坐标；第二步，根据$△ ABC$的面积公式，以$BC$为底、$OA$为高，求出$BC$的长度，结合$OB$的长度算出$OC$的长度，得到点$C$的坐标；第三步，利用待定系数法，将$A$、$C$两点的坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到$l_2$的解析式。
【解析】
$\because$点$A(4,0)$,
$\therefore AO=4$.
$\because ∠ AOB=90°$,$AO=4$,$AB=2\sqrt{13}$,
$\therefore BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{52-16}=\sqrt{36}=6$.
又点$B$在原点上方,
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,6)$.
$\because △ ABC$的面积为$20$,
$\therefore \frac{1}{2}BC·AO=20$,
$\therefore BC=10$.
$\because BO=6$,
$\therefore CO=10-6=4$.
又点$C$在原点下方,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-4)$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
则$\begin{cases}b=-4,\\0=4k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1,\\b=-4,\end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的函数表达式为$y=x-4$.
【答案】
$y=x-4$
【知识点】
勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，解题核心是结合勾股定理和三角形面积公式求出未知点坐标，再运用待定系数法求解函数解析式，注重考查数形结合思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 为了更新果树品种,某果园计划购进 A 品种的果树苗栽植培育.购买 A 品种树苗所需费用$y$(元)与购买数量$x$(棵)之间存在如图所示的函数关系.求$y$关于$x$的函数表达式.
答案
∵当 0≤x≤20 时,图象经过点(0,0)和(20,160),
∴设 y=k₁x(k₁≠0).
把(20,160)代入,得 160=20k₁,解得 k₁=8.
∴y=8x.
当 x≥20 时,设 y=k₂x+b(k₂≠0),
把点(20,160)和(40,288)代入,
得$\begin{cases}20k_2+b=160,\\40k_2+b=288,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=6.4,\\b=32.\end{cases}$
∴y=6.4x+32.
∴y=$\begin{cases}8x(0≤ x≤ 20),\\6.4x+32(x≥ 20).\end{cases}$(其中 x 为整数)
解析
【分析】
观察图象可知费用y与购买数量x是分段函数关系，分界点为x=20，需分两段求解：①当0≤x≤20时，图象是过原点的直线，属于正比例函数，可设解析式为y=k₁x，代入该段的已知点即可求出系数；②当x≥20时，图象是普通一次函数，可设解析式为y=k₂x+b，代入该段的两个已知点，解二元一次方程组求出系数，最后整理成分段函数即可，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ 0 ≤ x ≤ 20 $时，图象经过点$(0,0)$和$(20,160)$，为正比例函数：
设函数解析式为$ y = k_1x \ (k_1 ≠ 0) $，
将$(20,160)$代入解析式得：$ 160 = 20k_1 $，
解得$ k_1 = 8 $，
因此该段函数解析式为$ y = 8x $。
2. 当$ x ≥ 20 $时，图象经过点$(20,160)$和$(40,288)$，为一次函数：
设函数解析式为$ y = k_2x + b \ (k_2 ≠ 0) $，
将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}20k_2 + b = 160 \\40k_2 + b = 288\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$ 20k_2 = 128 $，解得$ k_2 = 6.4 $，
将$ k_2 = 6.4 $代入$ 20k_2 + b = 160 $，解得$ b = 32 $，
因此该段函数解析式为$ y = 6.4x + 32 $。
综上可得y关于x的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{y=\begin{cases}8x&(0≤ x≤ 20,\mathrm{且}x\mathrm{为整数})\\6.4x+32&(x≥ 20,\mathrm{且}x\mathrm{为整数})\end{cases}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数；一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际购物场景考查一次函数的应用，解题核心是准确识别图像的分段特征，灵活运用待定系数法求解不同区间的函数解析式，同时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
观察图象可知费用y与购买数量x是分段函数关系，分界点为x=20，需分两段求解：①当0≤x≤20时，图象是过原点的直线，属于正比例函数，可设解析式为y=k₁x，代入该段的已知点即可求出系数；②当x≥20时，图象是普通一次函数，可设解析式为y=k₂x+b，代入该段的两个已知点，解二元一次方程组求出系数，最后整理成分段函数即可，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ 0 ≤ x ≤ 20 $时，图象经过点$(0,0)$和$(20,160)$，为正比例函数：
设函数解析式为$ y = k_1x \ (k_1 ≠ 0) $，
将$(20,160)$代入解析式得：$ 160 = 20k_1 $，
解得$ k_1 = 8 $，
因此该段函数解析式为$ y = 8x $。
2. 当$ x ≥ 20 $时，图象经过点$(20,160)$和$(40,288)$，为一次函数：
设函数解析式为$ y = k_2x + b \ (k_2 ≠ 0) $，
将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}20k_2 + b = 160 \\40k_2 + b = 288\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$ 20k_2 = 128 $，解得$ k_2 = 6.4 $，
将$ k_2 = 6.4 $代入$ 20k_2 + b = 160 $，解得$ b = 32 $，
因此该段函数解析式为$ y = 6.4x + 32 $。
综上可得y关于x的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{y=\begin{cases}8x&(0≤ x≤ 20,\mathrm{且}x\mathrm{为整数})\\6.4x+32&(x≥ 20,\mathrm{且}x\mathrm{为整数})\end{cases}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数；一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际购物场景考查一次函数的应用，解题核心是准确识别图像的分段特征，灵活运用待定系数法求解不同区间的函数解析式，同时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
