12.如图15-12所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG//AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G。
(1)求证:△AFG是等腰三角形。
(2)若CE=EF，∠BAC=80°，求∠B的度数。

图15-12

12.(1)证明: $\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
$\because EG // AD$,$\therefore ∠ BAD=∠ G, ∠ CAD=∠ AFG$,$\therefore ∠ G=∠ AFG, \therefore AF=AG$,$\therefore △ AFG$ 是等腰三角形.
(2)解: $\because CE=EF, \therefore ∠ CFE=∠ C$.
$\because ∠ AFG=∠ CFE, ∠ AFG=∠ CAD$,$\therefore ∠ C=∠ CAD$.
$\because ∠ BAC=80°, AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ C=∠ CAD=40°$,$\therefore ∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=60°.$

13.如图15-13,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,且$BE=AC$.
(1)求证$AD⊥ BC$;
(2)若$∠ C=70°$,求$∠ BAC$的度数.

图15-13

13.(1)证明:连接 $AE$.
$\because EF$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore BE=AE$.
$\because BE=AC, \therefore AE=AC$.
$\because D$ 为线段 $CE$ 的中点, $\therefore AD ⊥ BC$.
(2)解: $\because AE=BE, \therefore ∠ B=∠ BAE$.
$\because ∠ AEC$ 是 $△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=2 ∠ B$.
$\because AE=AC, \therefore ∠ AEC=∠ C=2 ∠ B$.
$\because ∠ C=70°, \therefore ∠ B=35°$.
$\because ∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$,$\therefore ∠ BAC=180°-35°-70°=75°.$

14. 如图15-14，在$△ ABC$中，已知$∠ ABC=3∠ C$，$AD$平分$∠ BAC$，$BE⊥ AD$于点$E$.求证 $BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.

14. 证明:延长 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$.
$\because BF ⊥ AD, \therefore ∠ AEB=∠ AEF$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ BAE=∠ FAE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ AFE$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF, \\ AE=AE, \\ ∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ AFE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB, AB=AF, BE=EF$.
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF$,$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3 ∠ C$,$\therefore ∠ C+2 ∠ CBF=3 ∠ C$.
$\therefore ∠ CBF=∠ C$.
$\therefore BF=CF. \therefore BE=\frac{1}{2} BF=\frac{1}{2} CF$.
$\because CF=AC-AF=AC-AB$,$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$