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1. 已知点$A(a,4)$是直线$l_1:y=-2x$上一点，直线$l_2$经过点$A$，且与$x$轴交于点$B(2,0)$，求直线$l_2$的函数表达式.
答案
将$y=4$代入$y=-2x$,得$x=-2$.
$\therefore a=-2$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,
将点$A(-2,4),B(2,0)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} -2k+b=4, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=-x+2$.
$\therefore a=-2$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,
将点$A(-2,4),B(2,0)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} -2k+b=4, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=-x+2$.
解析
【分析】
要确定直线$l_2$的函数表达式，需用到待定系数法，因此要先获取$l_2$上两个已知点的坐标。已知$l_2$过点$B(2,0)$，但点$A$的横坐标$a$未知，因此第一步先利用点$A$在直线$l_1$上的条件，将$A$的纵坐标代入$l_1$的解析式求出$a$，得到点$A$的完整坐标；第二步设出$l_2$的一次函数一般式，将$A$、$B$两点坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$即可得到$l_2$的解析式。
【解析】
∵点$A(a,4)$在直线$l_1:y=-2x$上，
将$y=4$代入$y=-2x$，得$4=-2x$，解得$x=-2$，
∴$a=-2$，即点$A$的坐标为$(-2,4)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(-2,4)$、$B(2,0)$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k+b=4 \\ 2k+b=0 \end{cases}$
两式相减得$-4k=4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$2k+b=0$，得$-2+b=0$，解得$b=2$。
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-x+2$。
【答案】
$y=-x+2$
【知识点】
一次函数点坐标特征、待定系数法、解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，解题关键是先求出点$A$的完整坐标，再熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，这类题型是一次函数章节的核心基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
要确定直线$l_2$的函数表达式，需用到待定系数法，因此要先获取$l_2$上两个已知点的坐标。已知$l_2$过点$B(2,0)$，但点$A$的横坐标$a$未知，因此第一步先利用点$A$在直线$l_1$上的条件，将$A$的纵坐标代入$l_1$的解析式求出$a$，得到点$A$的完整坐标；第二步设出$l_2$的一次函数一般式，将$A$、$B$两点坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$即可得到$l_2$的解析式。
【解析】
∵点$A(a,4)$在直线$l_1:y=-2x$上，
将$y=4$代入$y=-2x$，得$4=-2x$，解得$x=-2$，
∴$a=-2$，即点$A$的坐标为$(-2,4)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(-2,4)$、$B(2,0)$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k+b=4 \\ 2k+b=0 \end{cases}$
两式相减得$-4k=4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$2k+b=0$，得$-2+b=0$，解得$b=2$。
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-x+2$。
【答案】
$y=-x+2$
【知识点】
一次函数点坐标特征、待定系数法、解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，解题关键是先求出点$A$的完整坐标，再熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，这类题型是一次函数章节的核心基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
2. 一次函数$y=kx+2b+4$的图象经过点$(-1,-3)$，$k$满足$|k-3|=4$，且$y$随$x$的增大而减小，求一次函数的表达式。
答案
$\because$ 一次函数$y=kx+2b+4$经过点$(-1,-3)$,
$\therefore -k+2b+4=-3$,即$2b-k=-7$.
又$|k-3|-4=0$,$\therefore k=7$或$-1$.
又$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore k＜0$,即$k=-1$,$\therefore b=-4$,
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x-4$.
$\therefore -k+2b+4=-3$,即$2b-k=-7$.
又$|k-3|-4=0$,$\therefore k=7$或$-1$.
又$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore k＜0$,即$k=-1$,$\therefore b=-4$,
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x-4$.
解析
【分析】
要确定一次函数的表达式，需要求出未知系数k和b的值，解题可按以下步骤思考：①先解绝对值方程$|k-3|=4$，得到k的两个可能取值；②根据一次函数y随x增大而减小的性质，可知$k＜0$，据此筛选出符合条件的k值；③将已知点$(-1,-3)$代入一次函数解析式，得到关于b的方程，求解得到b的值，最终即可确定一次函数的表达式。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+2b+4$的图象经过点$(-1,-3)$，
∴ 将$x=-1$，$y=-3$代入解析式得：$-k+2b+4=-3$，整理得$2b-k=-7$。
又
∵ $|k-3|=4$，
∴ $k-3=4$或$k-3=-4$，解得$k=7$或$k=-1$。
∵ 一次函数$y$随$x$的增大而减小，
∴ $k＜0$，故舍去$k=7$，取$k=-1$。
将$k=-1$代入$2b-k=-7$，得$2b - (-1) = -7$，即$2b=-8$，解得$b=-4$。
将$k=-1$，$b=-4$代入原解析式，得$y=-x + 2×(-4) +4 = -x -4$。
【答案】
$y=-x-4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的增减性；绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数的常规题型，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性与k的符号的关系，注意求解出k的多个值时，要结合题目给出的增减性条件筛选符合要求的取值，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
要确定一次函数的表达式，需要求出未知系数k和b的值，解题可按以下步骤思考：①先解绝对值方程$|k-3|=4$，得到k的两个可能取值；②根据一次函数y随x增大而减小的性质，可知$k＜0$，据此筛选出符合条件的k值；③将已知点$(-1,-3)$代入一次函数解析式，得到关于b的方程，求解得到b的值，最终即可确定一次函数的表达式。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+2b+4$的图象经过点$(-1,-3)$，
∴ 将$x=-1$，$y=-3$代入解析式得：$-k+2b+4=-3$，整理得$2b-k=-7$。
又
∵ $|k-3|=4$，
∴ $k-3=4$或$k-3=-4$，解得$k=7$或$k=-1$。
∵ 一次函数$y$随$x$的增大而减小，
∴ $k＜0$，故舍去$k=7$，取$k=-1$。
将$k=-1$代入$2b-k=-7$，得$2b - (-1) = -7$，即$2b=-8$，解得$b=-4$。
将$k=-1$，$b=-4$代入原解析式，得$y=-x + 2×(-4) +4 = -x -4$。
【答案】
$y=-x-4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的增减性；绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数的常规题型，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性与k的符号的关系，注意求解出k的多个值时，要结合题目给出的增减性条件筛选符合要求的取值，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
3. 新情境 数学与生活融合 某城居民用水实行阶梯收费:每户每月用水量如果未超过20 t,按每吨1.9元收费;如果超过20 t,超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x t,应收水费为y元.
(1)分别写出每月用水量未超过20 t和超过20 t时,y与x之间的函数关系式;
(2)若该城某户5月份水费平均每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨.
(1)分别写出每月用水量未超过20 t和超过20 t时,y与x之间的函数关系式;
(2)若该城某户5月份水费平均每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨.
答案
(1)当$0 ≤ x ≤ 20$时,$y=1.9x$;
当$x＞20$时,$y=1.9 × 20+(x-20) × 2.8=2.8x-18$.
(2)$\because$ 5月份水费平均为每吨2.2元,
$\therefore$ 用水量超过了20吨.
即$2.8x-18=2.2x$,解得$x=30$.
故该户5月份用水30吨.
当$x＞20$时,$y=1.9 × 20+(x-20) × 2.8=2.8x-18$.
(2)$\because$ 5月份水费平均为每吨2.2元,
$\therefore$ 用水量超过了20吨.
即$2.8x-18=2.2x$,解得$x=30$.
故该户5月份用水30吨.
解析
【分析】
（1）本题需分两种情况推导函数关系式：①当用水量未超过20t时，应收水费=每吨单价×用水量，直接代入基础单价即可得到对应关系式；②当用水量超过20t时，水费分为两部分计算：20t以内的费用按1.9元/吨计算，超出20t的部分按2.8元/吨计算，将两部分费用相加化简即可得到对应关系式。
（2）首先对比平均水费2.2元/吨和基础收费1.9元/吨，可判断该户5月份用水量超过20t，因此选用超过20t时的水费函数关系式，结合总水费=平均水费×总用水量的等量关系列一元一次方程，求解即可得到用水量。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当每月用水量未超过20t，即$0 ≤ x ≤ 20$时，按每吨1.9元收费，因此：
$y=1.9x$
② 当每月用水量超过20t，即$x＞20$时，20t以内的费用为$1.9×20$元，超出20t的部分为$(x-20)$t，费用为$2.8(x-20)$元，总水费为：
$y=1.9 × 20+(x-20) × 2.8=38+2.8x-56=2.8x-18$
(2) 已知5月份水费平均为每吨2.2元，因为$2.2＞1.9$，所以该户5月份用水量超过20吨，总水费可表示为$2.2x$，结合超过20t的水费公式列方程：
$2.8x-18=2.2x$
移项得：$2.8x-2.2x=18$
合并同类项得：$0.6x=18$
解得：$x=30$
【答案】
(1) 当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y=1.9x$；当$x＞20$时，$y=2.8x-18$
(2) 该户5月份用水30吨
【知识点】
分段函数、一元一次方程应用、阶梯收费问题
【点评】
本题结合生活中常见的阶梯收费场景命题，既考查了分段函数解析式的书写方法，又考查了一元一次方程的实际应用，解题的核心是先根据平均收费标准判断用水量所属的收费区间，再选择对应的数量关系列式求解，是生活类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.75
（1）本题需分两种情况推导函数关系式：①当用水量未超过20t时，应收水费=每吨单价×用水量，直接代入基础单价即可得到对应关系式；②当用水量超过20t时，水费分为两部分计算：20t以内的费用按1.9元/吨计算，超出20t的部分按2.8元/吨计算，将两部分费用相加化简即可得到对应关系式。
（2）首先对比平均水费2.2元/吨和基础收费1.9元/吨，可判断该户5月份用水量超过20t，因此选用超过20t时的水费函数关系式，结合总水费=平均水费×总用水量的等量关系列一元一次方程，求解即可得到用水量。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当每月用水量未超过20t，即$0 ≤ x ≤ 20$时，按每吨1.9元收费，因此：
$y=1.9x$
② 当每月用水量超过20t，即$x＞20$时，20t以内的费用为$1.9×20$元，超出20t的部分为$(x-20)$t，费用为$2.8(x-20)$元，总水费为：
$y=1.9 × 20+(x-20) × 2.8=38+2.8x-56=2.8x-18$
(2) 已知5月份水费平均为每吨2.2元，因为$2.2＞1.9$，所以该户5月份用水量超过20吨，总水费可表示为$2.2x$，结合超过20t的水费公式列方程：
$2.8x-18=2.2x$
移项得：$2.8x-2.2x=18$
合并同类项得：$0.6x=18$
解得：$x=30$
【答案】
(1) 当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y=1.9x$；当$x＞20$时，$y=2.8x-18$
(2) 该户5月份用水30吨
【知识点】
分段函数、一元一次方程应用、阶梯收费问题
【点评】
本题结合生活中常见的阶梯收费场景命题，既考查了分段函数解析式的书写方法，又考查了一元一次方程的实际应用，解题的核心是先根据平均收费标准判断用水量所属的收费区间，再选择对应的数量关系列式求解，是生活类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.75
4. 如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在边OC上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在边BC上的点E处.求直线DE的函数表达式.
答案
由题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE=AO=10$,$AB=8$,
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\therefore CE=10-6=4$.
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$DC^2+CE^2=DE^2$,
又$DE=OD$,
$\therefore (8-OD)^2+4^2=OD^2$,解得$OD=5$.
$\because CE=4$,$\therefore$ 点$E$的坐标为$(4,8)$.
$\because OD=5$,$\therefore$ 点$D$的坐标为$(0,5)$.
设直线$DE$的函数表达式为$y=mx+n(m ≠ 0)$,
$\therefore \begin{cases} 4m+n=8, \\ n=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{3}{4}, \\ n=5. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+5$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE=AO=10$,$AB=8$,
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\therefore CE=10-6=4$.
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$DC^2+CE^2=DE^2$,
又$DE=OD$,
$\therefore (8-OD)^2+4^2=OD^2$,解得$OD=5$.
$\because CE=4$,$\therefore$ 点$E$的坐标为$(4,8)$.
$\because OD=5$,$\therefore$ 点$D$的坐标为$(0,5)$.
设直线$DE$的函数表达式为$y=mx+n(m ≠ 0)$,
$\therefore \begin{cases} 4m+n=8, \\ n=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{3}{4}, \\ n=5. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+5$.
解析
【分析】
解题时先利用折叠的轴对称性质，得到对应边相等：AE=OA、DE=OD；第一步先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CE的长度，确定点E的坐标；第二步在Rt△DCE中，设OD为未知数，利用勾股定理列方程求解得到OD的长度，确定点D的坐标；最后已知D、E两点坐标，用待定系数法即可求出直线DE的函数表达式。
【解析】
由题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE=AO=10$，$AB=8$，
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore CE=10-6=4$，$\therefore$ 点$E$的坐标为$(4,8)$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，$DC^2+CE^2=DE^2$，
又由折叠性质知$DE=OD$，
$\therefore (8-OD)^2+4^2=OD^2$，解得$OD=5$，
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(0,5)$。
设直线$DE$的函数表达式为$y=mx+n(m ≠ 0)$，
将D、E两点坐标代入得$\begin{cases} 4m+n=8, \\ n=5, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\dfrac{3}{4}, \\ n=5. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+5$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{4}x+5$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，将几何线段长度与点的坐标结合，通过勾股定理计算得到关键点坐标，再用待定系数法求解函数表达式，能有效考察数形结合思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的轴对称性质，得到对应边相等：AE=OA、DE=OD；第一步先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CE的长度，确定点E的坐标；第二步在Rt△DCE中，设OD为未知数，利用勾股定理列方程求解得到OD的长度，确定点D的坐标；最后已知D、E两点坐标，用待定系数法即可求出直线DE的函数表达式。
【解析】
由题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE=AO=10$，$AB=8$，
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore CE=10-6=4$，$\therefore$ 点$E$的坐标为$(4,8)$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，$DC^2+CE^2=DE^2$，
又由折叠性质知$DE=OD$，
$\therefore (8-OD)^2+4^2=OD^2$，解得$OD=5$，
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(0,5)$。
设直线$DE$的函数表达式为$y=mx+n(m ≠ 0)$，
将D、E两点坐标代入得$\begin{cases} 4m+n=8, \\ n=5, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\dfrac{3}{4}, \\ n=5. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+5$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{4}x+5$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，将几何线段长度与点的坐标结合，通过勾股定理计算得到关键点坐标，再用待定系数法求解函数表达式，能有效考察数形结合思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
