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1. 关于$x$的方程$ax^2 -3x +2=0$是一元二次方程，则(
A.$a＞0$
B.$a≠0$
C.$a=1$
D.$a≥0$
B
)A.$a＞0$
B.$a≠0$
C.$a=1$
D.$a≥0$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的定义特征：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数），其中最重要的限制条件是二次项系数$a$不能为0，若$a=0$，方程的二次项消失，就会退化为一元一次方程，不符合题意。因此我们只需要根据这个限制条件判断$a$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，其一般形式$ax^2+bx+c=0$要求二次项系数$a≠0$。
本题中方程$ax^2 -3x +2=0$为一元二次方程，因此二次项系数$a$不能为0，即$a≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，只要熟练掌握相关定义就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的定义特征：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数），其中最重要的限制条件是二次项系数$a$不能为0，若$a=0$，方程的二次项消失，就会退化为一元一次方程，不符合题意。因此我们只需要根据这个限制条件判断$a$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，其一般形式$ax^2+bx+c=0$要求二次项系数$a≠0$。
本题中方程$ax^2 -3x +2=0$为一元二次方程，因此二次项系数$a$不能为0，即$a≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，只要熟练掌握相关定义就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解方程$x^2 +10x +9=0$，配方后可得(
A.$(x+5)^2=16$
B.$(x+5)^2=1$
C.$(x+10)^2=91$
D.$(x+10)^2=109$
A
)A.$(x+5)^2=16$
B.$(x+5)^2=1$
C.$(x+10)^2=91$
D.$(x+10)^2=109$
答案
2. A
解析
【分析】
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐步推导。配方法处理二次项系数为1的一元二次方程时，步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，整理后即可得到配方后的结果。本题方程的二次项系数已经是1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
解：首先对原方程移项，将常数项9移到等号右侧，得：
$x^2 + 10x = -9$
一次项系数为10，它的一半是5，平方为$5^2=25$，在等式两边同时加上25，得：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x+5)^2$，右侧计算得16，即：
$(x+5)^2 = 16$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方时要在等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数的情况。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐步推导。配方法处理二次项系数为1的一元二次方程时，步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，整理后即可得到配方后的结果。本题方程的二次项系数已经是1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
解：首先对原方程移项，将常数项9移到等号右侧，得：
$x^2 + 10x = -9$
一次项系数为10，它的一半是5，平方为$5^2=25$，在等式两边同时加上25，得：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x+5)^2$，右侧计算得16，即：
$(x+5)^2 = 16$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方时要在等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数的情况。
【难度系数】
0.8
3. 方程$x(x-1)=x$的根是(
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=-2,x_2=0$
D.$x_1=2,x_2=0$
D
)A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=-2,x_2=0$
D.$x_1=2,x_2=0$
答案
3. D
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求根的题目，解题时要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先移项，将方程右侧的项移到左侧，再通过提取公因式进行因式分解，令每个因式等于0，即可求出方程的全部根。
【解析】
解：原方程为$x(x-1)=x$，
1. 移项，将右侧的$x$移到左侧，得：
$x(x-1)-x=0$
2. 提取公因式$x$，整理得：
$x[(x-1)-1]=0$，即$x(x-2)=0$
3. 令每个因式的值为0，可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题属于解方程的基础题型，易错点是直接在方程两边除以未知数导致漏根，解题时优先选择移项后因式分解的方法，既能提高解题速度也能避免漏根的问题。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程求根的题目，解题时要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先移项，将方程右侧的项移到左侧，再通过提取公因式进行因式分解，令每个因式等于0，即可求出方程的全部根。
【解析】
解：原方程为$x(x-1)=x$，
1. 移项，将右侧的$x$移到左侧，得：
$x(x-1)-x=0$
2. 提取公因式$x$，整理得：
$x[(x-1)-1]=0$，即$x(x-2)=0$
3. 令每个因式的值为0，可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题属于解方程的基础题型，易错点是直接在方程两边除以未知数导致漏根，解题时优先选择移项后因式分解的方法，既能提高解题速度也能避免漏根的问题。
【难度系数】
0.7
4. (2025·广州月考)下表是某公司2024年1月份至5月份的收入统计表，其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为(
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 收入/万元 | 10 |
| 12 | 14 | |
A.$10(1+x)^2=12-10$
B.$10(1+x)^2=14$
C.$10(1+x)(1+2x)=1$
D.$10(1+x)^2=12$
D
)| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 收入/万元 | 10 |
| 12 | 14 | |A.$10(1+x)^2=12-10$
B.$10(1+x)^2=14$
C.$10(1+x)(1+2x)=1$
D.$10(1+x)^2=12$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先回忆增长率问题的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。首先明确1月收入为10万元，2月、3月的增长率均为x，先推导2月的收入表达式，再以2月收入为基础推导3月的收入表达式，最后结合表格给出的3月收入为12万元的条件，即可列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知1月份收入为10万元，2月份相对1月份的增长率为x，因此2月份收入为：$10(1+x)$ 万元。
又因为3月份相对2月份的增长率也为x，因此3月份收入为：$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$ 万元。
根据表格可知3月份收入为12万元，因此可列方程：$10(1+x)^2 = 12$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，核心是掌握连续增长情况下量的计算逻辑，解题时只需找准初始量、增长率、最终量三个要素就能快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆增长率问题的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。首先明确1月收入为10万元，2月、3月的增长率均为x，先推导2月的收入表达式，再以2月收入为基础推导3月的收入表达式，最后结合表格给出的3月收入为12万元的条件，即可列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知1月份收入为10万元，2月份相对1月份的增长率为x，因此2月份收入为：$10(1+x)$ 万元。
又因为3月份相对2月份的增长率也为x，因此3月份收入为：$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$ 万元。
根据表格可知3月份收入为12万元，因此可列方程：$10(1+x)^2 = 12$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，核心是掌握连续增长情况下量的计算逻辑，解题时只需找准初始量、增长率、最终量三个要素就能快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
5. 一个多边形有9条对角线,则该多边形的边数是(
A.6
B.7
C.8
D.9
A
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形对角线总条数与边数的关系公式，已知对角线数量求边数，可通过设边数为未知数，代入公式列一元二次方程求解，最后根据边数为正整数的实际意义舍去不合理的解即可。
【解析】
设该多边形的边数为$ n $（$ n $为正整数，且$ n≥3 $）。
根据$ n $边形的对角线总条数公式：$ \mathrm{对角线总条数}=\frac{n(n-3)}{2} $，已知对角线共9条，列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=9$
去分母得：$ n^2 - 3n = 18 $
移项整理为一元二次方程标准形式：$ n^2 - 3n - 18 = 0 $
因式分解得：$ (n-6)(n+3)=0 $
解得：$ n_1=6 $，$ n_2=-3 $
因为多边形边数为正整数，故舍去$ n=-3 $，即多边形边数为6。
【答案】
A
【知识点】
1. 多边形对角线公式
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查多边形对角线公式的记忆与应用，解题时需注意多边形边数必须为正整数，要舍去不符合实际意义的解，熟练掌握公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多边形对角线总条数与边数的关系公式，已知对角线数量求边数，可通过设边数为未知数，代入公式列一元二次方程求解，最后根据边数为正整数的实际意义舍去不合理的解即可。
【解析】
设该多边形的边数为$ n $（$ n $为正整数，且$ n≥3 $）。
根据$ n $边形的对角线总条数公式：$ \mathrm{对角线总条数}=\frac{n(n-3)}{2} $，已知对角线共9条，列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=9$
去分母得：$ n^2 - 3n = 18 $
移项整理为一元二次方程标准形式：$ n^2 - 3n - 18 = 0 $
因式分解得：$ (n-6)(n+3)=0 $
解得：$ n_1=6 $，$ n_2=-3 $
因为多边形边数为正整数，故舍去$ n=-3 $，即多边形边数为6。
【答案】
A
【知识点】
1. 多边形对角线公式
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查多边形对角线公式的记忆与应用，解题时需注意多边形边数必须为正整数，要舍去不符合实际意义的解，熟练掌握公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.若0是关于x的一元二次方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$的一个根，则$k=$
-2
.答案
6. -2
解析
【分析】
解题时先利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=0代入原方程得到关于k的方程，求出k的初步取值；再结合一元二次方程的定义，要求二次项系数不为0，排除不符合要求的k值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 0是关于x的一元二次方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$的一个根，
∴ 将$x=0$代入方程，等式成立，即：
$(k-2)×0^2 + 3×0 + k^2 -4 = 0$
化简得：$k^2 -4 = 0$
解得：$k_1=2$，$k_2=-2$
又
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k-2 ≠ 0$，即$k ≠ 2$，
∴ 舍去$k=2$，故$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出k=±2的错误结果，解题时要注意结合题目给出的方程类型排查约束条件。
【难度系数】
0.6
解题时先利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=0代入原方程得到关于k的方程，求出k的初步取值；再结合一元二次方程的定义，要求二次项系数不为0，排除不符合要求的k值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 0是关于x的一元二次方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$的一个根，
∴ 将$x=0$代入方程，等式成立，即：
$(k-2)×0^2 + 3×0 + k^2 -4 = 0$
化简得：$k^2 -4 = 0$
解得：$k_1=2$，$k_2=-2$
又
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k-2 ≠ 0$，即$k ≠ 2$，
∴ 舍去$k=2$，故$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出k=±2的错误结果，解题时要注意结合题目给出的方程类型排查约束条件。
【难度系数】
0.6
7.若方程$(n-3)x^{|n|-1}+3x+3n=0$是关于x的一元二次方程，则n=
-3
.答案
7. -3
解析
【分析】
要确定n的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需同时满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。我们先根据最高次数为2列出关于n的方程，再结合二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到n的结果。
【解析】
∵方程$(n-3)x^{|n|-1}+3x+3n=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：$|n|-1=2$
解该方程得$|n|=3$，即$n=3$或$n=-3$
2. 二次项系数不为0：$n-3≠0$，即$n≠3$
综上，排除不符合要求的$n=3$，可得$n=-3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误将n=3也作为符合要求的结果，解题时要牢记一元二次方程的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.6
要确定n的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需同时满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。我们先根据最高次数为2列出关于n的方程，再结合二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到n的结果。
【解析】
∵方程$(n-3)x^{|n|-1}+3x+3n=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：$|n|-1=2$
解该方程得$|n|=3$，即$n=3$或$n=-3$
2. 二次项系数不为0：$n-3≠0$，即$n≠3$
综上，排除不符合要求的$n=3$，可得$n=-3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误将n=3也作为符合要求的结果，解题时要牢记一元二次方程的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.6
8.若方程$x^2 - 3x -1=0$的两根为$x_1,x_2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值为
-3
。答案
8. -3
解析
【分析】
首先观察所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，可先通过通分将其变形为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式；再结合已知的一元二次方程，利用根与系数的关系直接求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，最后代入变形后的代数式计算即可，无需解出方程的两个根，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 - 3x -1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$
对所求代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$代入上式得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{-1}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简运算
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，通过对所求代数式变形后整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐计算，属于基础常考题型，熟练掌握韦达定理和分式变形是解题关键。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，可先通过通分将其变形为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式；再结合已知的一元二次方程，利用根与系数的关系直接求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，最后代入变形后的代数式计算即可，无需解出方程的两个根，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 - 3x -1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$
对所求代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$代入上式得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{-1}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简运算
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，通过对所求代数式变形后整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐计算，属于基础常考题型，熟练掌握韦达定理和分式变形是解题关键。
【难度系数】
0.8
9.某校九年级学生毕业时,每个学生都将自己的相片向全班其他同学各送1张留作纪念,全班共送了1 640张相片.如果全班有x名学生,根据题意列出的方程为
$x(x - 1) = 1640$
.答案
9. $x(x - 1) = 1640$
解析
【分析】
解题时首先要找准等量关系：全班送出的相片总张数=1640。接下来推导总张数的计算方式：全班有x名学生，每名学生不需要给自己送相片，因此每人要向其余(x-1)名同学各送1张，即每人送出(x-1)张；总送片量为总人数乘单人送出的数量，注意送相片属于“互送”场景，你送我、我送你对应2张相片，不需要像握手问题那样除以2，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设全班有x名学生：
1. 每名学生需向除自己外的其他同学送相片，因此单人送出相片数量为$(x-1)$张；
2. 全班共x名学生，因此总送出相片数量为$x(x-1)$张；
3. 已知总送片量为1640张，据此列方程得：$x(x-1)=1640$。
【答案】
$x(x - 1) = 1640$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、根据等量关系列方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是准确梳理单人送出物品数量与总人数的关系，注意区分互送类问题和单循环（如握手、单场比赛）类问题的差异，避免混淆导致列式时错误除以2。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找准等量关系：全班送出的相片总张数=1640。接下来推导总张数的计算方式：全班有x名学生，每名学生不需要给自己送相片，因此每人要向其余(x-1)名同学各送1张，即每人送出(x-1)张；总送片量为总人数乘单人送出的数量，注意送相片属于“互送”场景，你送我、我送你对应2张相片，不需要像握手问题那样除以2，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设全班有x名学生：
1. 每名学生需向除自己外的其他同学送相片，因此单人送出相片数量为$(x-1)$张；
2. 全班共x名学生，因此总送出相片数量为$x(x-1)$张；
3. 已知总送片量为1640张，据此列方程得：$x(x-1)=1640$。
【答案】
$x(x - 1) = 1640$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、根据等量关系列方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是准确梳理单人送出物品数量与总人数的关系，注意区分互送类问题和单循环（如握手、单场比赛）类问题的差异，避免混淆导致列式时错误除以2。
【难度系数】
0.8
10.若一个三角形的三边长均满足方程$x^2 -6x +8=0$,则此三角形的周长为
6或10或12
.答案
10. 6或10或12
解析
【分析】
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到三角形边长的可能取值；接下来因为三边长都来自方程的根，需要分情况讨论三边的组合类型：三边全相等、两边相等（等腰三角形）两类；最后每种组合都要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的组合，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -6x +8=0$
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
第二步：分情况讨论三边组合并验证：
1. 三边长均为2：满足三角形三边关系，周长为$2+2+2=6$；
2. 三边长均为4：满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
3. 两边为2，一边为4：$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
4. 两边为4，一边为2：$2+4＞4$、$4+4＞2$，满足三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程求解；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题易错点为分类讨论时遗漏三边全相等的情况，或是未验证三边是否满足三角形构成条件，导致多算或漏算结果，解题时需注意分类要全面，得到边长组合后优先验证是否可构成三角形。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到三角形边长的可能取值；接下来因为三边长都来自方程的根，需要分情况讨论三边的组合类型：三边全相等、两边相等（等腰三角形）两类；最后每种组合都要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的组合，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -6x +8=0$
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
第二步：分情况讨论三边组合并验证：
1. 三边长均为2：满足三角形三边关系，周长为$2+2+2=6$；
2. 三边长均为4：满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
3. 两边为2，一边为4：$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
4. 两边为4，一边为2：$2+4＞4$、$4+4＞2$，满足三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程求解；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题易错点为分类讨论时遗漏三边全相等的情况，或是未验证三边是否满足三角形构成条件，导致多算或漏算结果，解题时需注意分类要全面，得到边长组合后优先验证是否可构成三角形。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共60分)
11.(共8分)解下列方程:
(1)$x^2 - 2x -15=0$;
(2)$(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)$.
11.(共8分)解下列方程:
(1)$x^2 - 2x -15=0$;
(2)$(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)$.
答案
11. (1) $x_1 = 5,x_2 = -3$;(2) $x_1 = 1,x_2 = -2$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，可根据方程特征选择简便的因式分解法解题：
(1) 观察方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式分别为0即可求解；
(2) 方程两边均含公因式$(x-1)$，注意不能直接两边除以$(x-1)$（会丢失$x=1$的根），应先移项，再提取公因式$(x-1)$，转化为一次因式乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x -15=0$左侧因式分解：
十字相乘得$(x-5)(x+3)=0$，
则$x-5=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-3$。
(2) 对$(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)$移项得：
$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：
$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$，
化简括号内的式子得$-x-2$，即$(x-1)(-x-2)=0$，
则$x-1=0$或$-x-2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
11. (1) $x_1 = 5,x_2 = -3$;(2) $x_1 = 1,x_2 = -2$.
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解应用、公因式提取
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的灵活应用，解题时需注意：当方程两边存在含未知数的相同因式时，不可直接约去该因式，否则会出现丢根的情况，牢记先移项再提取公因式的步骤即可准确解答。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，可根据方程特征选择简便的因式分解法解题：
(1) 观察方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式分别为0即可求解；
(2) 方程两边均含公因式$(x-1)$，注意不能直接两边除以$(x-1)$（会丢失$x=1$的根），应先移项，再提取公因式$(x-1)$，转化为一次因式乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x -15=0$左侧因式分解：
十字相乘得$(x-5)(x+3)=0$，
则$x-5=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-3$。
(2) 对$(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)$移项得：
$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：
$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$，
化简括号内的式子得$-x-2$，即$(x-1)(-x-2)=0$，
则$x-1=0$或$-x-2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
11. (1) $x_1 = 5,x_2 = -3$;(2) $x_1 = 1,x_2 = -2$.
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解应用、公因式提取
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的灵活应用，解题时需注意：当方程两边存在含未知数的相同因式时，不可直接约去该因式，否则会出现丢根的情况，牢记先移项再提取公因式的步骤即可准确解答。
【难度系数】
0.8
12. (10分)已知关于x的一元二次方程$x^2 - 4x + 4 - m^2 = 0$.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若方程两根均不小于1,求m的取值范围.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若方程两根均不小于1,求m的取值范围.
答案
12. (1)$\because \Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × (4 - m^2) = 16 - 16 + 4m^2 = 4m^2 \ge 0,\therefore$ 无论m为何值,该方程总有实数根. (2) $- 1 \le m \le 1$.
解析
【分析】
(1)要证明无论m取何值一元二次方程总有实数根，只需证明方程的判别式Δ恒大于等于0即可，先确定方程各项系数，代入判别式公式化简后判断符号即可完成证明。
(2)要使方程两根均不小于1，可先通过求根公式求出两根的表达式，比较两根大小后，只需保证较小的根大于等于1，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - 4x + 4 - m^2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=4-m^2$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4 × 1 × (4 - m^2) = 16 - 16 + 4m^2 = 4m^2$，
∵ 对任意实数$m$都有$m^2 \ge 0$，
∴ $\Delta = 4m^2 \ge 0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2)解：由求根公式可得方程的根为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4m^2}}{2} = \frac{4 \pm 2|m|}{2} = 2 \pm |m|$，
∴ 方程的两个根为$x_1=2+|m|$，$x_2=2-|m|$，
∵ $|m| \ge 0$，
∴ $x_1 \ge x_2$，即较小的根为$x_2=2-|m|$，
要使两根均不小于1，只需较小的根$x_2 \ge 1$，
即$2 - |m| \ge 1$，
移项得$|m| \le 1$，
解得$-1 \le m \le 1$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$- 1 \le m \le 1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程求根公式；3.绝对值不等式求解
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的判别式的应用以及根据根的范围求参数的方法，第二问中通过先判断两根大小，将“两根均不小于1”转化为“较小根不小于1”是解题的关键，计算过程中要注意绝对值不等式的解集不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明无论m取何值一元二次方程总有实数根，只需证明方程的判别式Δ恒大于等于0即可，先确定方程各项系数，代入判别式公式化简后判断符号即可完成证明。
(2)要使方程两根均不小于1，可先通过求根公式求出两根的表达式，比较两根大小后，只需保证较小的根大于等于1，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - 4x + 4 - m^2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=4-m^2$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4 × 1 × (4 - m^2) = 16 - 16 + 4m^2 = 4m^2$，
∵ 对任意实数$m$都有$m^2 \ge 0$，
∴ $\Delta = 4m^2 \ge 0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2)解：由求根公式可得方程的根为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4m^2}}{2} = \frac{4 \pm 2|m|}{2} = 2 \pm |m|$，
∴ 方程的两个根为$x_1=2+|m|$，$x_2=2-|m|$，
∵ $|m| \ge 0$，
∴ $x_1 \ge x_2$，即较小的根为$x_2=2-|m|$，
要使两根均不小于1，只需较小的根$x_2 \ge 1$，
即$2 - |m| \ge 1$，
移项得$|m| \le 1$，
解得$-1 \le m \le 1$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$- 1 \le m \le 1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程求根公式；3.绝对值不等式求解
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的判别式的应用以及根据根的范围求参数的方法，第二问中通过先判断两根大小，将“两根均不小于1”转化为“较小根不小于1”是解题的关键，计算过程中要注意绝对值不等式的解集不要漏解。
【难度系数】
0.7
