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1. 将一个半径为10 cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比为$1:2:3$.求：
(1)各个扇形的圆心角的度数；
(2)其中最小的一个扇形的面积.(结果保留$π$)
(1)各个扇形的圆心角的度数；
(2)其中最小的一个扇形的面积.(结果保留$π$)
答案
1. (1)这三个扇形的圆心角的度数分别是 60°,120°,180°.
(2)圆心角为 60°的扇形的面积最小,其面积为 $\frac{60π×10^2}{360}=\frac{50}{3}π(cm^2).$
(2)圆心角为 60°的扇形的面积最小,其面积为 $\frac{60π×10^2}{360}=\frac{50}{3}π(cm^2).$
解析
【分析】
解题思路分两步：①求各扇形圆心角：已知整圆圆心角为360°，三个扇形圆心角的比为1:2:3，先计算总份数，再用360°分别乘各部分占总份数的占比，即可求出每个扇形的圆心角度数；②求最小扇形面积：圆心角越小的扇形面积越小，先确定最小的圆心角度数，再代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为圆的半径）计算即可。
【解析】
解：(1) 整圆的圆心角为360°，三个扇形圆心角的总份数为$1+2+3=6$
三个扇形的圆心角度数分别为：
$360°×\frac{1}{6}=60°$
$360°×\frac{2}{6}=120°$
$360°×\frac{3}{6}=180°$
(2) 由(1)可知最小的圆心角为60°，已知圆半径$r=10cm$，代入扇形面积公式得：
$S=\frac{60π×10^2}{360}=\frac{50}{3}π(cm^2)$
【答案】
(1)这三个扇形的圆心角的度数分别是 60°,120°,180°.
(2)圆心角为 60°的扇形的面积最小,其面积为 $\frac{50}{3}π\ \mathrm{cm^2}$.
【知识点】
周角的性质、按比例分配、扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关的基础计算题，考查核心是基础概念和公式的应用，计算难度低，熟练掌握圆心角的性质和扇形面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：①求各扇形圆心角：已知整圆圆心角为360°，三个扇形圆心角的比为1:2:3，先计算总份数，再用360°分别乘各部分占总份数的占比，即可求出每个扇形的圆心角度数；②求最小扇形面积：圆心角越小的扇形面积越小，先确定最小的圆心角度数，再代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为圆的半径）计算即可。
【解析】
解：(1) 整圆的圆心角为360°，三个扇形圆心角的总份数为$1+2+3=6$
三个扇形的圆心角度数分别为：
$360°×\frac{1}{6}=60°$
$360°×\frac{2}{6}=120°$
$360°×\frac{3}{6}=180°$
(2) 由(1)可知最小的圆心角为60°，已知圆半径$r=10cm$，代入扇形面积公式得：
$S=\frac{60π×10^2}{360}=\frac{50}{3}π(cm^2)$
【答案】
(1)这三个扇形的圆心角的度数分别是 60°,120°,180°.
(2)圆心角为 60°的扇形的面积最小,其面积为 $\frac{50}{3}π\ \mathrm{cm^2}$.
【知识点】
周角的性质、按比例分配、扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关的基础计算题，考查核心是基础概念和公式的应用，计算难度低，熟练掌握圆心角的性质和扇形面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知圆锥的高为$\sqrt{3}$,高所在直线与母线的夹角为$30°$,求圆锥的侧面积.(结果保留$π$)
答案
2. $\because ∠BAO=30°,AO⊥BC,$
$\therefore BO=\frac{1}{2}AB.$
在$\mathrm{Rt}△ABO$中,$AB^2=AO^2+BO^2$,$AO=\sqrt{3}$,
$\therefore BO=\frac{AO^2}{3}=1$,即圆锥的底面圆的半径为 1,
$\therefore AB=2$,即圆锥的母线长为 2,
$\therefore$ 圆锥的侧面积$=\frac{1}{2}×2π×1×2=2π.$
$\therefore BO=\frac{1}{2}AB.$
在$\mathrm{Rt}△ABO$中,$AB^2=AO^2+BO^2$,$AO=\sqrt{3}$,
$\therefore BO=\frac{AO^2}{3}=1$,即圆锥的底面圆的半径为 1,
$\therefore AB=2$,即圆锥的母线长为 2,
$\therefore$ 圆锥的侧面积$=\frac{1}{2}×2π×1×2=2π.$
解析
【分析】
解题时首先明确圆锥的高与底面垂直，因此△ABO是直角三角形。结合已知的30°夹角，先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得到底面半径BO和母线AB的数量关系，再结合勾股定理分别求出底面半径和母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
∵ $∠BAO=30°,AO⊥BC,$
∴ $BO=\frac{1}{2}AB.$
在$\mathrm{Rt}△ABO$中，由勾股定理得$AB^2=AO^2+BO^2$，已知$AO=\sqrt{3}$，
将$BO=\frac{1}{2}AB$代入上式，解得$AB=2$，因此$BO=1$，即圆锥的底面圆半径为1，母线长为2。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×\mathrm{底面周长}×\mathrm{母线长}$，代入数据得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π×1×2=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过直角三角形的相关性质求出圆锥侧面积公式需要的底面半径、母线长两个参数，熟记公式和直角三角形相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆锥的高与底面垂直，因此△ABO是直角三角形。结合已知的30°夹角，先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得到底面半径BO和母线AB的数量关系，再结合勾股定理分别求出底面半径和母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
∵ $∠BAO=30°,AO⊥BC,$
∴ $BO=\frac{1}{2}AB.$
在$\mathrm{Rt}△ABO$中，由勾股定理得$AB^2=AO^2+BO^2$，已知$AO=\sqrt{3}$，
将$BO=\frac{1}{2}AB$代入上式，解得$AB=2$，因此$BO=1$，即圆锥的底面圆半径为1，母线长为2。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×\mathrm{底面周长}×\mathrm{母线长}$，代入数据得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π×1×2=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过直角三角形的相关性质求出圆锥侧面积公式需要的底面半径、母线长两个参数，熟记公式和直角三角形相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心,AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细).求所得扇形AFB(阴影部分)的面积.
答案
3. 扇形 AFB(阴影部分)的面积为 18.
解析
【分析】
解题时首先抓住铁丝变形前后总长度不变的核心特点。第一步先利用正六边形各边相等的性质，计算铁丝的总长度；第二步明确变形后扇形的半径等于正六边形的边长，弧长等于总长度减去作为扇形半径的两条边（AB、AF）的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴正六边形的周长为$6×3=18$，即铁丝总长度为18。
变形后，扇形AFB的半径$r=AB=3$，
弧$\overset{\frown}{BF}$的长度$l=18 - AB - AF=18-3-3=12$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$，代入数据得：
$S_{\mathrm{扇形}AFB}=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
18
【知识点】
正六边形的性质，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题结合图形变形的场景考查几何公式的应用，解题关键是理解变形前后铁丝总长不变，准确找到扇形对应的半径和弧长，难度不大，侧重对基础公式和分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住铁丝变形前后总长度不变的核心特点。第一步先利用正六边形各边相等的性质，计算铁丝的总长度；第二步明确变形后扇形的半径等于正六边形的边长，弧长等于总长度减去作为扇形半径的两条边（AB、AF）的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴正六边形的周长为$6×3=18$，即铁丝总长度为18。
变形后，扇形AFB的半径$r=AB=3$，
弧$\overset{\frown}{BF}$的长度$l=18 - AB - AF=18-3-3=12$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$，代入数据得：
$S_{\mathrm{扇形}AFB}=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
18
【知识点】
正六边形的性质，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题结合图形变形的场景考查几何公式的应用，解题关键是理解变形前后铁丝总长不变，准确找到扇形对应的半径和弧长，难度不大，侧重对基础公式和分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
[分类讨论]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周，求所得的几何体的表面积.
答案
【全解】分三种情况：
①当以边 AC 所在的直线为轴旋转一周时,得到的几何体是一个圆锥(如图(1)),它的母线长为 AB,底面圆的半径为 BC=6.
$\because AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,$\therefore$ 此时圆锥的表面积为 $π×6×10+π×6^2=96π.$
②当以边 BC 所在直线为轴旋转一周时,得到的几何体也是一个圆锥(如图(2)),它的母线长 AB=10,底面圆的半径为 AC=8,$\therefore$ 此时圆锥的表面积为 $π×8×10+π×8^2=144π.$
③当以边 AB 所在直线为轴旋转一周时,得到的是共底面圆的两个圆锥(如图(3)).
过点 C 作$CD⊥AB$,垂足为 D.
$\because ∠ACB=90°$,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$,
$\therefore 6×8=10CD$,解得 $CD=\frac{24}{5}$,
$\therefore$ 以 AC 为母线的圆锥的侧面积为$π×\frac{24}{5}×8=\frac{192}{5}π$,
以 BC 为母线的圆锥的侧面积为 $π×\frac{24}{5}×6=\frac{144}{5}π$,
$\therefore$ 所求几何体的表面积是$\frac{192}{5}π+\frac{144}{5}π=\frac{336}{5}π.$
【方法精解】以不同的边所在的直线为轴旋转一周得到不同的几何体,根据不同的情况,画出示意图,再运用公式进行计算.要注意考虑所有的情形,同时要分清侧面积和表面积,不要因为分类不全或仅误求侧面积而出错.
解析
【分析】
本题需根据旋转轴的不同分类讨论求解，解题思路如下：首先用勾股定理计算出直角三角形的斜边长；再分三种情况分析旋转后得到的几何体形状：①以直角边AC为轴旋转、②以直角边BC为轴旋转，这两种情况均得到圆锥，圆锥表面积=侧面积+底面积，找到对应底面半径和母线长代入公式计算即可；③以斜边AB为轴旋转，得到两个共底面的圆锥，表面积为两个圆锥侧面积之和，需先通过三角形面积法求出斜边上的高（即公共底面的半径），再分别计算两个侧面积相加即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，分三种情况讨论：
①当以AC所在直线为轴旋转一周时，得到圆锥（如图(1)）：
底面半径$r=BC=6$，母线长$l=AB=10$，
表面积$S=πrl+πr^2=π×6×10+π×6^2=96π$；
②当以BC所在直线为轴旋转一周时，得到圆锥（如图(2)）：
底面半径$r=AC=8$，母线长$l=AB=10$，
表面积$S=πrl+πr^2=π×8×10+π×8^2=144π$；
③当以AB所在直线为轴旋转一周时，得到共底面的两个圆锥（如图(3)）：
过点C作$CD⊥AB$，垂足为D，由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入得$6×8=10CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$，即两个圆锥的底面半径均为$\frac{24}{5}$，母线长分别为$AC=8$、$BC=6$，
表面积为两个圆锥侧面积之和：$S=π×\frac{24}{5}×8 + π×\frac{24}{5}×6=\frac{336}{5}π$。
【答案】
所得几何体的表面积为$\boldsymbol{96π}$或$\boldsymbol{144π}$或$\boldsymbol{\frac{336}{5}π}$。
【知识点】
勾股定理，圆锥表面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题易因遗漏以斜边为轴旋转的情况出现漏解，解题时需先梳理所有可能的旋转情况，准确判断旋转后几何体的形状，找准对应参数代入公式计算；尤其注意绕斜边旋转时，重合的底面不算在表面积内，仅计算两个圆锥的侧面积之和即可。
【难度系数】
0.6
本题需根据旋转轴的不同分类讨论求解，解题思路如下：首先用勾股定理计算出直角三角形的斜边长；再分三种情况分析旋转后得到的几何体形状：①以直角边AC为轴旋转、②以直角边BC为轴旋转，这两种情况均得到圆锥，圆锥表面积=侧面积+底面积，找到对应底面半径和母线长代入公式计算即可；③以斜边AB为轴旋转，得到两个共底面的圆锥，表面积为两个圆锥侧面积之和，需先通过三角形面积法求出斜边上的高（即公共底面的半径），再分别计算两个侧面积相加即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，分三种情况讨论：
①当以AC所在直线为轴旋转一周时，得到圆锥（如图(1)）：
底面半径$r=BC=6$，母线长$l=AB=10$，
表面积$S=πrl+πr^2=π×6×10+π×6^2=96π$；
②当以BC所在直线为轴旋转一周时，得到圆锥（如图(2)）：
底面半径$r=AC=8$，母线长$l=AB=10$，
表面积$S=πrl+πr^2=π×8×10+π×8^2=144π$；
③当以AB所在直线为轴旋转一周时，得到共底面的两个圆锥（如图(3)）：
过点C作$CD⊥AB$，垂足为D，由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入得$6×8=10CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$，即两个圆锥的底面半径均为$\frac{24}{5}$，母线长分别为$AC=8$、$BC=6$，
表面积为两个圆锥侧面积之和：$S=π×\frac{24}{5}×8 + π×\frac{24}{5}×6=\frac{336}{5}π$。
【答案】
所得几何体的表面积为$\boldsymbol{96π}$或$\boldsymbol{144π}$或$\boldsymbol{\frac{336}{5}π}$。
【知识点】
勾股定理，圆锥表面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题易因遗漏以斜边为轴旋转的情况出现漏解，解题时需先梳理所有可能的旋转情况，准确判断旋转后几何体的形状，找准对应参数代入公式计算；尤其注意绕斜边旋转时，重合的底面不算在表面积内，仅计算两个圆锥的侧面积之和即可。
【难度系数】
0.6
