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1. 已知圆锥的底面半径$ r $为$ 6 \ \mathrm{cm} $，高$ h $为$ 8 \ \mathrm{cm} $，求圆锥的侧面积.（结果保留$ π $）
答案
由勾股定理,得圆锥的母线长为$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(\mathrm{cm}).$
因为圆锥的底面圆的周长为$2π r=2π×6=12π(\mathrm{cm})$,所以圆锥的侧面展开图扇形的弧长为$12π\ \mathrm{cm}$,所以圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}×12π×10=60π(\mathrm{cm}^2).$
因为圆锥的底面圆的周长为$2π r=2π×6=12π(\mathrm{cm})$,所以圆锥的侧面展开图扇形的弧长为$12π\ \mathrm{cm}$,所以圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}×12π×10=60π(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
要求圆锥的侧面积，首先要明确圆锥侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，而扇形面积可通过公式$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$计算，因此需要先求出两个关键量：圆锥的母线长和底面圆周长。首先，圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，母线为斜边，可通过勾股定理求出母线长；再根据圆的周长公式求出底面周长，最后代入扇形面积公式即可得到圆锥侧面积。
【解析】
第一步：求圆锥的母线长
由勾股定理可得，圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
第二步：求圆锥侧面展开图扇形的弧长
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，因此弧长$C=2π r=2π×6=12π\ \mathrm{cm}$。
第三步：计算圆锥的侧面积
根据扇形面积公式，圆锥侧面积$S=\frac{1}{2}×C×l=\frac{1}{2}×12π×10=60π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$60π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；圆锥的性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆锥侧面积的计算，解题关键是掌握圆锥与侧面展开扇形各部分的对应关系，牢记相关公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求圆锥的侧面积，首先要明确圆锥侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，而扇形面积可通过公式$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$计算，因此需要先求出两个关键量：圆锥的母线长和底面圆周长。首先，圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，母线为斜边，可通过勾股定理求出母线长；再根据圆的周长公式求出底面周长，最后代入扇形面积公式即可得到圆锥侧面积。
【解析】
第一步：求圆锥的母线长
由勾股定理可得，圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
第二步：求圆锥侧面展开图扇形的弧长
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，因此弧长$C=2π r=2π×6=12π\ \mathrm{cm}$。
第三步：计算圆锥的侧面积
根据扇形面积公式，圆锥侧面积$S=\frac{1}{2}×C×l=\frac{1}{2}×12π×10=60π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$60π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；圆锥的性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆锥侧面积的计算，解题关键是掌握圆锥与侧面展开扇形各部分的对应关系，牢记相关公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 圆O的半径为3,弧AB所对的圆心角为$60°$.求:
(1)弦AB所对的劣弧长;
(2)弧AB所在的扇形面积.(结果保留$π$)
(1)弦AB所对的劣弧长;
(2)弧AB所在的扇形面积.(结果保留$π$)
答案
(1)弦AB所对的劣弧长$=\frac{60π×3}{180}=π.$
(2)弧AB所在的扇形面积$=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}.$
(2)弧AB所在的扇形面积$=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}.$
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：圆O的半径$r=3$，弧AB对应的圆心角$n=60°$。(1)求劣弧长，可直接调用弧长计算公式，将已知的圆心角度数和半径代入公式就能求解；(2)求扇形面积，调用扇形面积计算公式，代入对应数值计算即可。解题时注意区分两个公式的分母，不要混淆。
【解析】
(1) 根据劣弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60°$，$r=3$得：
弦AB所对的劣弧长$=\frac{60π×3}{180}=π$
(2) 根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60°$，$r=3$得：
弧AB所在的扇形面积$=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$
【答案】
(1) $π$
(2) $\frac{3π}{2}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查弧长和扇形面积公式的直接应用，解题核心是熟记对应公式，准确代入数值计算，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：圆O的半径$r=3$，弧AB对应的圆心角$n=60°$。(1)求劣弧长，可直接调用弧长计算公式，将已知的圆心角度数和半径代入公式就能求解；(2)求扇形面积，调用扇形面积计算公式，代入对应数值计算即可。解题时注意区分两个公式的分母，不要混淆。
【解析】
(1) 根据劣弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60°$，$r=3$得：
弦AB所对的劣弧长$=\frac{60π×3}{180}=π$
(2) 根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60°$，$r=3$得：
弧AB所在的扇形面积$=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$
【答案】
(1) $π$
(2) $\frac{3π}{2}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查弧长和扇形面积公式的直接应用，解题核心是熟记对应公式，准确代入数值计算，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),求所得的扇形ABD的面积.
答案
扇形ABD的弧长等于$CD+BC=10$,扇形ABD的半径等于正方形的边长为5,根据扇形面积公式$S=\frac{lR}{2}$($l$表示扇形弧长,$R$表示扇形半径),得$S_{\mathrm{扇形}ABD}=\frac{1}{2}×10×5=25.$
解析
【分析】
解题时要抓住铁丝框变形过程中总长度不变的核心条件。首先明确正方形变形为扇形后，AB、AD仍保持原正方形边长，作为扇形的两条半径；扇形的弧BD的长度就等于正方形剩下的BC、CD两条边的长度和。得到弧长和半径后，代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：已知正方形边长为5，
可得BC=CD=5，AB=AD=5。
铁丝变形后总长度不变，因此扇形ABD的弧长 $l_{\overset{\frown}{BD}}=BC+CD=5+5=10$，
扇形ABD的半径 $R=AB=5$，
根据扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}lR$（$l$为扇形弧长，$R$为扇形半径），
代入得 $S_{\mathrm{扇形}ABD}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
【答案】
25
【知识点】
正方形的性质；扇形弧长；扇形面积计算
【点评】
本题是图形变形类基础题，解题关键是抓住变形前后铁丝总长度不变的特点，准确求出扇形的弧长和半径，再代入公式计算，易错点是容易误将正方形总周长当作扇形弧长计算。
【难度系数】
0.7
解题时要抓住铁丝框变形过程中总长度不变的核心条件。首先明确正方形变形为扇形后，AB、AD仍保持原正方形边长，作为扇形的两条半径；扇形的弧BD的长度就等于正方形剩下的BC、CD两条边的长度和。得到弧长和半径后，代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：已知正方形边长为5，
可得BC=CD=5，AB=AD=5。
铁丝变形后总长度不变，因此扇形ABD的弧长 $l_{\overset{\frown}{BD}}=BC+CD=5+5=10$，
扇形ABD的半径 $R=AB=5$，
根据扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}lR$（$l$为扇形弧长，$R$为扇形半径），
代入得 $S_{\mathrm{扇形}ABD}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
【答案】
25
【知识点】
正方形的性质；扇形弧长；扇形面积计算
【点评】
本题是图形变形类基础题，解题关键是抓住变形前后铁丝总长度不变的特点，准确求出扇形的弧长和半径，再代入公式计算，易错点是容易误将正方形总周长当作扇形弧长计算。
【难度系数】
0.7
4. 如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中所示数据计算这个几何体的表面积.
答案
根据三视图知,该圆锥的底面半径为1 cm,母线长为$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1^2}=3(\mathrm{cm}),\therefore$这个几何体的表面积$=π r l +π r^2=π×1×3+π×1^2=4π(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
首先观察三视图，主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可判断该几何体为圆锥。要计算圆锥的表面积，需明确圆锥表面积由侧面积和底面积两部分组成，其中侧面积公式为$π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），底面积为$π r^2$。首先从三视图提取数据：底面直径为2cm，可得底面半径$r=1\mathrm{cm}$，圆锥的高$h=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$；再根据圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，用勾股定理求出母线长$l$，最后代入表面积公式计算即可。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥，
根据图中数据得：圆锥底面直径为2cm，因此底面半径$r=2÷2=1\mathrm{cm}$，圆锥的高$h=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理可得母线长：
$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{8+1}=3\mathrm{cm}$
圆锥表面积为侧面积与底面积之和：
$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2$
将$r=1\mathrm{cm}$，$l=3\mathrm{cm}$代入得：
$S_{\mathrm{表}}=π×1×3+π×1^2=3π+π=4π(\mathrm{cm^2})$
【答案】
$4π\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
三视图识别几何体；圆锥表面积计算；勾股定理应用
【点评】
本题结合三视图考查立体图形的表面积计算，解题核心是先通过三视图准确判断几何体类型，再提取对应参数结合几何体性质计算，需熟练掌握圆锥各参数的关系及表面积计算公式。
【难度系数】
0.7
首先观察三视图，主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可判断该几何体为圆锥。要计算圆锥的表面积，需明确圆锥表面积由侧面积和底面积两部分组成，其中侧面积公式为$π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），底面积为$π r^2$。首先从三视图提取数据：底面直径为2cm，可得底面半径$r=1\mathrm{cm}$，圆锥的高$h=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$；再根据圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，用勾股定理求出母线长$l$，最后代入表面积公式计算即可。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥，
根据图中数据得：圆锥底面直径为2cm，因此底面半径$r=2÷2=1\mathrm{cm}$，圆锥的高$h=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理可得母线长：
$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{8+1}=3\mathrm{cm}$
圆锥表面积为侧面积与底面积之和：
$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2$
将$r=1\mathrm{cm}$，$l=3\mathrm{cm}$代入得：
$S_{\mathrm{表}}=π×1×3+π×1^2=3π+π=4π(\mathrm{cm^2})$
【答案】
$4π\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
三视图识别几何体；圆锥表面积计算；勾股定理应用
【点评】
本题结合三视图考查立体图形的表面积计算，解题核心是先通过三视图准确判断几何体类型，再提取对应参数结合几何体性质计算，需熟练掌握圆锥各参数的关系及表面积计算公式。
【难度系数】
0.7
