7. 我国古代著作《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高几何?”大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈(1丈=10尺,1尺=10寸),那么门多高？
(1)设门的宽为x尺,则门的高为尺；
(2)门高几尺？

7. (1)$(x + 6.8)$;(2) 由题意可列方程$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$,解得$x = 2.8$(负值已舍去).$\therefore 2.8 + 6.8 = 9.6$(尺) 答:门的高为9.6尺.

【分析】
(1) 先统一单位，6尺8寸可换算为6.8尺，题目明确说明高比宽多6.8尺，若宽设为x尺，直接根据两者的数量关系即可表示出高的长度。
(2) 长方形的宽、高与对角线恰好构成直角三角形，其中对角线为斜边，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出一元二次方程；求解方程后，因为长度为正数，需舍去不符合实际意义的负根，再代入高的表达式计算即可得到门的高度。
【解析】
(1) 因为1尺=10寸，所以6尺8寸=6.8尺，已知高比宽多6.8尺，宽为x尺，因此高为$\boldsymbol{(x + 6.8)}$尺。
(2) 已知1丈=10尺，即门的对角线长10尺，长方形的宽、高与对角线构成直角三角形，由勾股定理列方程得：
$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
整理求解得$x_1=2.8$，$x_2=-9.6$，
因为门的宽度为正数，所以舍去不符合实际的负根$x=-9.6$，
则门的高为$2.8 + 6.8 = 9.6$（尺）。
【答案】
(1) $(x + 6.8)$；(2) 9.6尺
【知识点】
列代数式；勾股定理；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题以古典数学著作为背景考查数学知识的实际应用，解题时需先统一单位，结合几何性质列方程，最后要注意根据实际意义对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.7

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a+c) · x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，其中 $ a, b, c $ 分别为 $△ ABC$ 三边的长.
(1) 如果 $ x = -1 $ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由；
(3) 如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

8. (1)$△ ABC$是等腰三角形,理由略;(2)$△ ABC$是直角三角形,理由略;(3)$x_1 = 0,x_2 = - 1$.

【分析】
本题是一元二次方程与三角形形状判定的综合题，解题思路如下：
(1) 已知方程的根，可根据方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到三角形三边的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 方程有两个相等实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0，代入系数化简得到三边关系，结合勾股定理逆定理判断形状；
(3) 等边三角形三边相等，即a=b=c，将其代入原方程化简为普通一元二次方程，求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=-1是方程的根，将x=-1代入原方程得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$，即$2a - 2b = 0$
∴$a = b$，故△ABC是等腰三角形。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式Δ=0
Δ=$(2b)^2 - 4(a+c)(a - c) = 0$
化简得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$，两边同时除以4得：$b^2 - a^2 + c^2 = 0$
整理得：$a^2 = b^2 + c^2$，由勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形。
(3) 若△ABC是等边三角形，则$a = b = c$，将其代入原方程得：
$(a+a)x^2 + 2a x + (a - a) = 0$，即$2a x^2 + 2a x = 0$
∵a是三角形的边长，
∴$a ≠ 0$，方程两边同时除以2a得：
$x^2 + x = 0$，因式分解得$x(x + 1) = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形；
(2) △ABC是直角三角形；
(3) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的相关性质与特殊三角形的判定，需要熟练掌握方程根的意义、判别式的应用以及特殊三角形的边长特点，侧重考查知识的迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.7