登录
17.(2024·丽水)已知$a=4+n,b=2+n,n$为正整数。
(1)求$5^a÷5^b$的值。
(2)利用因式分解说明$2^a - 2^b$能被24整除。
(1)求$5^a÷5^b$的值。
(2)利用因式分解说明$2^a - 2^b$能被24整除。
答案
17. 解:(1)$5^a÷5^b=5^{a-b}=5^{4+n-(2+n)}=5^2=25$。
(2)$2^a-2^b=2^{4+n}-2^{2+n}=12·2^n=24×2^{n-1}$。又因为$n$为正整数,所以$2^{n-1}$一定为整数,所以$2^a-2^b$能被24整除。
(2)$2^a-2^b=2^{4+n}-2^{2+n}=12·2^n=24×2^{n-1}$。又因为$n$为正整数,所以$2^{n-1}$一定为整数,所以$2^a-2^b$能被24整除。
18.(2025·杭州滨江)生活中我们经常用到密码,如到银行取款。有一种用“因式分解法”产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式因式分解,如多项式$x^4 - y^4$,因式分解的结果为$(x-y)·(x+y)(x^2 + y^2)$,当$x=9,y=9$时,各个因式的值是$x-y=0$,$x+y=18,x^2 + y^2=162$,于是就可以把“018162”作为一个六位数密码。
(1)对于多项式$9x^3 - xy^2$,当$x=10,y=10$时,试写出用上述方法产生的一个六位数密码。
(2)对于多项式$x^3 + px^2 + qx$,当$x=25$时,用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527,问能否求出$p,q$。若能,请求出$p,q$的值;若不能,请说明理由。
(1)对于多项式$9x^3 - xy^2$,当$x=10,y=10$时,试写出用上述方法产生的一个六位数密码。
(2)对于多项式$x^3 + px^2 + qx$,当$x=25$时,用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527,问能否求出$p,q$。若能,请求出$p,q$的值;若不能,请说明理由。
答案
18. 解:(1)$9x^3-xy^2=x(9x^2-y^2)=x(3x-y)(3x+y)$。当$x=10,y=10$时,$3x-y=20,3x+y=40$。故这个六位数为102040。(答案不唯一)
(2)因为$x^3+px^2+qx=x(x^2+px+q)$,且$x=25$,所以由其中一个六位数密码为242527,得$(x-1)(x+2)=x^2+px+q$,即$x^2+x-2=x^2+px+q$,故$p=1,q=-2$。
(2)因为$x^3+px^2+qx=x(x^2+px+q)$,且$x=25$,所以由其中一个六位数密码为242527,得$(x-1)(x+2)=x^2+px+q$,即$x^2+x-2=x^2+px+q$,故$p=1,q=-2$。
