例1 如图,AB是$\odot O$的直径,PA切$\odot O$于A,OP交$\odot O$于点C,连接BC.若$∠ P=30°$,求$∠ B$的度数.

解：
∵ PA切$\odot O$于A，
∴ OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵ ∠P=30°，
∴ ∠AOP=90°-30°=60°。
∵ OB=OC，
∴ ∠B=∠OCB。
又
∵ ∠AOP是△OBC的外角，
∴ ∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B，
∴ ∠B=1/2∠AOP=30°。

【分析】
解题时首先从切线的性质入手，PA是$\odot O$的切线，因此可以得到过切点的半径OA与PA垂直，得到直角$△ OAP$，结合已知$∠ P=30°$即可求出$∠ AOP$的度数；再观察到OB、OC都是$\odot O$的半径，二者相等，因此$△ OBC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ OCB$；最后利用三角形外角的性质，$∠ AOP$是$△ OBC$的外角，等于两个不相邻底角的和，即$∠ AOP=2∠ B$，代入已求出的$∠ AOP$的度数，即可计算出$∠ B$的大小。
【解析】
∵ PA切$\odot O$于A，
∴ OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$。
∵ $∠ P=30°$，
∴ $∠ AOP=90°-30°=60°$。
∵ OB=OC，
∴ $∠ B=∠ OCB$。
又
∵ $∠ AOP$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ AOP=∠ B+∠ OCB=2∠ B$，
∴ $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOP=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，将圆的切线性质与三角形基础性质结合考查，解题的关键是找准各个角之间的数量关系，熟练运用基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

例2 如图,A是$\odot O$上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,$OC = BC$,$AC = \frac{1}{2}OB$.
(1) 求证:AB是$\odot O$的切线.
(2) 若$∠ ACD = 45°, OC = 2$,求弦AD的长.

(1) 证明：连接OA，
∵ OC=BC，AC=1/2 OB，
∴ OC=BC=AC=OA，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ ∠O=60°，
∵ AC=BC，
∴ ∠CAB=∠B，
又
∵ ∠OCA=∠CAB+∠B=60°，
∴ ∠B=30°，
∴ ∠OAB=180°-∠O-∠B=90°，即OA⊥AB，
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线。
(2) 解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵ ∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴ 在Rt△ACE中，CE=AE=AC·sin45°=√2，
∵ ∠ADC是弧AC对应的圆周角，弧AC对应圆心角为60°，
∴ ∠ADC=30°，
在Rt△ADE中，DE=√3 AE=√6，
∴ AD=AE+DE=√2+√6。

【分析】
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，依据切线的判定定理，需证明半径OA与AB垂直，因此先连接OA。结合已知$OC=BC$、$AC=\frac{1}{2}OB$，可推导出$AC=OC=BC=OA$，得到$△ OAC$是等边三角形，再通过角度计算证明$∠ OAB=90°$即可。
(2) 求弦AD的长时，过A作$AE⊥ CD$于E，将$△ ACD$拆分为两个特殊直角三角形：含$45°$角的$Rt△ ACE$和含$30°$角的$Rt△ ADE$。先利用$∠ ACD=45°$和AC的长度求出AE的长，再根据圆周角定理得到$∠ ADC=30°$，最后在$Rt△ ADE$中计算AD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接OA，
∵ $OC=BC$，$AC=\frac{1}{2}OB$，
∴ $OC=BC=AC$，
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $OC=BC=AC=OA$，即$△ OAC$是等边三角形，
∴ $∠ O=∠ OCA=60°$，
∵ $AC=BC$，
∴ $∠ CAB=∠ B$，
∵ $∠ OCA$是$△ ACB$的外角，
∴ $∠ OCA=∠ CAB+∠ B=2∠ B=60°$，
解得$∠ B=30°$，
在$△ OAB$中，$∠ OAB=180°-∠ O-∠ B=180°-60°-30°=90°$，即$OA⊥ AB$，
又
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ AB是$\odot O$的切线。
(2) 解：过点A作$AE⊥ CD$于点E，
∵ $OC=2$，$AC=OC$，
∴ $AC=2$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ ACD=45°$，
∴ $AE=AC·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
∵ $∠ AOC=60°$是弧AC对应的圆心角，$∠ ADC$是弧AC对应的圆周角，
∴ $∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ ADE=30°$，对边AE为$\sqrt{2}$，
∴ $AD=2AE=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题属于圆的综合基础题，核心考查切线的判定方法和特殊直角三角形的性质，解题时要注意合理添加辅助线，将未知线段的求解转化到特殊三角形中，同时要熟练掌握圆周角与圆心角的数量关系。
【难度系数】
0.65

1. 三角形的内心是三角形()

A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

1. B

【分析】
本题考查三角形特殊交点的概念辨析，解题思路是先回忆三角形各常见特殊交点的对应定义，再逐一匹配选项：首先明确内心是三角形内切圆的圆心，其核心特征是到三边距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可判断内心和角平分线的关联，再逐一排除其他错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不是内心，该选项错误；
B. 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心，即三角形的内心，该选项正确；
C. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不是内心，该选项错误；
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，不是内心，该选项错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形几类特殊交点的定义，只要熟记相关概念就能快速选出正确答案，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在$\odot O$中,弦AB与CD交于点M,$∠A=45°,∠AMD=75°$,则$∠B$的度数是()

A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$75°$

2. C

【分析】
解题时先观察角的位置关系：∠AMD是△ACM的外角，可先利用三角形外角的性质求出∠C的度数；再根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，可知∠B与∠C相等，即可得到∠B的度数。
【解析】
1. 求∠C的度数：
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在△ACM中，∠AMD是外角，因此$∠ AMD = ∠ A + ∠ C$。
已知$∠ A=45°$，$∠ AMD=75°$，代入得：
$∠ C = ∠ AMD - ∠ A = 75° - 45° = 30°$。
2. 求∠B的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。
$∠ B$和$∠ C$都是弧$AD$所对的圆周角，因此$∠ B = ∠ C = 30°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握三角形外角的计算规律和圆周角的性质，找到角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图,PA,PB,CD分别切$\odot O$于点A,B,E,且点C,D分别在PA,PB上.若$CA = 2$,$BD = 3$,则$CD = $;若$PA = 6$,则$△ PCD$的周长是.

3. CD=5，△PCD的周长是12

【分析】
本题利用切线长定理求解：
1. 求CD长：点C向$\odot O$引的两条切线为CA、CE，根据切线长定理可得CA=CE；点D向$\odot O$引的两条切线为DB、DE，可得DB=DE。CD=CE+DE，代入对应相等的线段即可算出结果。
2. 求$△ PCD$的周长：$△ PCD$周长=PC+CD+PD，把CD拆为CE+DE，再通过切线长定理将CE替换为CA、DE替换为BD，即可将周长转化为PA+PB；又点P向$\odot O$引的两条切线PA=PB，代入PA的数值即可算出周长。
【解析】
解：
∵PA、PB、CD分别切$\odot O$于点A、B、E，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得：
$CE=CA=2$，$DE=BD=3$，
∴$CD=CE+DE=2+3=5$；
同时由切线长定理可得$PA=PB=6$，
$△ PCD$的周长为：
$PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD$
$=PC+CA+BD+PD$
$=(PC+CA)+(PD+BD)$
$=PA+PB=6+6=12$。
【答案】
$5$；$12$
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是找准每个圆外点对应的两条等长切线，通过线段等量代换将未知线段转化为已知线段计算。
【难度系数】
0.8