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1. 如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,若$∠BAC=45°,OB=2$,求图中阴影部分的面积.(结果保留 π)
答案
1. $\because ∠ BAC=45°,\therefore ∠ BOC=90°,$
$\therefore △ OBC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{△ OBC}=\frac{1}{4}π×2^2-\frac{1}{2}×2×2=π-2.$
$\therefore △ OBC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{△ OBC}=\frac{1}{4}π×2^2-\frac{1}{2}×2×2=π-2.$
解析
【分析】
要求阴影部分（弓形BC）的面积，可将其转化为扇形OBC的面积减去△OBC的面积求解。首先根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的圆周角∠BAC的度数求出圆心角∠BOC的度数；再结合已知的半径OB的长度，分别计算扇形OBC和等腰直角△OBC的面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，根据圆周角定理，
∴ $∠ BOC = 2∠ BAC = 2×45° = 90°$，
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，$OB=2$，
∴ $OB=OC=2$，$△ OBC$是等腰直角三角形，
∴ 阴影部分面积 = 扇形OBC的面积 - $△ OBC$的面积，
即 $S_{阴影}=\frac{90π× 2^2}{360} - \frac{1}{2}× OB× OC = \frac{1}{4}π× 4 - \frac{1}{2}×2×2 = π - 2$。
【答案】
$π - 2$
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题型，核心解题思路是将不规则的弓形面积转化为规则的扇形与三角形的面积差，掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分（弓形BC）的面积，可将其转化为扇形OBC的面积减去△OBC的面积求解。首先根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的圆周角∠BAC的度数求出圆心角∠BOC的度数；再结合已知的半径OB的长度，分别计算扇形OBC和等腰直角△OBC的面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，根据圆周角定理，
∴ $∠ BOC = 2∠ BAC = 2×45° = 90°$，
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，$OB=2$，
∴ $OB=OC=2$，$△ OBC$是等腰直角三角形，
∴ 阴影部分面积 = 扇形OBC的面积 - $△ OBC$的面积，
即 $S_{阴影}=\frac{90π× 2^2}{360} - \frac{1}{2}× OB× OC = \frac{1}{4}π× 4 - \frac{1}{2}×2×2 = π - 2$。
【答案】
$π - 2$
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题型，核心解题思路是将不规则的弓形面积转化为规则的扇形与三角形的面积差，掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为$120°$，AB的长为30 cm，贴布部分BD的长为20 cm，求贴布部分的面积.（结果保留$π$）
答案
2. 贴布部分的面积$=S_{扇形ABC}-S_{扇形ADE}=$
$\frac{120π×30^2}{360}-\frac{120π×(30-20)^2}{360}=\frac{800π}{3}(\mathrm{cm}^2).$
$\frac{120π×30^2}{360}-\frac{120π×(30-20)^2}{360}=\frac{800π}{3}(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
观察图形可知，贴布部分为扇环，面积等于大扇形ABC的面积减去小扇形ADE的面积。首先确定两个扇形的相关参数：二者圆心角均为120°，大扇形半径AB=30cm，小扇形半径AD=AB-BD=10cm，接下来套用扇形面积公式分别计算两个扇形面积，再作差即可求出贴布部分面积。
【解析】
解：由题意得，小扇形ADE的半径$AD=AB-BD=30-20=10(\mathrm{cm})$，两个扇形的圆心角均为$120°$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），可得：
贴布部分的面积$=S_{扇形ABC}-S_{扇形ADE}$
$=\frac{120π×30^2}{360}-\frac{120π×10^2}{360}$
$=300π-\frac{100π}{3}$
$=\frac{800π}{3}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{800π}{3}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何面积计算问题，解题关键是将不规则的扇环面积转化为两个规则扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，贴布部分为扇环，面积等于大扇形ABC的面积减去小扇形ADE的面积。首先确定两个扇形的相关参数：二者圆心角均为120°，大扇形半径AB=30cm，小扇形半径AD=AB-BD=10cm，接下来套用扇形面积公式分别计算两个扇形面积，再作差即可求出贴布部分面积。
【解析】
解：由题意得，小扇形ADE的半径$AD=AB-BD=30-20=10(\mathrm{cm})$，两个扇形的圆心角均为$120°$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），可得：
贴布部分的面积$=S_{扇形ABC}-S_{扇形ADE}$
$=\frac{120π×30^2}{360}-\frac{120π×10^2}{360}$
$=300π-\frac{100π}{3}$
$=\frac{800π}{3}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{800π}{3}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何面积计算问题，解题关键是将不规则的扇环面积转化为两个规则扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$AB=2$，分别以 $A,B,C$ 为圆心，以 $2$ 为半径作弧，求图中阴影部分的面积.（结果保留 $π$）
答案
3. $\because$ 等边三角形 $ABC$ 的边长为 2，
$\therefore ∠ BAC=60°,S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3},$
$\therefore S_{扇形ABC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π,$
$\therefore S_{阴影}=3×(\frac{2}{3}π-\sqrt{3})=2π-3\sqrt{3}.$
$\therefore ∠ BAC=60°,S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3},$
$\therefore S_{扇形ABC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π,$
$\therefore S_{阴影}=3×(\frac{2}{3}π-\sqrt{3})=2π-3\sqrt{3}.$
解析
【分析】
求解不规则图形的面积通常用割补法转化为规则图形面积的和差。观察图形可知，阴影部分由3个完全相同的弓形组成：
1. 先明确每个弓形对应的是圆心角为60°、半径为2的扇形减去等边△ABC的面积；
2. 分别计算单个扇形面积、等边△ABC的面积，求出单个弓形的面积后乘3，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴三个内角均为60°，等边三角形的高为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
单个圆心角为60°、半径为2的扇形面积为：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
单个弓形的面积为$S_{扇形}-S_{△ ABC}=\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$，
∴阴影部分总面积为$3×(\frac{2}{3}π-\sqrt{3})=2π-3\sqrt{3}$。
【答案】
$2π-3\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形性质，不规则面积求法
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，解题核心是通过割补法将阴影部分转化为扇形与三角形的面积差，熟练掌握扇形面积公式和等边三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
求解不规则图形的面积通常用割补法转化为规则图形面积的和差。观察图形可知，阴影部分由3个完全相同的弓形组成：
1. 先明确每个弓形对应的是圆心角为60°、半径为2的扇形减去等边△ABC的面积；
2. 分别计算单个扇形面积、等边△ABC的面积，求出单个弓形的面积后乘3，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴三个内角均为60°，等边三角形的高为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
单个圆心角为60°、半径为2的扇形面积为：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
单个弓形的面积为$S_{扇形}-S_{△ ABC}=\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$，
∴阴影部分总面积为$3×(\frac{2}{3}π-\sqrt{3})=2π-3\sqrt{3}$。
【答案】
$2π-3\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形性质，不规则面积求法
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，解题核心是通过割补法将阴影部分转化为扇形与三角形的面积差，熟练掌握扇形面积公式和等边三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图,半圆O的直径AB=2,弦CD//AB,∠CAD=30°,求阴影部分的面积.(结果保留π)
答案
4. 连接 $OC,OD.$
$\because ∠ CAD=30°,\therefore ∠ COD=60°.$
$\because$ 直径 $AB=2,\therefore CO=\frac{1}{2}AB=1.$
$\because AB// CD,$
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ COD},$
$\therefore$ 阴影部分的面积$=$弓形 $CD$ 的面积$+△ COD$ 的面积$=$
扇形 $OCD$ 的面积$=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}.$
$\because ∠ CAD=30°,\therefore ∠ COD=60°.$
$\because$ 直径 $AB=2,\therefore CO=\frac{1}{2}AB=1.$
$\because AB// CD,$
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ COD},$
$\therefore$ 阴影部分的面积$=$弓形 $CD$ 的面积$+△ COD$ 的面积$=$
扇形 $OCD$ 的面积$=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}.$
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需通过割补法转化为规则图形求解：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OC、OD可求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数；再由CD//AB可知，△ACD和△COD同底CD且高相等，二者面积相等，因此可将阴影部分面积转化为扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接$OC,OD$。
$\because ∠CAD$是弧$CD$所对的圆周角，$∠COD$是弧$CD$所对的圆心角，$∠CAD=30°$
$\therefore ∠COD=2∠CAD=60°$
$\because$ 直径 $AB=2$，$\therefore$ 半圆半径$CO=\frac{1}{2}AB=1$
$\because AB// CD$，$\therefore$ 点$A$和点$O$到直线$CD$的距离相等，即$△ ACD$和$△ COD$同底$CD$，高相等
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ COD}$
$\therefore$ 阴影部分的面积$=$弓形 $CD$ 的面积$+S_{△ACD}=$弓形 $CD$ 的面积$+S_{△COD}=$扇形 $OCD$ 的面积
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）得：
$S_{扇形OCD}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\dfrac{π}{6}$
【知识点】
圆周角定理，同底等高三角形面积相等，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是割补转化，通过平行线的性质和圆周角定理，将不规则阴影转化为规则的扇形面积求解，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需通过割补法转化为规则图形求解：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OC、OD可求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数；再由CD//AB可知，△ACD和△COD同底CD且高相等，二者面积相等，因此可将阴影部分面积转化为扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接$OC,OD$。
$\because ∠CAD$是弧$CD$所对的圆周角，$∠COD$是弧$CD$所对的圆心角，$∠CAD=30°$
$\therefore ∠COD=2∠CAD=60°$
$\because$ 直径 $AB=2$，$\therefore$ 半圆半径$CO=\frac{1}{2}AB=1$
$\because AB// CD$，$\therefore$ 点$A$和点$O$到直线$CD$的距离相等，即$△ ACD$和$△ COD$同底$CD$，高相等
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ COD}$
$\therefore$ 阴影部分的面积$=$弓形 $CD$ 的面积$+S_{△ACD}=$弓形 $CD$ 的面积$+S_{△COD}=$扇形 $OCD$ 的面积
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）得：
$S_{扇形OCD}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\dfrac{π}{6}$
【知识点】
圆周角定理，同底等高三角形面积相等，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是割补转化，通过平行线的性质和圆周角定理，将不规则阴影转化为规则的扇形面积求解，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
