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例 如图,蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为$12\ \mathrm{m}^2$,高为$3.2\ \mathrm{m}$,外围高$1.8\ \mathrm{m}$的蒙古包,至少需要多少平方米毛毡($π$取3.142,结果取整数)?
答案
解：设蒙古包底面圆的半径为$r$，由底面积为$12\ \mathrm{m}^2$，得$π r^2=12$，解得$r=\sqrt{\frac{12}{π}}\approx1.954\ \mathrm{m}$。
圆锥部分的高为$3.2-1.8=1.4\ \mathrm{m}$，因此圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+1.4^2}\approx\sqrt{1.954^2+1.4^2}\approx2.404\ \mathrm{m}$，圆锥的侧面积为$π rl\approx3.142×1.954×2.404\approx14.76\ \mathrm{m}^2$。
圆柱部分的侧面积为$2π r×1.8\approx2×3.142×1.954×1.8\approx22.10\ \mathrm{m}^2$。
单个蒙古包需要的毛毡面积为$14.76+22.10\approx36.86\ \mathrm{m}^2$，20个蒙古包需要的毛毡总面积为$20×36.86\approx737\ \mathrm{m}^2$。
圆锥部分的高为$3.2-1.8=1.4\ \mathrm{m}$，因此圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+1.4^2}\approx\sqrt{1.954^2+1.4^2}\approx2.404\ \mathrm{m}$，圆锥的侧面积为$π rl\approx3.142×1.954×2.404\approx14.76\ \mathrm{m}^2$。
圆柱部分的侧面积为$2π r×1.8\approx2×3.142×1.954×1.8\approx22.10\ \mathrm{m}^2$。
单个蒙古包需要的毛毡面积为$14.76+22.10\approx36.86\ \mathrm{m}^2$，20个蒙古包需要的毛毡总面积为$20×36.86\approx737\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确搭建蒙古包的毛毡只需覆盖侧面，即圆柱侧面积加圆锥侧面积（底面接触地面，不需要毛毡）。解题思路如下：第一步，根据已知底面积求出底面圆半径，圆锥和圆柱底面半径相等；第二步，用总高减去圆柱外围高得到圆锥的高，再通过勾股定理求出圆锥母线长，这是计算圆锥侧面积的必要条件；第三步，分别代入公式计算单个蒙古包的圆柱侧面积、圆锥侧面积，求和得到单个蒙古包的毛毡用量；第四步，乘20得到20个蒙古包的总毛毡面积，最后按要求取整数即可。
【解析】
解：设蒙古包底面圆的半径为$r$，
由底面积为$12\ \mathrm{m}^2$，得$π r^2=12$，解得$r=\sqrt{\frac{12}{π}}\approx1.954\ \mathrm{m}$。
圆锥部分的高为$3.2-1.8=1.4\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+1.4^2}\approx\sqrt{1.954^2+1.4^2}\approx2.404\ \mathrm{m}$，
圆锥的侧面积为$π rl\approx3.142×1.954×2.404\approx14.76\ \mathrm{m}^2$。
圆柱部分的侧面积为$2π r×1.8\approx2×3.142×1.954×1.8\approx22.10\ \mathrm{m}^2$。
单个蒙古包需要的毛毡面积为$14.76+22.10\approx36.86\ \mathrm{m}^2$，
20个蒙古包需要的毛毡总面积为$20×36.86\approx737\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
至少需要$\boxed{737}$平方米的毛毡。
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆柱侧面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题结合生活实际考查几何体表面积的实际应用，解题时需结合实际场景排除不需要计算的底面面积，准确提取各部分几何体的对应数据代入公式计算即可，注意结果要根据实际需求取整。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确搭建蒙古包的毛毡只需覆盖侧面，即圆柱侧面积加圆锥侧面积（底面接触地面，不需要毛毡）。解题思路如下：第一步，根据已知底面积求出底面圆半径，圆锥和圆柱底面半径相等；第二步，用总高减去圆柱外围高得到圆锥的高，再通过勾股定理求出圆锥母线长，这是计算圆锥侧面积的必要条件；第三步，分别代入公式计算单个蒙古包的圆柱侧面积、圆锥侧面积，求和得到单个蒙古包的毛毡用量；第四步，乘20得到20个蒙古包的总毛毡面积，最后按要求取整数即可。
【解析】
解：设蒙古包底面圆的半径为$r$，
由底面积为$12\ \mathrm{m}^2$，得$π r^2=12$，解得$r=\sqrt{\frac{12}{π}}\approx1.954\ \mathrm{m}$。
圆锥部分的高为$3.2-1.8=1.4\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+1.4^2}\approx\sqrt{1.954^2+1.4^2}\approx2.404\ \mathrm{m}$，
圆锥的侧面积为$π rl\approx3.142×1.954×2.404\approx14.76\ \mathrm{m}^2$。
圆柱部分的侧面积为$2π r×1.8\approx2×3.142×1.954×1.8\approx22.10\ \mathrm{m}^2$。
单个蒙古包需要的毛毡面积为$14.76+22.10\approx36.86\ \mathrm{m}^2$，
20个蒙古包需要的毛毡总面积为$20×36.86\approx737\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
至少需要$\boxed{737}$平方米的毛毡。
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆柱侧面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题结合生活实际考查几何体表面积的实际应用，解题时需结合实际场景排除不需要计算的底面面积，准确提取各部分几何体的对应数据代入公式计算即可，注意结果要根据实际需求取整。
【难度系数】
0.7
1. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个半圆. 若此半圆的半径为6 cm，则原圆锥的底面圆半径r为
3
cm.答案
1. 3
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图和原圆锥的核心等量关系：圆锥侧面展开得到的扇形弧长等于原圆锥底面圆的周长。我们可以先根据已知的半圆半径求出半圆的弧长，再利用上述等量关系列方程，就能求出底面圆半径r。
【解析】
1. 计算侧面展开半圆的弧长：
半圆的弧长为对应整圆周长的一半，已知半圆半径$ R=6\mathrm{cm} $，整圆周长为$ 2π R $，因此半圆弧长$ l=\frac{1}{2}×2π R=π R=6π\ \mathrm{cm} $。
2. 根据等量关系列方程求解：
圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长为$ 2π r $，因此有：
$ 2π r = 6π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=3\ \mathrm{cm} $。
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；圆周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的等量关系，熟练掌握弧长、圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图和原圆锥的核心等量关系：圆锥侧面展开得到的扇形弧长等于原圆锥底面圆的周长。我们可以先根据已知的半圆半径求出半圆的弧长，再利用上述等量关系列方程，就能求出底面圆半径r。
【解析】
1. 计算侧面展开半圆的弧长：
半圆的弧长为对应整圆周长的一半，已知半圆半径$ R=6\mathrm{cm} $，整圆周长为$ 2π R $，因此半圆弧长$ l=\frac{1}{2}×2π R=π R=6π\ \mathrm{cm} $。
2. 根据等量关系列方程求解：
圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长为$ 2π r $，因此有：
$ 2π r = 6π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=3\ \mathrm{cm} $。
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；圆周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的等量关系，熟练掌握弧长、圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则它的侧面展开图的面积为
$3π\ \mathrm{cm}^2$
。答案
2. $3π\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先明确圆锥的侧面展开图是扇形，要求侧面展开图的面积，可通过两种思路推导：一是直接使用圆锥侧面积的常用公式，二是结合扇形面积公式计算。其中展开后扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面的周长，我们结合已知的底面半径、母线长，代入对应公式即可求出结果。
【解析】
方法1：直接使用圆锥侧面积公式
圆锥侧面积计算公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $，其中$ r $为圆锥底面半径，$ l $为圆锥母线长。
将$ r=1\ \mathrm{cm} $，$ l=3\ \mathrm{cm} $代入公式得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π×1×3=3π\ \mathrm{cm}^2 $
方法2：通过扇形面积公式推导
圆锥侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥母线长$ R=3\ \mathrm{cm} $，
扇形的弧长等于圆锥底面周长：$ L=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm} $，
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}LR $，代入得：
$ S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π×3=3π\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 3π\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆锥侧面积计算，扇形面积公式，立体图形展开图
【点评】
本题是基础类题型，主要考查圆锥与其侧面展开图的各部分对应关系，熟练掌握相关公式即可快速求解，解题时注意不要混淆底面半径和母线长的对应关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆锥的侧面展开图是扇形，要求侧面展开图的面积，可通过两种思路推导：一是直接使用圆锥侧面积的常用公式，二是结合扇形面积公式计算。其中展开后扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面的周长，我们结合已知的底面半径、母线长，代入对应公式即可求出结果。
【解析】
方法1：直接使用圆锥侧面积公式
圆锥侧面积计算公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $，其中$ r $为圆锥底面半径，$ l $为圆锥母线长。
将$ r=1\ \mathrm{cm} $，$ l=3\ \mathrm{cm} $代入公式得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π×1×3=3π\ \mathrm{cm}^2 $
方法2：通过扇形面积公式推导
圆锥侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥母线长$ R=3\ \mathrm{cm} $，
扇形的弧长等于圆锥底面周长：$ L=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm} $，
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}LR $，代入得：
$ S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π×3=3π\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 3π\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆锥侧面积计算，扇形面积公式，立体图形展开图
【点评】
本题是基础类题型，主要考查圆锥与其侧面展开图的各部分对应关系，熟练掌握相关公式即可快速求解，解题时注意不要混淆底面半径和母线长的对应关系。
【难度系数】
0.9
3. 如图,扇形圆心角 ∠AOB = α,半径OA = 6,把扇形做成圆锥后,其底面半径为2.
(1) 求α的值;
(2) 点C是OA上的一点,若OC = 4,求S阴影·
(1) 求α的值;
(2) 点C是OA上的一点,若OC = 4,求S阴影·
答案
(1) 由扇形弧长等于圆锥底面周长可得：$\frac{απ×6}{180}=2π×2$，解得$α=120°$
(2) $S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ OBC}=\frac{120π×6^2}{360}-\frac{1}{2}×6×4×\sin120°=12π-6\sqrt{3}$
(2) $S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ OBC}=\frac{120π×6^2}{360}-\frac{1}{2}×6×4×\sin120°=12π-6\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 第一问的核心解题依据是圆锥侧面展开图的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先回忆弧长公式和圆的周长公式，将已知的扇形半径、圆锥底面半径代入等量关系列方程，即可求解圆心角α。
(2) 第二问采用割补法求不规则阴影面积：观察图形可知阴影部分面积等于扇形AOB的面积减去△OBC的面积。先利用扇形面积公式求出扇形面积，再利用两边及夹角的三角形面积公式求出△OBC的面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 圆锥侧面展开的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
扇形弧长公式为$l=\frac{απ·OA}{180}$，圆锥底面周长为$2πr$（r为底面半径），
代入已知OA=6，r=2，可得：
$\frac{απ×6}{180}=2π×2$
化简解得：$α=120°$。
(2) 由图形可得$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△OBC}$：
① 计算扇形AOB面积：代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），得
$S_{扇形AOB}=\frac{120π×6^2}{360}=12π$；
② 计算△OBC面积：已知OB=6，OC=4，夹角∠BOC=120°，$\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入两边及夹角的三角形面积公式，得
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×6×4×\sin120°=6\sqrt{3}$；
③ 作差得阴影面积：$S_{阴影}=12π-6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{α=120°}$
(2) $\boldsymbol{S_{阴影}=12π-6\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 圆锥展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 扇形面积计算
【点评】
本题是扇形与圆锥相关的基础常考题，重点考察公式的记忆和运用，以及不规则图形面积的割补求解思路，理清展开图的对应等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的核心解题依据是圆锥侧面展开图的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先回忆弧长公式和圆的周长公式，将已知的扇形半径、圆锥底面半径代入等量关系列方程，即可求解圆心角α。
(2) 第二问采用割补法求不规则阴影面积：观察图形可知阴影部分面积等于扇形AOB的面积减去△OBC的面积。先利用扇形面积公式求出扇形面积，再利用两边及夹角的三角形面积公式求出△OBC的面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 圆锥侧面展开的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
扇形弧长公式为$l=\frac{απ·OA}{180}$，圆锥底面周长为$2πr$（r为底面半径），
代入已知OA=6，r=2，可得：
$\frac{απ×6}{180}=2π×2$
化简解得：$α=120°$。
(2) 由图形可得$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△OBC}$：
① 计算扇形AOB面积：代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），得
$S_{扇形AOB}=\frac{120π×6^2}{360}=12π$；
② 计算△OBC面积：已知OB=6，OC=4，夹角∠BOC=120°，$\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入两边及夹角的三角形面积公式，得
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×6×4×\sin120°=6\sqrt{3}$；
③ 作差得阴影面积：$S_{阴影}=12π-6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{α=120°}$
(2) $\boldsymbol{S_{阴影}=12π-6\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 圆锥展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 扇形面积计算
【点评】
本题是扇形与圆锥相关的基础常考题，重点考察公式的记忆和运用，以及不规则图形面积的割补求解思路，理清展开图的对应等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1. 如图,已知扇形AOB的半径为6 cm,圆心角的度数为120°.若将此扇形围成一个圆锥,则围成的圆锥的侧面积为(
A.$4π \ \mathrm{cm}^2$
B.$6π \ \mathrm{cm}^2$
C.$9π \ \mathrm{cm}^2$
D.$12π \ \mathrm{cm}^2$
D
)A.$4π \ \mathrm{cm}^2$
B.$6π \ \mathrm{cm}^2$
C.$9π \ \mathrm{cm}^2$
D.$12π \ \mathrm{cm}^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要计算围成圆锥的侧面积，首先明确圆锥的侧面积就是用来围成它的扇形AOB的面积，二者面积相等，不需要额外计算圆锥的底面参数，直接利用扇形面积公式求解即可。首先回忆扇形面积公式：圆心角为n°、半径为R的扇形面积为$S=\frac{nπ R^2}{360}$，接下来把题目里的圆心角120°、半径6cm代入公式计算即可。
【解析】
圆锥的侧面积与原扇形AOB的面积相等，根据扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$
其中n=120°，R=6cm，代入得：
$S=\frac{120π × 6^2}{360}=\frac{120π × 36}{360}=12π \ (\mathrm{cm}^2)$
因此圆锥的侧面积为$12π \ \mathrm{cm}^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算、圆锥侧面积计算
【点评】
本题考查扇形和圆锥展开图的对应关系，解题的核心是明确圆锥侧面积等于围成它的扇形的面积，直接套用扇形面积公式即可求解，避免做多余的计算。
【难度系数】
0.8
要计算围成圆锥的侧面积，首先明确圆锥的侧面积就是用来围成它的扇形AOB的面积，二者面积相等，不需要额外计算圆锥的底面参数，直接利用扇形面积公式求解即可。首先回忆扇形面积公式：圆心角为n°、半径为R的扇形面积为$S=\frac{nπ R^2}{360}$，接下来把题目里的圆心角120°、半径6cm代入公式计算即可。
【解析】
圆锥的侧面积与原扇形AOB的面积相等，根据扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$
其中n=120°，R=6cm，代入得：
$S=\frac{120π × 6^2}{360}=\frac{120π × 36}{360}=12π \ (\mathrm{cm}^2)$
因此圆锥的侧面积为$12π \ \mathrm{cm}^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算、圆锥侧面积计算
【点评】
本题考查扇形和圆锥展开图的对应关系，解题的核心是明确圆锥侧面积等于围成它的扇形的面积，直接套用扇形面积公式即可求解，避免做多余的计算。
【难度系数】
0.8
2. 圆锥母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么它的侧面展开图的圆心角是(
A.$180°$
B.$200°$
C.$225°$
D.$216°$
D
)A.$180°$
B.$200°$
C.$225°$
D.$216°$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先计算出圆锥底面的周长，再结合扇形弧长公式，建立关于圆心角的等式，求解即可得到答案。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$r=3\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×3=6π\mathrm{cm}$。
2. 结合扇形弧长公式列等式：
圆锥母线长$R=5\mathrm{cm}$，即侧面展开扇形的半径为$5\mathrm{cm}$，且扇形弧长等于底面圆周长。根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入已知量得：
$6π=\frac{nπ×5}{180}$
3. 求解$n$：
两边同时消去$π$，整理得$5n=6×180$，解得$n=216$。
因此侧面展开图的圆心角为$216°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；扇形弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是立体图形与平面图形转化的典型基础题，解题的核心是抓住圆锥与展开扇形之间的两个等量关系，即弧长等于底面周长、母线长等于扇形半径，牢记这两个关系就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需明确圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先计算出圆锥底面的周长，再结合扇形弧长公式，建立关于圆心角的等式，求解即可得到答案。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$r=3\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×3=6π\mathrm{cm}$。
2. 结合扇形弧长公式列等式：
圆锥母线长$R=5\mathrm{cm}$，即侧面展开扇形的半径为$5\mathrm{cm}$，且扇形弧长等于底面圆周长。根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入已知量得：
$6π=\frac{nπ×5}{180}$
3. 求解$n$：
两边同时消去$π$，整理得$5n=6×180$，解得$n=216$。
因此侧面展开图的圆心角为$216°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；扇形弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是立体图形与平面图形转化的典型基础题，解题的核心是抓住圆锥与展开扇形之间的两个等量关系，即弧长等于底面周长、母线长等于扇形半径，牢记这两个关系就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
3. 圆锥的底面圆周长为$6π$ cm, 高为4 cm, 则该圆锥的全面积是
24π cm²
, 侧面展开图的圆心角是216°
.答案
3. 24π cm² 216°
解析
【分析】
解题时先从已知的底面周长出发，第一步先求出底面圆的半径；再利用底面半径、圆锥的高通过勾股定理求出圆锥的母线长，圆锥全面积等于底面积加侧面积，结合母线长和底面周长即可求出侧面积，进而得到全面积；最后根据侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，代入弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角。
【解析】
1. 求底面圆半径：
已知底面圆周长为$6π$cm，由圆的周长公式$C=2π r$，得$2π r=6π$，解得$r=3$cm。
2. 求圆锥母线长：
圆锥的高$h=4$cm，底面半径$r$、高$h$、母线长$l$构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
3. 计算全面积：
底面积$S_底=π r^2=π×3^2=9π$ cm²，
侧面积$S_侧=\frac{1}{2}× C× l=\frac{1}{2}×6π×5=15π$ cm²，
因此全面积$S_全=S_底+S_侧=9π+15π=24π$ cm²。
4. 求侧面展开图的圆心角：
侧面展开扇形的弧长等于底面周长$6π$，扇形半径等于母线长$5$cm，由弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ l}{180}$，代入得：
$6π=\frac{nπ×5}{180}$，
约去$π$后解得$n=\frac{6×180}{5}=216°$。
【答案】
$24π\ \mathrm{cm}^2$；$216°$
【知识点】
圆锥的性质；扇形弧长与面积公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥计算的基础常考题，解题核心是明确圆锥和侧面展开扇形各元素的对应关系，熟记相关公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的底面周长出发，第一步先求出底面圆的半径；再利用底面半径、圆锥的高通过勾股定理求出圆锥的母线长，圆锥全面积等于底面积加侧面积，结合母线长和底面周长即可求出侧面积，进而得到全面积；最后根据侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，代入弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角。
【解析】
1. 求底面圆半径：
已知底面圆周长为$6π$cm，由圆的周长公式$C=2π r$，得$2π r=6π$，解得$r=3$cm。
2. 求圆锥母线长：
圆锥的高$h=4$cm，底面半径$r$、高$h$、母线长$l$构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
3. 计算全面积：
底面积$S_底=π r^2=π×3^2=9π$ cm²，
侧面积$S_侧=\frac{1}{2}× C× l=\frac{1}{2}×6π×5=15π$ cm²，
因此全面积$S_全=S_底+S_侧=9π+15π=24π$ cm²。
4. 求侧面展开图的圆心角：
侧面展开扇形的弧长等于底面周长$6π$，扇形半径等于母线长$5$cm，由弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ l}{180}$，代入得：
$6π=\frac{nπ×5}{180}$，
约去$π$后解得$n=\frac{6×180}{5}=216°$。
【答案】
$24π\ \mathrm{cm}^2$；$216°$
【知识点】
圆锥的性质；扇形弧长与面积公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥计算的基础常考题，解题核心是明确圆锥和侧面展开扇形各元素的对应关系，熟记相关公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB = 4，连接AD，AC，DE ⊥ AB，垂足为点E，DE交AC于点F.
(1) 求$∠ AFE$的度数；
(2) 求阴影部分的面积.（结果保留$π$和根号）
(1) 求$∠ AFE$的度数；
(2) 求阴影部分的面积.（结果保留$π$和根号）
答案
(1) 连接OD,OC,∠AFE = 60°;(2) $\frac{2}{3}π - \sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 求解∠AFE的度数时，先利用半圆三等分点的性质得到各段弧对应的圆心角为60°，再根据圆周角定理求出∠CAB的度数，最后结合DE⊥AB得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠AFE。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积差计算：阴影面积=扇形AOD的面积减去△AOD的面积。先确定扇形AOD的圆心角和半径，再判断△AOD为等边三角形求出其面积，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OD、OC。
∵AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的三等分点，
∴弧AD=弧DC=弧CB，对应的圆心角$∠ AOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{180°}{3}=60°$，
根据圆周角定理，$∠ CAB=\frac{1}{2}∠ COB=30°$，
∵DE⊥AB，
∴$∠ AEF=90°$，
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°-∠ CAB=90°-30°=60°$。
(2) 已知直径AB=4，
∴半径$OA=OD=2$，
∵$∠ AOD=60°$，$OA=OD$，
∴$△ AOD$是等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴DE是等边$△ AOD$的高，$DE=OD·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
扇形AOD的面积：$S_{扇形AOD}=\frac{60°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{6}×π×4=\frac{2π}{3}$，
$△ AOD$的面积：$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA× DE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴阴影部分面积$=S_{扇形AOD}-S_{△ AOD}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{2}{3}π - \sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理；扇形面积计算；等边三角形的性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题核心是利用三等分点得到圆心角度数，再通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，掌握圆的基本性质和扇形面积公式是解题关键。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠AFE的度数时，先利用半圆三等分点的性质得到各段弧对应的圆心角为60°，再根据圆周角定理求出∠CAB的度数，最后结合DE⊥AB得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠AFE。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积差计算：阴影面积=扇形AOD的面积减去△AOD的面积。先确定扇形AOD的圆心角和半径，再判断△AOD为等边三角形求出其面积，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OD、OC。
∵AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的三等分点，
∴弧AD=弧DC=弧CB，对应的圆心角$∠ AOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{180°}{3}=60°$，
根据圆周角定理，$∠ CAB=\frac{1}{2}∠ COB=30°$，
∵DE⊥AB，
∴$∠ AEF=90°$，
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°-∠ CAB=90°-30°=60°$。
(2) 已知直径AB=4，
∴半径$OA=OD=2$，
∵$∠ AOD=60°$，$OA=OD$，
∴$△ AOD$是等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴DE是等边$△ AOD$的高，$DE=OD·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
扇形AOD的面积：$S_{扇形AOD}=\frac{60°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{6}×π×4=\frac{2π}{3}$，
$△ AOD$的面积：$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA× DE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴阴影部分面积$=S_{扇形AOD}-S_{△ AOD}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{2}{3}π - \sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理；扇形面积计算；等边三角形的性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题核心是利用三等分点得到圆心角度数，再通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，掌握圆的基本性质和扇形面积公式是解题关键。
【难度系数】
0.65
