2. 正n边形有个相等的中心角,它的每一个中心角的度数是$(n＞3).$

2. n $\frac{360°}{n}$

【分析】
解题时首先回忆正多边形中心角的相关概念：正多边形的中心角是其外接圆中对应每条边的圆心角。正n边形有n条等长的边，每条边对应1个中心角，因此中心角的个数和边数相等；又因为所有中心角拼接起来刚好是一个周角（360°），且正多边形的所有中心角大小相等，用周角度数除以中心角的个数就能得到单个中心角的度数。
【解析】
第一步，确定中心角的个数：正n边形有n条相等的边，每条边对应一个中心角，因此共有n个相等的中心角。
第二步，计算单个中心角的度数：所有中心角的和为周角360°，且n个中心角大小相等，因此每个中心角的度数为$360°÷ n=\frac{360°}{n}$。
【答案】
$n$；$\frac{360°}{n}$
【知识点】
正多边形的性质；中心角的计算
【点评】
本题考查正多边形中心角的基础概念，属于应知应会的基础题型，解题的关键是明确正多边形中心角的个数与边数相等、所有中心角的和为360°这两个核心要点。
【难度系数】
0.9

1.利用等分圆可以作正多边形,下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是（）

A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正七边形

1. D

【分析】
解答本题的核心是明确：用直尺和圆规作正多边形的本质是用直尺和圆规等分圆周，只需判断各选项对应的正多边形能否通过尺规实现对应份数的圆周等分即可。首先回忆常见的可通过尺规等分的圆周份数，再逐一验证选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正三角形：先画任意圆，以圆的半径为长度，在圆周上依次截取可得到6个等分点，间隔选取3个点顺次连接即可得到正三角形，可利用尺规作出；
B. 正方形：在圆中作两条互相垂直的直径，直径与圆的4个交点顺次连接即可得到正方形，可利用尺规作出；
C. 正六边形：以圆的半径为长度在圆周上依次截取，得到6个等分点，顺次连接各点即可得到正六边形，可利用尺规作出；
D. 正七边形：无法通过直尺和圆规将圆周准确七等分，因此不能利用尺规作出正七边形。
【答案】
D
【知识点】
1. 尺规作图
2. 正多边形与圆
【点评】
本题属于基础概念类题型，考查尺规作正多边形的原理，牢记常见的可通过尺规作出的正多边形类型，理解等分圆周的作图逻辑就能快速判断。
【难度系数】
0.8

2. 在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）

A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$

2. C

【分析】
解题时首先回忆正多边形与圆的关系：圆内接正多边形的各边相等，对应各边所对的劣弧度数也相等。我们可以先计算正五边形每条边对应劣弧的度数，再结合圆周角相关推论求解∠APB的度数：∠APB是圆内两条相交弦AC、BD形成的夹角，这类夹角的度数等于它所夹两段弧的度数和的一半，代入对应弧的度数即可算出结果。
【解析】
解：
∵正五边形ABCDE内接于圆
∴正五边形各边对应的劣弧度数相等
每段劣弧的度数为：$360° ÷ 5 = 72°$
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}=72°$
∵圆内两条相交弦形成的夹角的度数，等于该角所夹两段弧的度数和的一半
∠APB是弦AC、BD相交形成的角，所夹的弧为$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$
∴$∠ APB=\frac{1}{2}× (\overset{\frown}{AB}\mathrm{的度数}+\overset{\frown}{CD}\mathrm{的度数})=\frac{1}{2}×(72°+72°)=72°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合角度计算的典型题，解题的核心是先求出正五边形各边对应劣弧的度数，再灵活运用圆周角的推论计算相交弦的夹角，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 如图(1)(2)(3)(4)分别是$\odot O$的内接正三角形、正方形、正五边形、正$n$边形，点$M,N$分别从点$B,C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动.
(1)图(1)中，$∠ APN =$ 度；
图(2)中，$∠ APN =$ 度；
图(3)中，$∠ APN =$ 度.
(2)试探索$∠ APN$的度数与正$n$边形的边数$n$的关系.(直接写出答案)

3. (1) 60 90 108 (2) $∠ APN = \frac{(n - 2)· 180°}{n}$

【分析】
解题时先抓住点M、N运动速度相同的条件，可得弧BM=弧CN，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，推出∠BAM=∠CBN。再观察∠APN是△ABP的外角，利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，将∠APN转化为正多边形的内角∠ABC，最后根据正多边形内角公式计算各图形对应的角度，再推广到正n边形的情况即可。
【解析】
解：(1) 因为点M、N分别从点B、C开始以相同速度在$\odot O$上逆时针运动，所以$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAM = ∠ CBN$。
因为$∠ APN$是$△ ABP$的外角，所以$∠ APN = ∠ BAP + ∠ ABP$，
将$∠ BAP$替换为$∠ CBN$，可得$∠ APN = ∠ CBN + ∠ ABP = ∠ ABC$，即$∠ APN$等于对应正多边形的内角度数。
图(1)是正三角形，内角为$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，故$∠ APN=60°$；
图(2)是正方形，内角为$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，故$∠ APN=90°$；
图(3)是正五边形，内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，故$∠ APN=108°$。
(2) 由(1)的推导可知，正n边形的内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，因此$∠ APN = \frac{(n-2)·180°}{n}$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{90}$；$\boxed{108}$
(2) $\boxed{∠ APN = \dfrac{(n - 2)· 180°}{n}}$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；正多边形内角计算
【点评】
本题结合动点问题考察了圆与正多边形的相关性质，解题的突破口是利用等弧对应的圆周角相等，将所求角转化为正多边形的内角，很好地锻炼了从特殊到一般的规律探究能力。
【难度系数】
0.7

1. 直线与圆有怎样的位置关系？
你能用哪些方法刻画这些位置关系？
2. 切线的定义：.
切线的性质：.
切线的判定：.
切线长定理：.
三角形的内切圆：.
3. 怎样用直尺和圆规过圆上或圆外一点作圆的切线？
4. 怎样用直尺和圆规作出一个三角形的内切圆？
5. 正多边与圆有什么关系？

1. 直线与圆共有三种位置关系：相交、相切、相离。刻画方法：① 按公共点个数区分：直线与圆有2个公共点为相交，1个公共点为相切，0个公共点为相离；② 按圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系区分：d＜r时直线与圆相交，d=r时直线与圆相切，d＞r时直线与圆相离。
2. 切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点。
3. ① 过圆上一点P作切线：连接圆心O与点P得到半径OP，过点P作OP的垂线，该垂线就是圆的切线；② 过圆外一点P作切线：连接OP，以OP为直径作圆，该圆与已知圆交于A、B两点，直线PA、PB就是所求的两条切线。
4. 任取三角形的两个内角，分别作它们的角平分线，两条角平分线交于点I（内心），过点I作三角形任意一边的垂线，以I为圆心，垂线段的长度为半径作圆，所得的圆就是该三角形的内切圆。
5. 把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点，就可以得到这个圆的内接正n边形，任意一个正多边形也都有一个外接圆，正多边形的中心就是其外接圆的圆心，正多边形的半径就是其外接圆的半径。

【分析】
本题是圆章节的基础概念考查题，覆盖直线与圆的位置关系、切线相关定义与定理、圆相关尺规作图、正多边形与圆的联系等核心基础考点。解题时只需对应回忆教材中对应的定义、定理、规范操作步骤，逐一准确作答即可，注意概念表述要严谨，作图步骤要符合尺规作图的要求。
【解析】
1. 直线与圆共有三种位置关系：相交、相切、相离。刻画方法：① 按公共点个数区分：直线与圆有2个公共点为相交，1个公共点为相切，0个公共点为相离；② 按圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系区分：d＜r时直线与圆相交，d=r时直线与圆相切，d＞r时直线与圆相离。
2. 切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点。
3. ① 过圆上一点P作切线：连接圆心O与点P得到半径OP，过点P作OP的垂线，该垂线就是圆的切线；② 过圆外一点P作切线：连接OP，以OP为直径作圆，该圆与已知圆交于A、B两点，直线PA、PB就是所求的两条切线。
4. 任取三角形的两个内角，分别作它们的角平分线，两条角平分线交于点I（内心），过点I作三角形任意一边的垂线，以I为圆心，垂线段的长度为半径作圆，所得的圆就是该三角形的内切圆。
5. 把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点，就可以得到这个圆的内接正n边形，任意一个正多边形也都有一个外接圆，正多边形的中心就是其外接圆的圆心，正多边形的半径就是其外接圆的半径。
【答案】
1. 直线与圆共有三种位置关系：相交、相切、相离。刻画方法：① 按公共点个数区分：直线与圆有2个公共点为相交，1个公共点为相切，0个公共点为相离；② 按圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系区分：d＜r时直线与圆相交，d=r时直线与圆相切，d＞r时直线与圆相离。
2. 切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点。
3. ① 过圆上一点P作切线：连接圆心O与点P得到半径OP，过点P作OP的垂线，该垂线就是圆的切线；② 过圆外一点P作切线：连接OP，以OP为直径作圆，该圆与已知圆交于A、B两点，直线PA、PB就是所求的两条切线。
4. 任取三角形的两个内角，分别作它们的角平分线，两条角平分线交于点I（内心），过点I作三角形任意一边的垂线，以I为圆心，垂线段的长度为半径作圆，所得的圆就是该三角形的内切圆。
5. 把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点，就可以得到这个圆的内接正n边形，任意一个正多边形也都有一个外接圆，正多边形的中心就是其外接圆的圆心，正多边形的半径就是其外接圆的半径。
【知识点】
直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、正多边形与圆
【点评】
本题是圆模块核心基础概念的汇总考查题，涉及的所有知识点都是解决圆相关综合题的基础，需要学生准确记忆、熟练运用，为后续复杂题型的学习打好基础。
【难度系数】
0.8