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9. 下列命题:①相等的角是对顶角;②同位角相等;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④a，b，c是三条不重合的直线，如果$a// b,b// c$，则$a// c$;⑤a，b，c是三条不重合的直线，如果$a⊥ b,c⊥ b$，则$a⊥ c$.其中真命题的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
A
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. A 【点拨】本题考查命题的真假判断.
【解析】①相等的角不一定是对顶角,故①是假命题;②两直线平行,同位角相等,故②是假命题;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故③是假命题;④a ,b ,c 是三条不重合的直线,如果 $a // b ,b // c$ ,则 $a // c$ ,是真命题;⑤在同一平面内, a ,b ,c 是三条不重合的直线,如果 $a ⊥ b ,c ⊥ b$ ,则 $a // c$ ,故⑤是假命题. 故选 A.
【解析】①相等的角不一定是对顶角,故①是假命题;②两直线平行,同位角相等,故②是假命题;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故③是假命题;④a ,b ,c 是三条不重合的直线,如果 $a // b ,b // c$ ,则 $a // c$ ,是真命题;⑤在同一平面内, a ,b ,c 是三条不重合的直线,如果 $a ⊥ b ,c ⊥ b$ ,则 $a // c$ ,故⑤是假命题. 故选 A.
10. 如图,将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠,点C,D分别落在点C',D'位置上,D'E与AB的交点为M.若∠EFC=114°,则∠D'MB的大小是(
A.$ 24° $
B.$ 42° $
C.$ 48° $
D.$ 52° $
B
).A.$ 24° $
B.$ 42° $
C.$ 48° $
D.$ 52° $
答案
10. B 【点拨】本题考查长方形的性质,折叠的性质,平行线的性质.
【解析】$\because$ 四边形 ABCD 是长方形,$\therefore ∠A = 90°,AD // BC ,\therefore ∠DEF + ∠EFC = 180°. \because ∠EFC = 114°,\therefore ∠DEF = 66°. \because$ 将一张长方形纸条 ABCD 沿 EF 折叠,点 C ,D 分别落在点 C' ,D' 位置上,$\therefore ∠D'EF = ∠DEF = 66°,\therefore ∠AED' = 180° - 66° - 66° = 48°,\therefore ∠D'MB = ∠AME = 90° - 48° = 42°$. 故选 B.
【解析】$\because$ 四边形 ABCD 是长方形,$\therefore ∠A = 90°,AD // BC ,\therefore ∠DEF + ∠EFC = 180°. \because ∠EFC = 114°,\therefore ∠DEF = 66°. \because$ 将一张长方形纸条 ABCD 沿 EF 折叠,点 C ,D 分别落在点 C' ,D' 位置上,$\therefore ∠D'EF = ∠DEF = 66°,\therefore ∠AED' = 180° - 66° - 66° = 48°,\therefore ∠D'MB = ∠AME = 90° - 48° = 42°$. 故选 B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
答案
解：
11.
∵3²=9，算术平方根为非负根，
∴9的算术平方根是3。
答案：3
12.
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=40°。
答案：40
13.
根据命题改写规则，题设为两直线平行，结论为内错角相等，
改写结果为：如果两条直线平行，那么内错角相等。
答案：如果两条直线平行，那么内错角相等
14.
∵√(-b²)有意义，∴-b²≥0，即b²≤0，又b²≥0，
∴b=0，
∵|a-2|≥0，√(-b²)≥0，且|a-2|+√(-b²)=0，
∴a-2=0，得a=2，
∴b-a=0-2=-2。
答案：-2
15.
∵长方形ABCD中AD//BC，
∴∠DEF + ∠EFC = 180°，
由折叠性质得∠EFC=∠EFC'=125°，
∴∠DEF=180°-125°=55°，
∴∠AEF=180°-∠DEF=125°。
答案：125°
16.
过点G作GM//AB，过点H作HN//AB，
∵AB//CD，∴GM//AB//CD，HN//AB//CD，
∴∠AEG=∠EGM，∠CFG=∠FGM，∠AEH=∠EHN，∠CFH=∠FHN，
∴∠EGF=∠AEG+∠CFG，∠EHF=∠AEH+∠CFH，
∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，
∴∠AEH=1/2∠AEG，∠CFH=1/2∠CFG，
∴∠EHF=1/2(∠AEG+∠CFG)=1/2∠EGF，
设∠EGF=x，则∠EHF=1/2x，
由题得x + 1/2x = 180°，
解得x=120°，即∠EGF=120°。
答案：120°
11.
∵3²=9，算术平方根为非负根，
∴9的算术平方根是3。
答案：3
12.
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=40°。
答案：40
13.
根据命题改写规则，题设为两直线平行，结论为内错角相等，
改写结果为：如果两条直线平行，那么内错角相等。
答案：如果两条直线平行，那么内错角相等
14.
∵√(-b²)有意义，∴-b²≥0，即b²≤0，又b²≥0，
∴b=0，
∵|a-2|≥0，√(-b²)≥0，且|a-2|+√(-b²)=0，
∴a-2=0，得a=2，
∴b-a=0-2=-2。
答案：-2
15.
∵长方形ABCD中AD//BC，
∴∠DEF + ∠EFC = 180°，
由折叠性质得∠EFC=∠EFC'=125°，
∴∠DEF=180°-125°=55°，
∴∠AEF=180°-∠DEF=125°。
答案：125°
16.
过点G作GM//AB，过点H作HN//AB，
∵AB//CD，∴GM//AB//CD，HN//AB//CD，
∴∠AEG=∠EGM，∠CFG=∠FGM，∠AEH=∠EHN，∠CFH=∠FHN，
∴∠EGF=∠AEG+∠CFG，∠EHF=∠AEH+∠CFH，
∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，
∴∠AEH=1/2∠AEG，∠CFH=1/2∠CFG，
∴∠EHF=1/2(∠AEG+∠CFG)=1/2∠EGF，
设∠EGF=x，则∠EHF=1/2x，
由题得x + 1/2x = 180°，
解得x=120°，即∠EGF=120°。
答案：120°
11. 若$x^2 = 4$,则$x =$
±2
.答案
11. ±2 【点拨】本题考查平方根的定义.
【解析】$\because x^2 =4 ,\therefore x = \pm\sqrt{4} = \pm2$ . 故答案为 ±2.
【解析】$\because x^2 =4 ,\therefore x = \pm\sqrt{4} = \pm2$ . 故答案为 ±2.
12. 在平面直角坐标系中,若点$P(6-2a,a-3)$到$x$轴的距离为3,则$a$的值是
0或6
.答案
12. 0或6 【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标到坐标轴的距离的关系及绝对值方程的解法.
【解析】$\because$ 点 $P(6 - 2a ,a - 3 )$ 到 x 轴的距离为 3 ,$\therefore |a - 3 | = 3$ ,解得 $a = 0$ 或 6 . 故答案为 0 或 6.
【解析】$\because$ 点 $P(6 - 2a ,a - 3 )$ 到 x 轴的距离为 3 ,$\therefore |a - 3 | = 3$ ,解得 $a = 0$ 或 6 . 故答案为 0 或 6.
13. $\sqrt{25.36}\approx5.036$，$\sqrt{253.6}\approx15.925$，则$\sqrt{253600}\approx$
503.6
.答案
13. 503.6 【点拨】本题考查算术平方根.
【解析】$\sqrt{253\ 600} = \sqrt{25.36 × 10\ 000 } = 100\sqrt{25.36} \approx 503.6$ . 故答案为 503.6.
【解析】$\sqrt{253\ 600} = \sqrt{25.36 × 10\ 000 } = 100\sqrt{25.36} \approx 503.6$ . 故答案为 503.6.
14. 如图,若直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠AOE=3∠AOC,则∠BOD=
22.5
度.答案
14. 22.5 【点拨】本题考查垂线、对顶角、角的计算.
【解析】$\because OE ⊥ CD ,\therefore ∠EOC = 90°. \because ∠AOE = 3∠AOC ,\therefore ∠AOC = \frac{1}{4} ∠COE = 22.5°,\therefore ∠AOC = ∠BOD = 22.5°$. 故答案为 22.5.
【解析】$\because OE ⊥ CD ,\therefore ∠EOC = 90°. \because ∠AOE = 3∠AOC ,\therefore ∠AOC = \frac{1}{4} ∠COE = 22.5°,\therefore ∠AOC = ∠BOD = 22.5°$. 故答案为 22.5.
15. 如图,直线$a// b$,则$∠A=$
25
度.答案
15. 25 【点拨】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理.
【解析】$\because$ 直线 $a // b ,\therefore ∠BDC = 55°,\therefore ∠ADB = 180° - ∠BDC = 180° - 55° = 125°,\therefore ∠A = 180° - 30° - 125° = 25°$. 故答案为 25.
【解析】$\because$ 直线 $a // b ,\therefore ∠BDC = 55°,\therefore ∠ADB = 180° - ∠BDC = 180° - 55° = 125°,\therefore ∠A = 180° - 30° - 125° = 25°$. 故答案为 25.
16. 已知点A,B,C在数轴上表示的数a,b,c的位置如图所示,化简$\sqrt{a^2} - |a + b| - \sqrt[3]{(a - c)^3} =$
b - a + c
.答案
16. b - a + c 【点拨】本题考查二次根式和立方根,取绝对值的方法.
【解析】由题图数轴可得 $a ＜ b ＜ 0 ＜ c ,\therefore a ＜ 0 ,a + b ＜ 0 ,\therefore \sqrt{a^2} - |a + b| - \sqrt[3]{(a - c)^3 } = -a + (a + b ) - (a - c ) = b - a + c$ . 故答案为 $b - a + c$.
【解析】由题图数轴可得 $a ＜ b ＜ 0 ＜ c ,\therefore a ＜ 0 ,a + b ＜ 0 ,\therefore \sqrt{a^2} - |a + b| - \sqrt[3]{(a - c)^3 } = -a + (a + b ) - (a - c ) = b - a + c$ . 故答案为 $b - a + c$.
三、解答题(本大题共5小题,共52分.解答应写出过程)
答案
解：
19. (1) 原式 = 2 - √3 + (-2) + 2
= 2 - √3
(2) 4(x-1)² = 25
两边同除以4，得：$(x-1)^2 = \frac{25}{4}$
由平方根定义，得：$x-1 = \pm \frac{5}{2}$
当$x-1=\frac{5}{2}$时，$x=\frac{7}{2}$
当$x-1=-\frac{5}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}$
$\therefore x_1=\frac{7}{2}, x_2=-\frac{3}{2}$
20. (1) 证明：$\because OF⊥ CD, OG⊥ OE$
$\therefore ∠ COF=90°, ∠ EOG=90°$
即 $∠ AOF + ∠ AOC = 90°, ∠ COG + ∠ COE = 90°$
$\because OE$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ AOE = ∠ COE$
$\therefore ∠ COG + ∠ AOE = 90°$
又 $∠ AOF + ∠ AOE = 90°$
$\therefore ∠ COG = ∠ AOF$
(2) 解：$\because$ 直线$AB$、$CD$相交于点$O$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOD = 40°$
$\because OE$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = 20°$
$\because OG⊥ OE$
$\therefore ∠ EOG = 90°$
$\therefore ∠ COG = 90° - ∠ COE = 70°$
21. 证明：$\because ∠ 1+∠ 2=180°$（已知），
$∠ 1+ \boldsymbol{∠ ADF}=180°$（平角定义），
$\therefore ∠ 2= \boldsymbol{∠ ADF}$（同角的补角相等），
$\therefore \boldsymbol{AB// DF}$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 3= \boldsymbol{∠ ADE}$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 3=∠ B$（已知），
$\therefore \boldsymbol{∠ ADE=∠ B}$（等量代换），
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
22. (1) 证明：$\because ∠ B + ∠ BDG = 180°$
$\therefore DG// AB$（同旁内角互补，两直线平行）
$\therefore ∠ 2 = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）
$\because EF// AC$
$\therefore ∠ 1 = ∠ BAD$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$
(2) 解：在$△ ABC$中，
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 55° - 60° = 65°$
$\because AD$平分$∠ BAC$
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 32.5°$
$\therefore ∠ 1 = ∠ BAD = 32.5°$
23. (1) 证明：过点$F$作$FQ// AB$
$\because AB// CD$
$\therefore FQ// CD$
$\therefore ∠ BEF = ∠ EFQ, ∠ DFM = ∠ QFM$
$\because ∠ EFM = ∠ EFQ + ∠ QFM$
$\therefore ∠ EFM = ∠ BEF + ∠ DFM$
(2) 解：过点$G$作$GR// AB$
$\because AB// CD$
$\therefore GR// CD$
$\therefore ∠ EGR = ∠ BEG, ∠ MGR = ∠ GMF$
$\because EG$平分$∠ BEF$，$MG$平分$∠ DFM$
$\therefore ∠ BEG = \frac{1}{2}∠ BEF, ∠ GMF = \frac{1}{2}∠ DFM$
由(1)得$∠ EFM = ∠ BEF + ∠ DFM = 64°$
$\therefore ∠ EGM = ∠ EGR + ∠ MGR = \frac{1}{2}(∠ BEF + ∠ DFM) = 32°$
(3) 解：$2∠ IPH - ∠ HMP = 90°$
19. (1) 原式 = 2 - √3 + (-2) + 2
= 2 - √3
(2) 4(x-1)² = 25
两边同除以4，得：$(x-1)^2 = \frac{25}{4}$
由平方根定义，得：$x-1 = \pm \frac{5}{2}$
当$x-1=\frac{5}{2}$时，$x=\frac{7}{2}$
当$x-1=-\frac{5}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}$
$\therefore x_1=\frac{7}{2}, x_2=-\frac{3}{2}$
20. (1) 证明：$\because OF⊥ CD, OG⊥ OE$
$\therefore ∠ COF=90°, ∠ EOG=90°$
即 $∠ AOF + ∠ AOC = 90°, ∠ COG + ∠ COE = 90°$
$\because OE$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ AOE = ∠ COE$
$\therefore ∠ COG + ∠ AOE = 90°$
又 $∠ AOF + ∠ AOE = 90°$
$\therefore ∠ COG = ∠ AOF$
(2) 解：$\because$ 直线$AB$、$CD$相交于点$O$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOD = 40°$
$\because OE$平分$∠ AOC$
$\therefore ∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = 20°$
$\because OG⊥ OE$
$\therefore ∠ EOG = 90°$
$\therefore ∠ COG = 90° - ∠ COE = 70°$
21. 证明：$\because ∠ 1+∠ 2=180°$（已知），
$∠ 1+ \boldsymbol{∠ ADF}=180°$（平角定义），
$\therefore ∠ 2= \boldsymbol{∠ ADF}$（同角的补角相等），
$\therefore \boldsymbol{AB// DF}$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 3= \boldsymbol{∠ ADE}$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 3=∠ B$（已知），
$\therefore \boldsymbol{∠ ADE=∠ B}$（等量代换），
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
22. (1) 证明：$\because ∠ B + ∠ BDG = 180°$
$\therefore DG// AB$（同旁内角互补，两直线平行）
$\therefore ∠ 2 = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）
$\because EF// AC$
$\therefore ∠ 1 = ∠ BAD$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$
(2) 解：在$△ ABC$中，
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 55° - 60° = 65°$
$\because AD$平分$∠ BAC$
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 32.5°$
$\therefore ∠ 1 = ∠ BAD = 32.5°$
23. (1) 证明：过点$F$作$FQ// AB$
$\because AB// CD$
$\therefore FQ// CD$
$\therefore ∠ BEF = ∠ EFQ, ∠ DFM = ∠ QFM$
$\because ∠ EFM = ∠ EFQ + ∠ QFM$
$\therefore ∠ EFM = ∠ BEF + ∠ DFM$
(2) 解：过点$G$作$GR// AB$
$\because AB// CD$
$\therefore GR// CD$
$\therefore ∠ EGR = ∠ BEG, ∠ MGR = ∠ GMF$
$\because EG$平分$∠ BEF$，$MG$平分$∠ DFM$
$\therefore ∠ BEG = \frac{1}{2}∠ BEF, ∠ GMF = \frac{1}{2}∠ DFM$
由(1)得$∠ EFM = ∠ BEF + ∠ DFM = 64°$
$\therefore ∠ EGM = ∠ EGR + ∠ MGR = \frac{1}{2}(∠ BEF + ∠ DFM) = 32°$
(3) 解：$2∠ IPH - ∠ HMP = 90°$
17. (10 分)计算.
(1)$\sqrt{2} × (\sqrt{2} + 2) - |\sqrt{2} - 2|$；
(2)$\sqrt{(-5)^2} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{0.81}$.
(1)$\sqrt{2} × (\sqrt{2} + 2) - |\sqrt{2} - 2|$；
(2)$\sqrt{(-5)^2} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{0.81}$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式加减乘除混合运算与化简.
【解析】(1) $\sqrt{2} × (\sqrt{2} + 2 ) - |\sqrt{2} - 2|$
$= 2 + 2\sqrt{2} - [ - (\sqrt{2} - 2 ) ]$
$= 2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2$
$= 3\sqrt{2}$.
(2) $\sqrt{(-5)^2 } + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{0.81}$
$= 5 + (-3) + 0.9$
$= 2.9$.
【解析】(1) $\sqrt{2} × (\sqrt{2} + 2 ) - |\sqrt{2} - 2|$
$= 2 + 2\sqrt{2} - [ - (\sqrt{2} - 2 ) ]$
$= 2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2$
$= 3\sqrt{2}$.
(2) $\sqrt{(-5)^2 } + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{0.81}$
$= 5 + (-3) + 0.9$
$= 2.9$.
18. (10 分)解方程.
(1)$5x^2 - 4 = 11$；
(2)$\frac{1}{3}(x + 1)^3 + 9 = 0$.
(1)$5x^2 - 4 = 11$；
(2)$\frac{1}{3}(x + 1)^3 + 9 = 0$.
答案
18. 【点拨】本题考查利用平方根和立方根的性质解方程.
【解析】(1)$5x^2 - 4 = 11$ ,
移项,得 $5x^2 = 15$ ,
系数化为 1 ,得 $x^2 = 3$ ,
开平方,得 $x = \pm\sqrt{3}$.
(2) $\frac{1}{3} (x + 1 )^3 + 9 = 0$ ,
移项,得 $\frac{1}{3} (x + 1 )^3 = -9$ ,
系数化为 1 ,得 $(x + 1 )^3 = -27$ ,
开立方,得 $x + 1 = -3$ ,解得 $x = -4$.
【解析】(1)$5x^2 - 4 = 11$ ,
移项,得 $5x^2 = 15$ ,
系数化为 1 ,得 $x^2 = 3$ ,
开平方,得 $x = \pm\sqrt{3}$.
(2) $\frac{1}{3} (x + 1 )^3 + 9 = 0$ ,
移项,得 $\frac{1}{3} (x + 1 )^3 = -9$ ,
系数化为 1 ,得 $(x + 1 )^3 = -27$ ,
开立方,得 $x + 1 = -3$ ,解得 $x = -4$.
