15.如图15-15，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为C，D，连接CD，交OE于点F。
(1)求证：OE是CD的垂直平分线。
(2)若∠AOB=60°，请探究OE，EF之间有什么数量关系，并证明你的结论。

15.(1)证明: $\because OE$ 是 $∠ AOB$ 的平分线,$EC ⊥ OB, ED ⊥ OA, \therefore DE=CE$.
在 $\mathrm{Rt} △ ODE$ 和 $\mathrm{Rt} △ OCE$ 中,$\begin{cases}OE=OE, \\ DE=CE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ ODE ≌ \mathrm{Rt} △ OCE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OD=OC$.
$\therefore △ DOC$ 是等腰三角形.
$\because OE$ 是 $∠ AOB$ 的平分线,$\therefore OF ⊥ CD, CF=DF$.
$\therefore OE$ 是 $CD$ 的垂直平分线.
(2)解: $OE=4EF$.
证明: $\because OE$ 是 $∠ AOB$ 的平分线, $∠ AOB=60°$,$\therefore ∠ AOE=∠ BOE=30°$.
$\because EC ⊥ OB, ED ⊥ OA, OE ⊥ CD$,$\therefore OE=2DE, ∠ ODF=∠ OED=60°$.
$\therefore ∠ EDF=30°. \therefore DE=2EF$.
$\therefore OE=4EF.$

1.(河北省)如图15-16所示，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D。下列不一定正确的是()

A.$AD⊥ BC$
B.$AC⊥ PQ$
C.$△ ABO≌△ CDO$
D.$AC// BD$



图15-16
图15-17
图15-18

1.A

2.(兰州市)如图15-17所示,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=130°$,$DA⊥ AC$,则$∠ ADB=$（）

A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$

2.B

3.(云南省)已知AF是等腰$△ ABC$底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为()

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

3.C 点拨: $\because AF$ 是等腰 $△ ABC$ 底边 $BC$ 上的高, $\therefore AF$ 是 $∠ BAC$ 的平分线. $\because$ 点 $F$ 到直线 $AB$ 的距离为 $3, \therefore$ 点 $F$ 到直线 $AC$ 的距离也为 3, 故选 C.

4.(襄阳市)如图15-18,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()

A.$DB=DE$
B.$AB=AE$
C.$∠ EDC=∠ BAC$
D.$∠ DAC=∠ C$

4.D