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1. 如图,在$△ ACB$中,$∠ C=90°,∠ B=20°$,以$C$为圆心,$AC$长为半径的圆交$AB$于点$D$,若$AC=6$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.(结果保留$π$)
答案
$\frac{4π}{3}$.
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{AD}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径）。已知圆的半径$r=AC=6$，所以只需先求出弧$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ ACD$的度数即可。首先利用直角三角形两锐角互余求出$∠ A$的度数，再结合同圆半径相等得到$△ ACD$是等腰三角形，利用等腰三角形性质和三角形内角和即可求出$∠ ACD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$CD$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=70°$，
$\because CA$、$CD$都是$\odot C$的半径，
$\therefore CA=CD$，
$\therefore ∠ CDA=∠ A=70°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ A-∠ CDA=180°-70°-70°=40°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AD}}=\frac{40π×6}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
弧长计算，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题的核心是准确求出弧所对圆心角的度数，求解过程需要结合三角形的相关性质，难度不大，是圆相关计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{AD}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径）。已知圆的半径$r=AC=6$，所以只需先求出弧$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ ACD$的度数即可。首先利用直角三角形两锐角互余求出$∠ A$的度数，再结合同圆半径相等得到$△ ACD$是等腰三角形，利用等腰三角形性质和三角形内角和即可求出$∠ ACD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$CD$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=70°$，
$\because CA$、$CD$都是$\odot C$的半径，
$\therefore CA=CD$，
$\therefore ∠ CDA=∠ A=70°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ A-∠ CDA=180°-70°-70°=40°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AD}}=\frac{40π×6}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
弧长计算，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题的核心是准确求出弧所对圆心角的度数，求解过程需要结合三角形的相关性质，难度不大，是圆相关计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
2. (南通中考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径,AC平分$∠ BAD$,$CD=2\sqrt{2}$,点E在BC的延长线上,连接DE.
(1)求直径BD的长;
(2)若$BE=5\sqrt{2}$,计算图中阴影部分的面积.
(1)求直径BD的长;
(2)若$BE=5\sqrt{2}$,计算图中阴影部分的面积.
答案
(1)$\because BD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BCD=∠ DCE=90°$.
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，
$\therefore BC=DC=2\sqrt{2}$，
$\therefore BD=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$.
(2)$\because BE=5\sqrt{2},\therefore CE=3\sqrt{2}$.
$\because BC=DC$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$.
$\therefore ∠ BCD=∠ DCE=90°$.
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，
$\therefore BC=DC=2\sqrt{2}$，
$\therefore BD=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$.
(2)$\because BE=5\sqrt{2},\therefore CE=3\sqrt{2}$.
$\because BC=DC$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$.
解析
【分析】
（1）求BD的长度时，先结合BD是$\odot O$的直径的条件，根据直径所对圆周角为直角，可得$∠ BCD=90°$；再由AC平分$∠ BAD$得到相等的圆周角，根据同圆中相等圆周角对应弦相等，推出$BC=CD$，可知$△ BCD$是等腰直角三角形，最后用勾股定理即可求出BD的长。
（2）计算阴影面积时，观察到$BC=CD$，因此弦BC对应的弓形面积和弦CD对应的弓形面积相等，可通过割补法将上方的弓形阴影补到下方CD对应的弓形位置，此时阴影总面积就等于$△ CDE$的面积；先求出CE的长度，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because BD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BCD=90°$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，
根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得$BC=DC=2\sqrt{2}$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16}=4$。
(2) 已知$BE=5\sqrt{2}$，$BC=2\sqrt{2}$，
$\therefore CE=BE-BC=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
$\because BC=CD$，$\therefore$弦BC对应的弓形面积与弦CD对应的弓形面积相等，
通过割补可得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CDE}$，
$\because ∠ DCE=90°$，
$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD × CE=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) $BD=4$；(2) 阴影部分的面积为$6$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，重点考查圆的基本性质和不规则图形面积的计算，解题核心是利用圆周角性质得到等弦，再通过割补法将不规则阴影转化为规则直角三角形面积，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）求BD的长度时，先结合BD是$\odot O$的直径的条件，根据直径所对圆周角为直角，可得$∠ BCD=90°$；再由AC平分$∠ BAD$得到相等的圆周角，根据同圆中相等圆周角对应弦相等，推出$BC=CD$，可知$△ BCD$是等腰直角三角形，最后用勾股定理即可求出BD的长。
（2）计算阴影面积时，观察到$BC=CD$，因此弦BC对应的弓形面积和弦CD对应的弓形面积相等，可通过割补法将上方的弓形阴影补到下方CD对应的弓形位置，此时阴影总面积就等于$△ CDE$的面积；先求出CE的长度，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because BD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BCD=90°$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，
根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得$BC=DC=2\sqrt{2}$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16}=4$。
(2) 已知$BE=5\sqrt{2}$，$BC=2\sqrt{2}$，
$\therefore CE=BE-BC=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
$\because BC=CD$，$\therefore$弦BC对应的弓形面积与弦CD对应的弓形面积相等，
通过割补可得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CDE}$，
$\because ∠ DCE=90°$，
$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD × CE=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) $BD=4$；(2) 阴影部分的面积为$6$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，重点考查圆的基本性质和不规则图形面积的计算，解题核心是利用圆周角性质得到等弦，再通过割补法将不规则阴影转化为规则直角三角形面积，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
3. 如图,有一个直径为1 m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为$90°$的扇形$ABC$.
(1)求被剪掉的阴影部分的面积.
(2)用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果保留根号)
(1)求被剪掉的阴影部分的面积.
(2)用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果保留根号)
答案
(1)连接$BC$.$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore BC$为$\odot O$的直径,即$BC=1\ \mathrm{m}$.
又$AB=AC$，
$\therefore AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{扇形}ABC}=π×(\frac{1}{2})^2-\frac{90π×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{360}$
$=\frac{π}{8}(\mathrm{m}^2)$.
(2)设圆锥的底面圆的半径为$r\ \mathrm{m}$.
由题意,得$\frac{90×π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=2π r$，
$\therefore r=\frac{\sqrt{2}}{8}$.
故圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}$.
$\therefore BC$为$\odot O$的直径,即$BC=1\ \mathrm{m}$.
又$AB=AC$，
$\therefore AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{扇形}ABC}=π×(\frac{1}{2})^2-\frac{90π×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{360}$
$=\frac{π}{8}(\mathrm{m}^2)$.
(2)设圆锥的底面圆的半径为$r\ \mathrm{m}$.
由题意,得$\frac{90×π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=2π r$，
$\therefore r=\frac{\sqrt{2}}{8}$.
故圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
（1）求阴影部分面积可利用“阴影面积=整圆面积-扇形ABC面积”的思路求解。首先已知圆的直径可直接计算整圆面积；接下来求扇形面积：已知扇形圆心角为90°，只需求出扇形半径AB的长度即可，根据圆周角定理，90°的圆周角对应的弦是直径，可得BC为圆的直径即BC=1m，再结合AB=AC，△ABC为等腰直角三角形，用勾股定理即可求出AB的长度，代入扇形面积公式计算后作差即可得到阴影面积。
（2）扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此等量关系列方程即可求解底面半径：先根据弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立方程，解方程即可得到底面半径。
【解析】
(1) 连接$BC$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore BC$为$\odot O$的直径，即$BC=1\ \mathrm{m}$。
又$AB=AC$，在$Rt△ ABC$中由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{扇形}ABC}=π×(\frac{1}{2})^2-\frac{90π×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{360}$
$=\frac{π}{4}-\frac{π}{8}=\frac{π}{8}(\mathrm{m}^2)$。
(2) 设圆锥的底面圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
由题意得：$\frac{90×π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=2π r$，
化简求解得：$\frac{\sqrt{2}π}{4}=2π r$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}$。
故圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 阴影部分面积为$\boxed{\frac{π}{8}\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 圆锥底面圆的半径为$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
圆周角定理，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题属于圆与圆锥的综合基础题，解题核心是抓住两个关键对应关系：一是90°圆周角与直径的对应，二是扇形弧长与圆锥底面周长的对应，能有效考查对几何图形性质和相关公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求阴影部分面积可利用“阴影面积=整圆面积-扇形ABC面积”的思路求解。首先已知圆的直径可直接计算整圆面积；接下来求扇形面积：已知扇形圆心角为90°，只需求出扇形半径AB的长度即可，根据圆周角定理，90°的圆周角对应的弦是直径，可得BC为圆的直径即BC=1m，再结合AB=AC，△ABC为等腰直角三角形，用勾股定理即可求出AB的长度，代入扇形面积公式计算后作差即可得到阴影面积。
（2）扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此等量关系列方程即可求解底面半径：先根据弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立方程，解方程即可得到底面半径。
【解析】
(1) 连接$BC$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore BC$为$\odot O$的直径，即$BC=1\ \mathrm{m}$。
又$AB=AC$，在$Rt△ ABC$中由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{扇形}ABC}=π×(\frac{1}{2})^2-\frac{90π×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{360}$
$=\frac{π}{4}-\frac{π}{8}=\frac{π}{8}(\mathrm{m}^2)$。
(2) 设圆锥的底面圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
由题意得：$\frac{90×π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=2π r$，
化简求解得：$\frac{\sqrt{2}π}{4}=2π r$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}$。
故圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 阴影部分面积为$\boxed{\frac{π}{8}\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 圆锥底面圆的半径为$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
圆周角定理，扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题属于圆与圆锥的综合基础题，解题核心是抓住两个关键对应关系：一是90°圆周角与直径的对应，二是扇形弧长与圆锥底面周长的对应，能有效考查对几何图形性质和相关公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
