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1. 在半径为 4 的圆中,求 $150°$ 的圆心角所对的弧长.(结果保留 $π$)
答案
1. 根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$,
得到 $l=\frac{150π× 4}{180}=\frac{10π}{3}$.
得到 $l=\frac{150π× 4}{180}=\frac{10π}{3}$.
解析
【分析】
要计算指定圆心角所对的弧长，首先回忆弧长的计算公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $，其中$ n $为圆心角度数，$ r $为所在圆的半径。本题中已明确给出圆心角$ n=150° $，圆的半径$ r=4 $，只需将两个已知量代入公式，正确约分后保留$ π $即可得到结果。
【解析】
解：根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，将$ n=150 $，$ r=4 $代入公式得：
$ l=\frac{150π × 4}{180}=\frac{600π}{180}=\frac{10π}{3} $
【答案】
$ \frac{10π}{3} $
【知识点】
弧长公式；约分运算
【点评】
本题是弧长计算的基础题，主要考查对弧长公式的记忆和基础计算能力，只需准确代入数值、正确约分即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.85
要计算指定圆心角所对的弧长，首先回忆弧长的计算公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $，其中$ n $为圆心角度数，$ r $为所在圆的半径。本题中已明确给出圆心角$ n=150° $，圆的半径$ r=4 $，只需将两个已知量代入公式，正确约分后保留$ π $即可得到结果。
【解析】
解：根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，将$ n=150 $，$ r=4 $代入公式得：
$ l=\frac{150π × 4}{180}=\frac{600π}{180}=\frac{10π}{3} $
【答案】
$ \frac{10π}{3} $
【知识点】
弧长公式；约分运算
【点评】
本题是弧长计算的基础题，主要考查对弧长公式的记忆和基础计算能力，只需准确代入数值、正确约分即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.85
2. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,若∠OCA=60°,AB=4,求 $\overset{\frown}{BC}$ 的长.(结果保留 π)
答案
2. $\because∠ OCA=60°,OA=OC$,
$\therefore△ ACO$ 是等边三角形,
$\therefore∠ COA=60°,\therefore∠ BOC=120°$.
$\because AB=4,\therefore BO=2$,
$\therefore\overset{\frown}{BC}$ 的长 $l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π× 2}{180}=\frac{4}{3}π$.
$\therefore△ ACO$ 是等边三角形,
$\therefore∠ COA=60°,\therefore∠ BOC=120°$.
$\because AB=4,\therefore BO=2$,
$\therefore\overset{\frown}{BC}$ 的长 $l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π× 2}{180}=\frac{4}{3}π$.
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对的圆心角度数，$r$是圆的半径，因此需要先求出圆心角$∠ BOC$的度数和圆$O$的半径。首先根据圆的半径相等可得$OA=OC$，结合已知$∠ OCA=60°$，可判定$△ OAC$是等边三角形，从而得到$∠ AOC$的度数，再利用平角的性质求出$∠ BOC$的度数；再根据$AB$是直径、$AB=4$可求出圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
$\because ∠ OCA=60°$，$OA$、$OC$都是圆$O$的半径，即$OA=OC$，
$\therefore △ ACO$是等边三角形，
$\therefore ∠ COA=60°$，
$\because AB$是圆$O$的直径，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOC=180° - ∠ COA=180° -60°=120°$，
$\because AB=4$，$\therefore$ 圆$O$的半径$r=BO=\frac{1}{2}AB=2$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BC}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120× π × 2}{180}=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
等边三角形判定与性质，弧长计算，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是先结合圆的性质和等边三角形的判定求出弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算，熟练掌握基础公式和相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对的圆心角度数，$r$是圆的半径，因此需要先求出圆心角$∠ BOC$的度数和圆$O$的半径。首先根据圆的半径相等可得$OA=OC$，结合已知$∠ OCA=60°$，可判定$△ OAC$是等边三角形，从而得到$∠ AOC$的度数，再利用平角的性质求出$∠ BOC$的度数；再根据$AB$是直径、$AB=4$可求出圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
$\because ∠ OCA=60°$，$OA$、$OC$都是圆$O$的半径，即$OA=OC$，
$\therefore △ ACO$是等边三角形，
$\therefore ∠ COA=60°$，
$\because AB$是圆$O$的直径，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOC=180° - ∠ COA=180° -60°=120°$，
$\because AB=4$，$\therefore$ 圆$O$的半径$r=BO=\frac{1}{2}AB=2$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BC}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120× π × 2}{180}=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
等边三角形判定与性质，弧长计算，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是先结合圆的性质和等边三角形的判定求出弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算，熟练掌握基础公式和相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知$\odot O$的半径为 3,A 为$\odot O$外一点,过点 A 作$\odot O$的一条切线 AB,切点是 B,AO 的延长线交$\odot O$于点 C,若$∠ A=30°$,求劣弧 BC 的长.(结果保留$π$)
答案
3. $\because AB$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore∠ ABO=90°$.
$\because∠ A=30°,\therefore∠ AOB=90°-∠ A=60°$,
$\therefore∠ BOC=120°$,
$\therefore$ 劣弧 $BC$ 的长为$\frac{120π× 3}{180}=2π$.
$\because∠ A=30°,\therefore∠ AOB=90°-∠ A=60°$,
$\therefore∠ BOC=120°$,
$\therefore$ 劣弧 $BC$ 的长为$\frac{120π× 3}{180}=2π$.
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得△ABO是直角三角形；再结合已知∠A=30°，利用直角三角形两锐角互余求出∠AOB的度数；接着根据平角的定义求出劣弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后代入弧长公式即可求出劣弧BC的长度。
【解析】
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即$∠ABO=90°$，
在$Rt△ABO$中，$∠A=30°$，
∴$∠AOB=90°-∠A=90°-30°=60°$，
∵$∠AOB+∠BOC=180°$，
∴$∠BOC=180°-60°=120°$，
已知$\odot O$半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数），
∴劣弧BC的长为$\frac{120π×3}{180}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查切线性质与弧长公式的综合运用，解题的关键是准确求出劣弧对应的圆心角度数，是圆相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得△ABO是直角三角形；再结合已知∠A=30°，利用直角三角形两锐角互余求出∠AOB的度数；接着根据平角的定义求出劣弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后代入弧长公式即可求出劣弧BC的长度。
【解析】
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即$∠ABO=90°$，
在$Rt△ABO$中，$∠A=30°$，
∴$∠AOB=90°-∠A=90°-30°=60°$，
∵$∠AOB+∠BOC=180°$，
∴$∠BOC=180°-60°=120°$，
已知$\odot O$半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数），
∴劣弧BC的长为$\frac{120π×3}{180}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查切线性质与弧长公式的综合运用，解题的关键是准确求出劣弧对应的圆心角度数，是圆相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,$AB=12\sqrt{3}$,$OP=6$,求劣弧AB的长.(结果保留π)
答案
4. 连接 $OA,OB$.
$\because AB$ 为小圆的切线,$\therefore OP⊥ AB$,
$\therefore AP=BP=\frac{1}{2}AB=6\sqrt{3}$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中,
$OA=\sqrt{OP^2+AP^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=12$,
$\therefore OA=2OP$,
$\therefore∠ OAP=30°$,
$\therefore∠ AOB=120°$,
$\therefore$ 劣弧 $AB$ 的长为$\frac{120}{180}×π× 12=8π$.
$\because AB$ 为小圆的切线,$\therefore OP⊥ AB$,
$\therefore AP=BP=\frac{1}{2}AB=6\sqrt{3}$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中,
$OA=\sqrt{OP^2+AP^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=12$,
$\therefore OA=2OP$,
$\therefore∠ OAP=30°$,
$\therefore∠ AOB=120°$,
$\therefore$ 劣弧 $AB$ 的长为$\frac{120}{180}×π× 12=8π$.
解析
【分析】
要求劣弧AB的长，需先明确弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中n为弧所对的圆心角度数，R为弧所在圆的半径，因此解题需要先求出大圆半径和圆心角∠AOB的度数。首先根据切线的性质可得OP⊥AB，结合垂径定理可求出AP的长度；再在Rt△OAP中用勾股定理算出大圆半径OA，根据直角三角形的边角关系求出∠OAP的度数，进而得到圆心角∠AOB的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OA,OB$。
$\because AB$ 为小圆的切线，$P$为切点，$\therefore OP⊥ AB$，
由垂径定理得$AP=BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OP^2+AP^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$，
$\therefore OA=2OP$，
$\therefore∠ OAP=30°$，则$∠AOP=60°$，同理$∠BOP=60°$，
$\therefore∠ AOB=∠AOP+∠BOP=120°$，
$\therefore$ 劣弧 $AB$ 的长为$\frac{120}{180}×π× 12=8π$。
【答案】
$8π$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是利用切线性质和垂径定理构造直角三角形，快速获取计算弧长所需的半径和圆心角两个条件，掌握圆的基础性质和弧长公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求劣弧AB的长，需先明确弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中n为弧所对的圆心角度数，R为弧所在圆的半径，因此解题需要先求出大圆半径和圆心角∠AOB的度数。首先根据切线的性质可得OP⊥AB，结合垂径定理可求出AP的长度；再在Rt△OAP中用勾股定理算出大圆半径OA，根据直角三角形的边角关系求出∠OAP的度数，进而得到圆心角∠AOB的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OA,OB$。
$\because AB$ 为小圆的切线，$P$为切点，$\therefore OP⊥ AB$，
由垂径定理得$AP=BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OP^2+AP^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$，
$\therefore OA=2OP$，
$\therefore∠ OAP=30°$，则$∠AOP=60°$，同理$∠BOP=60°$，
$\therefore∠ AOB=∠AOP+∠BOP=120°$，
$\therefore$ 劣弧 $AB$ 的长为$\frac{120}{180}×π× 12=8π$。
【答案】
$8π$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是利用切线性质和垂径定理构造直角三角形，快速获取计算弧长所需的半径和圆心角两个条件，掌握圆的基础性质和弧长公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
