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1. 已知某一次函数的图象与直线$y=6-x$交于点$P(5,m)$，且与直线$y=2x$平行，求这个一次函数的表达式.
答案
1.
∵点$P(5,m)$在$y=6-x$上，
∴$m=6-5$,解得$m=1$,$\therefore P(5,1)$.
∵这个一次函数的图象与直线$y=2x$平行，
∴这两个一次函数的表达式的$k$值相等.
设这个一次函数的表达式为$y=2x+b$，
把点$(5,1)$代入,得$1=2×5+b$,解得$b=-9$,
∴这个一次函数的表达式为$y=2x-9$.
∵点$P(5,m)$在$y=6-x$上，
∴$m=6-5$,解得$m=1$,$\therefore P(5,1)$.
∵这个一次函数的图象与直线$y=2x$平行，
∴这两个一次函数的表达式的$k$值相等.
设这个一次函数的表达式为$y=2x+b$，
把点$(5,1)$代入,得$1=2×5+b$,解得$b=-9$,
∴这个一次函数的表达式为$y=2x-9$.
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，已知点P是两条直线的交点，因此点P的坐标满足直线y=6-x的表达式，代入x=5即可求出m的值，得到点P的完整坐标；第二步，两直线平行时，它们的一次项系数k相等，因此所求一次函数的k值与y=2x的k值相同，即为2；第三步，设出所求一次函数的表达式，将点P的坐标代入求解b的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
∵点$P(5,m)$在直线$y=6-x$上，
∴将$x=5$代入得$m=6-5=1$，即点P的坐标为$(5,1)$。
∵所求一次函数的图象与直线$y=2x$平行，
∴两个一次函数的一次项系数k相等，即所求函数的k=2。
设这个一次函数的表达式为$y=2x+b$，
把点$P(5,1)$代入表达式得：$1=2×5+b$，
解得$b=-9$。
∴这个一次函数的表达式为$y=2x-9$。
【答案】
$y=2x-9$
【知识点】
一次函数交点性质，平行直线的系数关系，待定系数法求解析式
【点评】
本题是求一次函数表达式的典型基础题，将交点坐标求解、平行直线的系数特点、待定系数法三个考点结合，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，已知点P是两条直线的交点，因此点P的坐标满足直线y=6-x的表达式，代入x=5即可求出m的值，得到点P的完整坐标；第二步，两直线平行时，它们的一次项系数k相等，因此所求一次函数的k值与y=2x的k值相同，即为2；第三步，设出所求一次函数的表达式，将点P的坐标代入求解b的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
∵点$P(5,m)$在直线$y=6-x$上，
∴将$x=5$代入得$m=6-5=1$，即点P的坐标为$(5,1)$。
∵所求一次函数的图象与直线$y=2x$平行，
∴两个一次函数的一次项系数k相等，即所求函数的k=2。
设这个一次函数的表达式为$y=2x+b$，
把点$P(5,1)$代入表达式得：$1=2×5+b$，
解得$b=-9$。
∴这个一次函数的表达式为$y=2x-9$。
【答案】
$y=2x-9$
【知识点】
一次函数交点性质，平行直线的系数关系，待定系数法求解析式
【点评】
本题是求一次函数表达式的典型基础题，将交点坐标求解、平行直线的系数特点、待定系数法三个考点结合，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知一次函数$y=kx+b$的图象与直线$y=-2x+1$的交点$M$的横坐标为1，与直线$y=x-1$的交点$N$的纵坐标为2，求这个一次函数的表达式.
答案
2. 把$x=1$代入$y=-2x+1$,得$y=-1$,
∴交点$M$的坐标是$(1,-1)$.
把$y=2$代入$y=x-1$,得$x=3$,
∴交点$N$的坐标是$(3,2)$.
把$(1,-1)$,$(3,2)$代入$y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}-1=k+b,\\2=3k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{2},\\b=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
∴这个一次函数的表达式是$y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$.
∴交点$M$的坐标是$(1,-1)$.
把$y=2$代入$y=x-1$,得$x=3$,
∴交点$N$的坐标是$(3,2)$.
把$(1,-1)$,$(3,2)$代入$y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}-1=k+b,\\2=3k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{2},\\b=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
∴这个一次函数的表达式是$y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需要求出$k$和$b$两个未知系数，因此要先找到该函数图象经过的两个点的坐标。首先根据交点$M$在直线$y=-2x+1$上且横坐标为1，可求出$M$点的纵坐标，得到$M$的坐标；再根据交点$N$在直线$y=x-1$上且纵坐标为2，可求出$N$点的横坐标，得到$N$的坐标。最后把两个点的坐标代入一次函数解析式，列出关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$和$b$的值，进而得到函数表达式。
【解析】
1. 求交点$M$的坐标：
把$x=1$代入$y=-2x+1$，得$y=-2×1+1=-1$，
$\therefore$交点$M$的坐标是$(1,-1)$。
2. 求交点$N$的坐标：
把$y=2$代入$y=x-1$，得$2=x-1$，解得$x=3$，
$\therefore$交点$N$的坐标是$(3,2)$。
3. 代入解析式列方程组求解：
把$(1,-1)$、$(3,2)$代入$y=kx+b(k≠0)$，得
$\begin{cases}-1=k+b\\2=3k+b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=3$，解得$k=\dfrac{3}{2}$；
把$k=\dfrac{3}{2}$代入$-1=k+b$，得$b=-1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求一次函数解析式的典型基础题，解题核心是先利用已知直线的解析式求出待求一次函数经过的两个点的坐标，再通过待定系数法列方程组求解，熟练掌握该方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需要求出$k$和$b$两个未知系数，因此要先找到该函数图象经过的两个点的坐标。首先根据交点$M$在直线$y=-2x+1$上且横坐标为1，可求出$M$点的纵坐标，得到$M$的坐标；再根据交点$N$在直线$y=x-1$上且纵坐标为2，可求出$N$点的横坐标，得到$N$的坐标。最后把两个点的坐标代入一次函数解析式，列出关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$和$b$的值，进而得到函数表达式。
【解析】
1. 求交点$M$的坐标：
把$x=1$代入$y=-2x+1$，得$y=-2×1+1=-1$，
$\therefore$交点$M$的坐标是$(1,-1)$。
2. 求交点$N$的坐标：
把$y=2$代入$y=x-1$，得$2=x-1$，解得$x=3$，
$\therefore$交点$N$的坐标是$(3,2)$。
3. 代入解析式列方程组求解：
把$(1,-1)$、$(3,2)$代入$y=kx+b(k≠0)$，得
$\begin{cases}-1=k+b\\2=3k+b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=3$，解得$k=\dfrac{3}{2}$；
把$k=\dfrac{3}{2}$代入$-1=k+b$，得$b=-1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求一次函数解析式的典型基础题，解题核心是先利用已知直线的解析式求出待求一次函数经过的两个点的坐标，再通过待定系数法列方程组求解，熟练掌握该方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，直线$y=\frac{1}{2}x+1$与$x$轴交于点$A$，点$A$关于$y$轴的对称点为$A'$，经过点$A'$和$y$轴上的点$B(0,2)$的直线设为$y=kx+b$。
(1)求点$A'$的坐标；
(2)确定直线$A'B$对应的函数表达式。
(1)求点$A'$的坐标；
(2)确定直线$A'B$对应的函数表达式。
答案
3. (1)令$y=0$,则$\dfrac{1}{2}x+1=0$,
∴$x=-2$,$\therefore A(-2,0)$.
∵点$A$关于$y$轴的对称点为$A'$,
∴点$A'$的坐标为$(2,0)$.
(2)
∵直线$A'B$的函数表达式为$y=kx+b$,
∴$\begin{cases}2k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴直线$A'B$对应的函数表达式为$y=-x+2$.
一题多解 (2)
∵点$B$的坐标为$(0,2)$,
∴可设直线$A'B$对应的函数表达式为$y=kx+2$,
将点$A'(2,0)$代入,得$2k+2=0$,
解得$k=-1$,
∴直线$A'B$对应的函数表达式为$y=-x+2$.
∴$x=-2$,$\therefore A(-2,0)$.
∵点$A$关于$y$轴的对称点为$A'$,
∴点$A'$的坐标为$(2,0)$.
(2)
∵直线$A'B$的函数表达式为$y=kx+b$,
∴$\begin{cases}2k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴直线$A'B$对应的函数表达式为$y=-x+2$.
一题多解 (2)
∵点$B$的坐标为$(0,2)$,
∴可设直线$A'B$对应的函数表达式为$y=kx+2$,
将点$A'(2,0)$代入,得$2k+2=0$,
解得$k=-1$,
∴直线$A'B$对应的函数表达式为$y=-x+2$.
解析
【分析】
(1) 要得到点$A'$的坐标，首先需要求出点$A$的坐标：点$A$是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此将$y=0$代入直线方程可求出点$A$的横坐标，得到$A$的坐标；再根据“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，即可求出$A'$的坐标。
(2) 求直线$A'B$的函数表达式，已知直线过$A'$和$B$两个点，使用待定系数法求解即可：可将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k、b$的方程组，解方程组得到$k、b$的值；也可直接利用点$B$是y轴上的点，得截距$b=2$，再代入$A'$的坐标求$k$，两种方法均符合要求。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+1$，令$y=0$，得：
$\dfrac{1}{2}x+1=0$
解得$x=-2$，因此点$A$的坐标为$(-2,0)$。
因为点$A'$是点$A$关于y轴的对称点，所以$A'$的横坐标为$-2$的相反数，纵坐标不变，即$A'(2,0)$。
(2) 设直线$A'B$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A'(2,0)$、$B(0,2)$代入表达式，得：
$\begin{cases}2k+b=0\\b=2\end{cases}$
把$b=2$代入$2k+b=0$，得$2k+2=0$，解得$k=-1$。
因此直线$A'B$对应的函数表达式为$y=-x+2$。
（也可直接由$B(0,2)$得$b=2$，设表达式为$y=kx+2$，代入$A'(2,0)$得$2k+2=0$，解得$k=-1$，同样得到表达式$y=-x+2$）
【答案】
(1) $A'(2,0)$；
(2) $y=-x+2$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求法
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考察一次函数基础性质和待定系数法的应用，解题逻辑清晰，掌握对应基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要得到点$A'$的坐标，首先需要求出点$A$的坐标：点$A$是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此将$y=0$代入直线方程可求出点$A$的横坐标，得到$A$的坐标；再根据“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，即可求出$A'$的坐标。
(2) 求直线$A'B$的函数表达式，已知直线过$A'$和$B$两个点，使用待定系数法求解即可：可将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k、b$的方程组，解方程组得到$k、b$的值；也可直接利用点$B$是y轴上的点，得截距$b=2$，再代入$A'$的坐标求$k$，两种方法均符合要求。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+1$，令$y=0$，得：
$\dfrac{1}{2}x+1=0$
解得$x=-2$，因此点$A$的坐标为$(-2,0)$。
因为点$A'$是点$A$关于y轴的对称点，所以$A'$的横坐标为$-2$的相反数，纵坐标不变，即$A'(2,0)$。
(2) 设直线$A'B$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A'(2,0)$、$B(0,2)$代入表达式，得：
$\begin{cases}2k+b=0\\b=2\end{cases}$
把$b=2$代入$2k+b=0$，得$2k+2=0$，解得$k=-1$。
因此直线$A'B$对应的函数表达式为$y=-x+2$。
（也可直接由$B(0,2)$得$b=2$，设表达式为$y=kx+2$，代入$A'(2,0)$得$2k+2=0$，解得$k=-1$，同样得到表达式$y=-x+2$）
【答案】
(1) $A'(2,0)$；
(2) $y=-x+2$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求法
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考察一次函数基础性质和待定系数法的应用，解题逻辑清晰，掌握对应基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 $ABCD$ 的中心与原点重合,顶点 $A$ 的坐标为$(-1,1)$,顶点 $B$ 在第一象限,若点 $B$ 在过点$(0,3)$的直线 $l$ 上,求直线 $l$ 的函数表达式.
答案
4.
∵正方形$ABCD$的中心与原点重合,且顶点$A$的坐标为$(-1,1)$,$\therefore B(1,1)$.
设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
把点$B(1,1)$,$(0,3)$代入,得$\begin{cases}1=k+b,\\3=b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=3.\end{cases}$
∴直线$l$的函数表达式为$y=-2x+3$.
∵正方形$ABCD$的中心与原点重合,且顶点$A$的坐标为$(-1,1)$,$\therefore B(1,1)$.
设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
把点$B(1,1)$,$(0,3)$代入,得$\begin{cases}1=k+b,\\3=b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=3.\end{cases}$
∴直线$l$的函数表达式为$y=-2x+3$.
解析
【分析】
解题首先需要求出点B的坐标：已知正方形ABCD的中心与原点重合，顶点A坐标为(-1,1)，观察图形可知AB边平行于x轴，因此B点纵坐标与A点相同，又因为正方形关于y轴对称，所以B点横坐标为1，即可确定B点坐标。接下来直线l过(0,3)和B两个已知点，我们使用待定系数法求一次函数表达式：先设出一次函数的一般形式，再将两个点的坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k和b的值，即可得到直线l的表达式。
【解析】
∵正方形$ABCD$的中心与原点重合，且顶点$A$的坐标为$(-1,1)$，
$\therefore B(1,1)$。
设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
把点$B(1,1)$、$(0,3)$代入，得
$\begin{cases}1=k+b\\3=b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=3\end{cases}$
∴直线$l$的函数表达式为$y=-2x+3$。
【答案】
$y=-2x+3$
【知识点】
正方形的性质，待定系数法求一次函数表达式
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何性质与一次函数的基础综合题，解题核心是先利用正方形的对称性确定B点坐标，再熟练运用待定系数法求解函数解析式，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
解题首先需要求出点B的坐标：已知正方形ABCD的中心与原点重合，顶点A坐标为(-1,1)，观察图形可知AB边平行于x轴，因此B点纵坐标与A点相同，又因为正方形关于y轴对称，所以B点横坐标为1，即可确定B点坐标。接下来直线l过(0,3)和B两个已知点，我们使用待定系数法求一次函数表达式：先设出一次函数的一般形式，再将两个点的坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k和b的值，即可得到直线l的表达式。
【解析】
∵正方形$ABCD$的中心与原点重合，且顶点$A$的坐标为$(-1,1)$，
$\therefore B(1,1)$。
设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
把点$B(1,1)$、$(0,3)$代入，得
$\begin{cases}1=k+b\\3=b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=3\end{cases}$
∴直线$l$的函数表达式为$y=-2x+3$。
【答案】
$y=-2x+3$
【知识点】
正方形的性质，待定系数法求一次函数表达式
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何性质与一次函数的基础综合题，解题核心是先利用正方形的对称性确定B点坐标，再熟练运用待定系数法求解函数解析式，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
