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2. 对于一元二次方程$2x^2 - 3x + 4 = 0$，该方程根的情况为(
A.没有实数根
B.两根之和是3
C.两根之积是-2
D.有两个不相等的实数根
A
)A.没有实数根
B.两根之和是3
C.两根之积是-2
D.有两个不相等的实数根
答案
2. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心工具是根的判别式$\Delta = b^2-4ac$；同时根与系数的关系（韦达定理）仅在方程有两个实数根的前提下才适用，解题时首先要判断根的存在性，再验证其他选项。具体步骤为：①确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；②计算判别式$\Delta$的数值，根据$\Delta$的符号判断是否存在实数根；③结合根的存在性逐一验证选项，得出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x + 4 = 0$，可得$a=2$，$b=-3$，$c=4$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×4 = 9 - 32 = -23$
因为$\Delta=-23＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，因此A选项正确，D选项错误。
2. 验证B、C选项：
由于方程没有实数根，不存在两个实数根，因此不存在两根之和、两根之积；即使套用韦达定理，两根之和应为$-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，两根之积应为$\frac{c}{a}=2$，可知B、C选项的数值本身也不符合公式要求，因此B、C错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的判定类基础题，易错点是忽略根与系数关系的适用前提，直接套用公式计算两根和与积，解题时优先用判别式判断根的存在性可有效避免出错。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心工具是根的判别式$\Delta = b^2-4ac$；同时根与系数的关系（韦达定理）仅在方程有两个实数根的前提下才适用，解题时首先要判断根的存在性，再验证其他选项。具体步骤为：①确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；②计算判别式$\Delta$的数值，根据$\Delta$的符号判断是否存在实数根；③结合根的存在性逐一验证选项，得出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x + 4 = 0$，可得$a=2$，$b=-3$，$c=4$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×4 = 9 - 32 = -23$
因为$\Delta=-23＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，因此A选项正确，D选项错误。
2. 验证B、C选项：
由于方程没有实数根，不存在两个实数根，因此不存在两根之和、两根之积；即使套用韦达定理，两根之和应为$-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，两根之积应为$\frac{c}{a}=2$，可知B、C选项的数值本身也不符合公式要求，因此B、C错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的判定类基础题，易错点是忽略根与系数关系的适用前提，直接套用公式计算两根和与积，解题时优先用判别式判断根的存在性可有效避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 1)x + m - 2 = 0 $。
(1)求证:不论 $ m $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且 $ x_1 + x_2 + 3x_1x_2 = 1 $,求 $ m $ 的值。
(1)求证:不论 $ m $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且 $ x_1 + x_2 + 3x_1x_2 = 1 $,求 $ m $ 的值。
答案
(1) 证明略;(2)$m=\frac{6}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式$\Delta＞0$恒成立。先确定方程各项系数，代入判别式公式化简，判断化简后的结果恒为正数即可。
(2) 已知方程两根的和与积的关系式，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再代入给定的等式，解关于$m$的一元一次方程即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m + 1)x + m - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2m+1)$，常数项$c=m-2$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m-2)$
$=4m^2 + 4m + 1 - 4m + 8$
$=4m^2 + 9$
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
∴ $4m^2 + 9 ≥ 9 ＞ 0$，即$\Delta＞0$恒成立，
∴ 不论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据根与系数的关系，方程的两个实数根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m + 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m - 2$，
将其代入$x_1 + x_2 + 3x_1x_2 = 1$得：
$2m + 1 + 3(m - 2) = 1$
展开并整理得：
$2m + 1 + 3m - 6 = 1$
$5m - 5 = 1$
解得：$m = \frac{6}{5}$
【答案】
(1) 不论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立；(2) $m=\frac{6}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，正确化简判别式判断符号即可；第二问需熟练运用韦达定理表示两根和与两根积，代入计算即可求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式$\Delta＞0$恒成立。先确定方程各项系数，代入判别式公式化简，判断化简后的结果恒为正数即可。
(2) 已知方程两根的和与积的关系式，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再代入给定的等式，解关于$m$的一元一次方程即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m + 1)x + m - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2m+1)$，常数项$c=m-2$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m-2)$
$=4m^2 + 4m + 1 - 4m + 8$
$=4m^2 + 9$
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
∴ $4m^2 + 9 ≥ 9 ＞ 0$，即$\Delta＞0$恒成立，
∴ 不论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据根与系数的关系，方程的两个实数根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m + 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m - 2$，
将其代入$x_1 + x_2 + 3x_1x_2 = 1$得：
$2m + 1 + 3(m - 2) = 1$
展开并整理得：
$2m + 1 + 3m - 6 = 1$
$5m - 5 = 1$
解得：$m = \frac{6}{5}$
【答案】
(1) 不论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立；(2) $m=\frac{6}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，正确化简判别式判断符号即可；第二问需熟练运用韦达定理表示两根和与两根积，代入计算即可求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
4.若正数$a$是一元二次方程$x^2 -5x +m=0$的一个根，$-a$是一元二次方程$x^2 +5x -m=0$的一个根，则$a$的值是
【智慧提升】
5.教科书第25页数学活动
5
。【智慧提升】
5.教科书第25页数学活动
答案
4. 5 5. 略。
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将根代入对应方程可得到满足的等式。我们先把a代入第一个方程、-a代入第二个方程，得到两个含a和m的等式，再通过加减消元法消去参数m，得到仅关于a的方程，最后结合a是正数的条件筛选出正确的a值即可。第5题为教材活动类题目，需结合教材内容完成。
【解析】
第4题解析
∵ 正数$a$是一元二次方程$x^2 -5x +m=0$的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 -5a +m=0$ ①；
又
∵ $-a$是一元二次方程$x^2 +5x -m=0$的一个根，
∴ 将$x=-a$代入方程得：$(-a)^2 +5×(-a) -m=0$，整理得$a^2 -5a -m=0$ ②；
将①+②可得：$2a^2 -10a=0$，
因式分解得：$2a(a-5)=0$，
解得$a=0$或$a=5$，
∵ $a$是正数，
∴ $a=5$。
第5题解析
本题为教科书数学活动题，需结合教材对应内容实操完成，解析略。
【答案】
4. 5 5. 略
【知识点】
一元二次方程根的定义，消元法，因式分解解方程
【点评】
第4题核心是利用方程根的定义建立参数关系，通过消元去掉无关参数m即可求解，解题时注意不要忽略题干中a为正数的限定条件；第5题属于实践探究类题目，侧重知识的应用拓展。
【难度系数】
0.7
根据一元二次方程根的定义，将根代入对应方程可得到满足的等式。我们先把a代入第一个方程、-a代入第二个方程，得到两个含a和m的等式，再通过加减消元法消去参数m，得到仅关于a的方程，最后结合a是正数的条件筛选出正确的a值即可。第5题为教材活动类题目，需结合教材内容完成。
【解析】
第4题解析
∵ 正数$a$是一元二次方程$x^2 -5x +m=0$的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 -5a +m=0$ ①；
又
∵ $-a$是一元二次方程$x^2 +5x -m=0$的一个根，
∴ 将$x=-a$代入方程得：$(-a)^2 +5×(-a) -m=0$，整理得$a^2 -5a -m=0$ ②；
将①+②可得：$2a^2 -10a=0$，
因式分解得：$2a(a-5)=0$，
解得$a=0$或$a=5$，
∵ $a$是正数，
∴ $a=5$。
第5题解析
本题为教科书数学活动题，需结合教材对应内容实操完成，解析略。
【答案】
4. 5 5. 略
【知识点】
一元二次方程根的定义，消元法，因式分解解方程
【点评】
第4题核心是利用方程根的定义建立参数关系，通过消元去掉无关参数m即可求解，解题时注意不要忽略题干中a为正数的限定条件；第5题属于实践探究类题目，侧重知识的应用拓展。
【难度系数】
0.7
6. 阅读下面的解题过程：
我们知道$x^2+6x+9$可以分解因式，结果为$(x+3)^2$. 其实$x^2+6x+8$也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
$\begin{aligned}x^2+6x+8&=x^2+6x+9-9+8\\&=(x+3)^2-1\\&=(x+3+1)(x+3-1)\\&=(x+4)(x+2).\end{aligned}$
(1)请仿照上述过程填空：
$x^2+4x-5=[x+(\_\_\_\_\_\_)][x+(\_\_\_\_\_\_)]$；
$x^2-5x+6=[x+(\_\_\_\_\_\_)][x+(\_\_\_\_\_\_)]$；
$x^2-8x-9=[x+(\_\_\_\_\_\_)][x+(\_\_\_\_\_\_)]$.
(2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？
我们知道$x^2+6x+9$可以分解因式，结果为$(x+3)^2$. 其实$x^2+6x+8$也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
$\begin{aligned}x^2+6x+8&=x^2+6x+9-9+8\\&=(x+3)^2-1\\&=(x+3+1)(x+3-1)\\&=(x+4)(x+2).\end{aligned}$
(1)请仿照上述过程填空：
$x^2+4x-5=[x+(\_\_\_\_\_\_)][x+(\_\_\_\_\_\_)]$；
$x^2-5x+6=[x+(\_\_\_\_\_\_)][x+(\_\_\_\_\_\_)]$；
$x^2-8x-9=[x+(\_\_\_\_\_\_)][x+(\_\_\_\_\_\_)]$.
(2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？
答案
(1) -1 5 -2 -3 1 -9;(2) 所填的两个数的和等于一次项系数,两个数的积等于常数项。
解析
【分析】
本题考查配方法因式分解及规律探究。第(1)问需仿照题干给出的配方法分解因式的步骤，先将二次三项式凑成完全平方式，再转化为平方差形式分解因式，最终对应得到括号内的常数；第(2)问将每道题所填的两个数分别与原式的一次项系数、常数项做和、积运算，即可总结出二者的关系。
【解析】
(1) 对三个式子依次用配方法分解：
① $x^2+4x-5$
$=x^2+4x+4 - 4 -5$
$=(x+2)^2 - 9$
$=(x+2)^2 - 3^2$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x-1)(x+5)$
$=[x+(-1)][x+5]$，因此前两空填$-1$、$5$；
② $x^2-5x+6$
$=x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} +6$
$=(x-\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
$=(x-\frac{5}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$
$=(x-\frac{5}{2}+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2}-\frac{1}{2})$
$=(x-2)(x-3)$
$=[x+(-2)][x+(-3)]$，因此中间两空填$-2$、$-3$；
③ $x^2-8x-9$
$=x^2-8x+16 -16 -9$
$=(x-4)^2 -25$
$=(x-4)^2 -5^2$
$=(x-4+5)(x-4-5)$
$=(x+1)(x-9)$
$=[x+1][x+(-9)]$，因此最后两空填$1$、$-9$。
(2) 对比每组所填数字与原式的系数：
第一组：$-1+5=4$（对应一次项系数），$(-1)×5=-5$（对应常数项）；
第二组：$-2+(-3)=-5$（对应一次项系数），$(-2)×(-3)=6$（对应常数项）；
第三组：$1+(-9)=-8$（对应一次项系数），$1×(-9)=-9$（对应常数项）；
由此可总结规律：所填的两个数的和等于一次项系数，两个数的积等于常数项。
【答案】
(1) $-1$，$5$；$-2$，$-3$；$1$，$-9$
(2) 所填的两个数的和等于一次项系数，两个数的积等于常数项。
【知识点】
配方法分解因式，平方差公式，十字相乘法原理
【点评】
本题从已学的配方法、平方差公式入手，通过类比练习引导学生自主推导二次三项式因式分解的核心规律，侧重考查知识迁移能力和归纳总结能力，为后续快速分解二次三项式提供了方法支撑。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法因式分解及规律探究。第(1)问需仿照题干给出的配方法分解因式的步骤，先将二次三项式凑成完全平方式，再转化为平方差形式分解因式，最终对应得到括号内的常数；第(2)问将每道题所填的两个数分别与原式的一次项系数、常数项做和、积运算，即可总结出二者的关系。
【解析】
(1) 对三个式子依次用配方法分解：
① $x^2+4x-5$
$=x^2+4x+4 - 4 -5$
$=(x+2)^2 - 9$
$=(x+2)^2 - 3^2$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x-1)(x+5)$
$=[x+(-1)][x+5]$，因此前两空填$-1$、$5$；
② $x^2-5x+6$
$=x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} +6$
$=(x-\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
$=(x-\frac{5}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$
$=(x-\frac{5}{2}+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2}-\frac{1}{2})$
$=(x-2)(x-3)$
$=[x+(-2)][x+(-3)]$，因此中间两空填$-2$、$-3$；
③ $x^2-8x-9$
$=x^2-8x+16 -16 -9$
$=(x-4)^2 -25$
$=(x-4)^2 -5^2$
$=(x-4+5)(x-4-5)$
$=(x+1)(x-9)$
$=[x+1][x+(-9)]$，因此最后两空填$1$、$-9$。
(2) 对比每组所填数字与原式的系数：
第一组：$-1+5=4$（对应一次项系数），$(-1)×5=-5$（对应常数项）；
第二组：$-2+(-3)=-5$（对应一次项系数），$(-2)×(-3)=6$（对应常数项）；
第三组：$1+(-9)=-8$（对应一次项系数），$1×(-9)=-9$（对应常数项）；
由此可总结规律：所填的两个数的和等于一次项系数，两个数的积等于常数项。
【答案】
(1) $-1$，$5$；$-2$，$-3$；$1$，$-9$
(2) 所填的两个数的和等于一次项系数，两个数的积等于常数项。
【知识点】
配方法分解因式，平方差公式，十字相乘法原理
【点评】
本题从已学的配方法、平方差公式入手，通过类比练习引导学生自主推导二次三项式因式分解的核心规律，侧重考查知识迁移能力和归纳总结能力，为后续快速分解二次三项式提供了方法支撑。
【难度系数】
0.7
