4. 如图,AB是$\odot O$的直径,点D在AB的延长线上,DC切$\odot O$于点C. 若$∠ A = 25°$,则$∠ D$的度数是()

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$

4. C

【分析】
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角三角形，步骤如下：第一步，连接切点与圆心OC，借助切线性质得到直角∠OCD；第二步，根据同圆半径相等得到△OAC是等腰三角形，结合已知∠A的度数求出圆心角∠COD的度数；第三步，在直角三角形OCD中利用两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵ OA、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠OCA=∠A=25°，
由三角形外角的性质可得：∠COD=∠A+∠OCA=25°+25°=50°，
∵ DC是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥DC，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，∠D+∠COD=90°，
∴ ∠D=90°-∠COD=90°-50°=40°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线：连接圆心和切点，再结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1.如果一个正多边形的中心角是$40°$,
那么这个正多边形的边数是()

A.6
B.7
C.8
D.9

1. D

【分析】
要计算正多边形的边数，首先回忆正多边形的中心角相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的大小相等。因此边数=总中心角度数÷单个中心角的度数，代入已知的中心角度数即可求出边数。
【解析】
正多边形的中心角总和为360°，且正多边形的每个中心角度数相等，设该正多边形的边数为n，可得公式：
单个中心角的度数 = $\frac{360°}{n}$
变形得 $n=\frac{360°}{\mathrm{单个中心角的度数}}$
已知中心角为40°，代入得：
$n=360°÷40°=9$
因此这个正多边形的边数是9。
【答案】
D
【知识点】
1.正多边形的性质
2.正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形中心角与边数的关系，掌握正多边形中心角总和为360°是解题的关键，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9

2. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D。若∠CAD=30°，则∠BOD=。

2. 120°

【分析】
解题时首先从已知的切线条件入手，根据切线的性质得到直角∠OAC=90°，结合已知∠CAD=30°可求出∠OAD的度数；再利用圆的半径相等得到OA=OD，判定△OAD为等腰三角形，根据等腰三角形内角和规律求出∠AOD的度数；最后利用平角的定义，用180°减去∠AOD的度数即可求出∠BOD的大小。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，切点为A，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠OAC - ∠CAD=90°-30°=60°，
又
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，即△OAD是等腰三角形，
∴∠ODA=∠OAD=60°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-60°-60°=60°，
∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，即∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查圆相关的基础性质，解题的关键是熟练掌握切线垂直于过切点半径这一核心性质，结合等腰三角形角度计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图, 在 Rt△AOB 中, ∠ABO = 90°, ∠OAB = 30°, 以点 O 为圆心, OB 长为半径的圆交 BO 的延长线于点 C, 过点 C 作 OA 的平行线, 交 ⊙O 于点 D, 连接 AD.
(1) 求证:AD 为 ⊙O 的切线.
(2) 若 OB = 2, 求$\overset{\frown}{CD}$的长.

(1) 略;(2)$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2}{3}π$

【分析】
(1) 要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD⊥AD即可。首先利用直角三角形性质求出∠AOB的度数，结合CD//OA得到∠OCD的度数，再由OD=OC判定△OCD为等边三角形，得到∠COD的度数，进而推出∠AOD=∠AOB，最后通过证明△AOD≌△AOB得到∠ADO=∠ABO=90°，即可得证。
(2) 求$\overset{\frown}{CD}$的长，需先确定弧CD所对的圆心角的度数和⊙O的半径，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OD，
∵ 在Rt△AOB中，∠ABO=90°，∠OAB=30°，
∴ ∠AOB=90°-30°=60°，
∵ CD//OA，
∴ ∠OCD=∠AOB=60°，
又
∵ OC=OD（均为⊙O的半径），
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠AOD=180°-∠AOB-∠COD=180°-60°-60°=60°，即∠AOD=∠AOB，
在△AOD和△AOB中：
$\{\begin{array}{l}OD=OB \\∠AOD=∠AOB \\AO=AO\end{array} $
∴ △AOD≌△AOB（SAS），
∴ ∠ADO=∠ABO=90°，即OD⊥AD，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ AD为⊙O的切线。
(2) 解：由题意得⊙O的半径$r=OB=2$，
由(1)可知$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角∠COD=60°，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{CD}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{60×π×2}{180}=\frac{2}{3}π$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{2}{3}π$
【知识点】
切线的判定；弧长的计算；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是掌握切线的常用判定方法（连半径、证垂直），能灵活运用平行线性质、全等三角形性质以及弧长公式求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

1. (2025·四川自贡中考)PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,点C在$\odot O$上,不与点A,B重合.若$∠ P = 80°$,则$∠ ACB$的度数为()

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$

1. D

【分析】
解题时先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接OA、OB可得到两个直角。结合四边形内角和为360°，可先求出圆心角∠AOB的度数。由于点C在⊙O上的位置不唯一，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况讨论，再根据圆周角定理分别计算∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②当点C在劣弧AB上时，此时优弧AB对应的圆心角为$360°-100°=260°$，
同理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种情况，只计算出其中一个角度导致漏解，解题时要注意结合图形的可能性进行分类讨论，避免思维定式。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在$△ ABC$中,点D是$△ ABC$的内心,连接DB,DC,过点D作$EF // BC$分别交AB,AC于点E,F.若$BE + CF = 8$,则EF的长为()


A.4
B.5
C.8
D.16

2. C

【分析】
首先明确已知条件：D是△ABC的内心，即BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，同时EF平行于BC。解题时先结合角平分线的定义得到角相等的关系，再利用平行线的性质推导内错角相等，进而证明△EBD和△FDC为等腰三角形，将EF的长度转化为BE与CF的和，即可直接求出EF的长度。
【解析】
解：
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴ED=EB，FD=FC，
∴EF=ED+FD=BE+CF，
已知BE+CF=8，
∴EF=8。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是掌握“角平分线+平行线”的组合特征，通过推导等腰三角形实现线段的等量转化，此类题型属于几何部分的常考基础类型。
【难度系数】
0.7