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19.(2025·绍兴越城)
【问题提出】已知多项式$2x^3 - x^2 + m$有一个因式为$2x + 1$，求$m$的值。
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路。
思路一:设$2x^3 - x^2 + m=(2x + 1)(x^2 + ax + b)$，
则$2x^3 - x^2 + m=2x^3 + (2a + 1)x^2 + (a + 2b)x + b$，
比较系数得$\begin{cases}2a + 1 = -1, \\ a + 2b = 0, \\ b = m,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = \dfrac{1}{2}, \\ m = \dfrac{1}{2},\end{cases}$ $\therefore m=\dfrac{1}{2}$。
思路二:设$2x^3 - x^2 + m = A·(2x + 1)$($A$为一个整式)，
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取$x=-\dfrac{1}{2}$，
代入可得:$2×(-\dfrac{1}{2})^3 - (-\dfrac{1}{2})^2 + m = 0$，故$m=\dfrac{1}{2}$。
【模仿运用】已知多项式$2x^2 + mx + n$可因式分解为$(2x + 1)(x - 3)$，求$m$和$n$的值。
【迁移解决】已知多项式$x^4 - mx^3 + 2nx - 16$有两个因式分别是$(x - 1)$和$(x - 2)$，求$m$和$n$的值。
【问题提出】已知多项式$2x^3 - x^2 + m$有一个因式为$2x + 1$，求$m$的值。
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路。
思路一:设$2x^3 - x^2 + m=(2x + 1)(x^2 + ax + b)$，
则$2x^3 - x^2 + m=2x^3 + (2a + 1)x^2 + (a + 2b)x + b$，
比较系数得$\begin{cases}2a + 1 = -1, \\ a + 2b = 0, \\ b = m,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = \dfrac{1}{2}, \\ m = \dfrac{1}{2},\end{cases}$ $\therefore m=\dfrac{1}{2}$。思路二:设$2x^3 - x^2 + m = A·(2x + 1)$($A$为一个整式)，
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取$x=-\dfrac{1}{2}$，
代入可得:$2×(-\dfrac{1}{2})^3 - (-\dfrac{1}{2})^2 + m = 0$，故$m=\dfrac{1}{2}$。
【模仿运用】已知多项式$2x^2 + mx + n$可因式分解为$(2x + 1)(x - 3)$，求$m$和$n$的值。
【迁移解决】已知多项式$x^4 - mx^3 + 2nx - 16$有两个因式分别是$(x - 1)$和$(x - 2)$，求$m$和$n$的值。
答案
19. 解:【模仿运用】由$2x^2+mx+n=(2x+1)(x-3)$为一个恒等式,可分别取$x=-\dfrac{1}{2}$和$x=3$,得$\begin{cases}2×(-\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})m+n=0, \\ 2×3^2+3m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-5, \\ n=-3。\end{cases}$
【迁移解决】令$x^4 - mx^3 + 2nx - 16 = A(x-1)(x-2)$($A$为一个整式),则分别取$x=1$和$x=2$,得$\begin{cases}1 - m + 2n - 16 = 0, \\ 16 - 8m + 4n - 16 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=5, \\ n=10。\end{cases}$
【迁移解决】令$x^4 - mx^3 + 2nx - 16 = A(x-1)(x-2)$($A$为一个整式),则分别取$x=1$和$x=2$,得$\begin{cases}1 - m + 2n - 16 = 0, \\ 16 - 8m + 4n - 16 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=5, \\ n=10。\end{cases}$
