四、一元二次方程解实际问题
冬春季是传染病高发季节,冬春之交,有2人患了流感,在没有采取医疗手段的情况下,经过两轮传染后共有128人患流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人?
(2)若不及时控制,则第三轮感染后,患流感的共有多少人?

(1) 设每轮传染中平均一个人传染了$x$人，根据题意得：$2(1+x)^2=128$，解得$x_1=7$，$x_2=-9$（不符合题意，舍去）。答：每轮传染中平均一个人传染了7人。
(2) $128×(1+7)=1024$（人）。答：第三轮感染后，患流感的共有1024人。

【分析】
本题是一元二次方程在传染问题中的实际应用题，解题思路如下：
(1) 首先明确传染问题的数量变化规律：初始有2个患者，每轮平均1人传染$x$人，那么每轮结束后总患病人数是上一轮总人数的$(1+x)$倍（1为患者本人，$x$为其新传染的人数）。经过两轮传染后总人数为初始人数乘$(1+x)$的平方，据此列一元二次方程求解，注意传染人数不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 第三轮传染后的总人数，等于第二轮结束的总人数乘$(1+x)$，代入第一问求得的$x$计算即可。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了$x$人。
根据经过两轮传染后共有128人患流感，列方程得：
$2(1+x)^2=128$
方程两边同时除以2，得：$(1+x)^2=64$
开平方得：$1+x=\pm8$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$
因为传染人数不可能为负数，所以$x_2=-9$不符合题意，舍去。
答：每轮传染中平均一个人传染了7人。
(2) 由(1)得每轮平均1人传染7人，第二轮结束后共有128人患病，因此第三轮传染后总患病人数为：
$128×(1+7)=1024$（人）
答：第三轮感染后，患流感的共有1024人。
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7人；
(2) 第三轮感染后，患流感的共有1024人。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；传染问题数量关系
【点评】
本题是传染类实际应用的常规题型，核心是抓住每轮传染后总人数的变化规律列方程，解题时需注意结合实际情况对一元二次方程的根进行取舍，属于基础考点，熟练掌握对应模型后容易得分。
【难度系数】
0.75

1. 下列关于$x$的方程中，一元二次方程的个数是()
①$\sqrt{2}x^2 - \frac{2}{3}x = 0$；②$\frac{x-1}{x}=2x-1$；
③$kx^2 -3x +1=0$；④$x^2 -x^2(x^2 +1)-3=0$.

A.0
B.1
C.2
D.3

1. B

【分析】
要判断一元二次方程的个数，首先明确一元二次方程的判定标准：需同时满足4个条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数是2；4.二次项系数不为0。接下来我们逐个分析4个方程是否满足上述所有条件，最后统计符合条件的数量即可。
【解析】
依据一元二次方程的判定标准逐个判断：
1. 方程①$\sqrt{2}x^2 - \frac{2}{3}x = 0$：是整式方程，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$\sqrt{2} ≠ 0$，满足一元二次方程的所有条件，属于一元二次方程。
2. 方程②$\frac{x-1}{x}=2x-1$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程。
3. 方程③$kx^2 -3x +1=0$：未说明$k ≠ 0$，若$k=0$时方程变为一元一次方程$-3x+1=0$，因此不一定是一元二次方程，不计入。
4. 方程④$x^2 -x^2(x^2 +1)-3=0$：先化简整理：
去括号得：$x^2 -x^4 -x^2 -3=0$
合并同类项得：$-x^4 -3=0$
未知数$x$的最高次数为4，不符合最高次数为2的要求，不属于一元二次方程。
综上，只有1个一元二次方程。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定，整式与分式方程区分，多项式次数判断
【点评】
本题核心考查对一元二次方程定义的准确掌握，易错点有三处：一是忽略分式方程不是整式方程的要求，误判②；二是忽略二次项系数不能为0的隐含条件，误判③；三是未先化简方程就判断最高次数，误判④，解题时要严格按照判定标准逐一排查。
【难度系数】
0.7

2.已知关于x的方程$(k+3)x^2 -3kx +2k -1=0$，它一定是()

A.一元二次方程
B.一元一次方程
C.一元二次方程或一元一次方程
D.无法确定

2. C

【分析】
要判断方程的类型，需结合一元一次方程、一元二次方程的定义，对二次项系数的取值分类讨论：首先明确一元二次方程要求二次项系数不为0，若二次项系数为0，此时需判断一次项系数是否不为0，若满足则为一元一次方程。首先计算二次项系数为0时k的取值，代入验证一次项系数的情况，再判断二次项系数不为0时的方程类型，最终汇总两种情况即可得出结论。
【解析】
我们分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当二次项系数$k+3=0$时，解得$k=-3$。
将$k=-3$代入原方程，可得：$9x -7=0$，该方程只含1个未知数，未知数最高次数为1，是一元一次方程。
2. 当二次项系数$k+3≠0$，即$k≠-3$时，原方程存在二次项，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程。
综上，该方程一定是一元二次方程或一元一次方程。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题易错点是直接默认二次项系数不为0，误选A选项，解题核心是当整式方程的最高次项系数含参数时，一定要分最高次项系数为0和不为0两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

3. 一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的解为（）

A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x_1=1,x_2=-3$
D.$x_1=-1,x_2=-3$

3. B

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，可优先选择简便方法解题：观察方程左侧的二次三项式，二次项系数为1，常数项3可拆分为-1和-3，二者之和恰好等于一次项系数-4，适合用十字相乘法因式分解求解，也可使用配方法、公式法计算。解题思路是先将方程左边因式分解为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
我们用因式分解法求解：
对一元二次方程$x^2 -4x +3=0$左侧的二次三项式十字相乘因式分解，可得：
$(x-1)(x-3)=0$
根据乘法的性质可得：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
分别解两个一次方程，得$x_1=1$，$x_2=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、十字相乘法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法等常见求解方法即可快速得出答案，其中因式分解法针对系数为整数的简单一元二次方程计算效率更高。
【难度系数】
0.9

4. 如果$x^2 + x + 1 = (x+1)^0$,那么$x$的值为（）

A.0或-1
B.0
C.-1
D.此方程无实数根

4. D

5.俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘,假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据“两天不练丢一半”,则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据:$\sqrt{2}=1.414$)()

A.20.3%
B.25.2%
C.29.3%
D.50%

5. C

【分析】
这是一道百分率的实际应用问题，解题思路如下：首先设每天遗忘的百分比为x，那么每天剩余的知识占比为(1-x)；由于遗忘是每天按相同比例持续的，两天后剩余的知识占比就是两天剩余比例的乘积即$(1-x)^2$；再根据“两天不练丢一半”可知两天后剩余知识为原来的$\frac{1}{2}$，据此列方程，结合给定的$\sqrt{2}$的参考数据求解即可。
【解析】
设每天“遗忘”的百分比为$x$（$0＜x＜1$），则每天学习内容的剩余比例为$1-x$。
根据“两天不练丢一半”，即两天后剩余的内容为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
因为$1-x＞0$，对等式两边开平方得：
$1-x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$\sqrt{2}=1.414$计算：
$1-x\approx\frac{1.414}{2}=0.707$
解得$x\approx1-0.707=0.293=29.3\%$。
【答案】
C
【知识点】
百分率实际应用，二次根式运算
【点评】
本题结合生活俗语考查数学知识的实际应用，解题的核心是准确理解题意，正确列出对应等式，计算时结合给出的参考数据即可快速得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7

6.“双碳”背景下,我国新能源汽车保有量大幅增加,随着技术创新和产业链升级,某款国产新能源汽车销量持续增长,已知该款车型7月的销量约为5 000辆,第三季度(7~9月)的总销量约为18 200辆.求该车型7~9月销量的月平均增长率.

解：设该车型7~9月销量的月平均增长率为$x$，根据题意得：
$5000 + 5000(1+x) + 5000(1+x)^2 = 18200$
整理得$25x^2 +75x -16=0$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-3.2$（不符合题意，舍去）
答：该车型7~9月销量的月平均增长率为20%。

【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用题，核心等量关系为：7月销量+8月销量+9月销量=第三季度总销量。解题思路如下：首先设月平均增长率为$x$，按照增长率公式依次推导8月、9月的销量表达式；再根据三个月总销量的数值列出一元二次方程；最后求解方程，结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设该车型7~9月销量的月平均增长率为$x$，根据题意得：
$5000 + 5000(1+x) + 5000(1+x)^2 = 18200$
整理得：$25x^2 +75x -16=0$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-3.2$
由于销量增长率不能为负数，因此$x_2=-3.2$不符合题意，舍去。
答：该车型7~9月销量的月平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合热点时事背景命题，贴近生活实际，主要考查学生构建方程模型解决实际问题的能力，解题时需注意结合实际场景对一元二次方程的根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(3x-1)^2 -1=0$；
(2)$(3x-2)^2=x^2$；
(3)$(x+3)(x-6)=-8$；
(4)$3x^2 -6x +4=0$；
(5)$x(x+2)=x+2$。

(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=0$;(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$;(3)$x_1=-2,x_2=5$;(4) 无实数根;(5)$x_1=-2,x_2=1$。

【分析】
解一元二次方程需优先根据方程特征选择简便方法：①若方程形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），优先选直接开平方法；②若方程移项后可因式分解为两个一次式乘积为0的形式，优先选因式分解法；③若上述方法不适用，可选择公式法或配方法。解题时注意不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免漏根，也可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$先判断方程实根的情况。
逐题思路：(1)移项后左边是完全平方、右边为非负数，用直接开平方法；(2)移项后符合平方差公式结构，用因式分解法；(3)先展开整理为一般式，再因式分解求解；(4)先计算判别式判断根的情况；(5)移项后提取公因式因式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得$(3x-1)^2=1$，
开平方，得$3x-1=\pm1$，
当$3x-1=1$时，解得$x_1=\frac{2}{3}$；
当$3x-1=-1$时，解得$x_2=0$。
(2) 移项，得$(3x-2)^2 - x^2=0$，
由平方差公式因式分解，得$(3x-2+x)(3x-2-x)=0$，
即$(4x-2)(2x-2)=0$，
$\therefore 4x-2=0$或$2x-2=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
(3) 展开并整理方程，得$x^2-3x-18=-8$，即$x^2-3x-10=0$，
因式分解，得$(x-5)(x+2)=0$，
$\therefore x-5=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-2$。
(4) 对于方程$3x^2-6x+4=0$，取$a=3$，$b=-6$，$c=4$，
计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2 - 4×3×4=36-48=-12＜0$，
$\therefore$ 该方程无实数根。
(5) 移项，得$x(x+2)-(x+2)=0$，
提取公因式，得$(x+2)(x-1)=0$，
$\therefore x+2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=0$；(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$；(3)$x_1=-2,x_2=5$；(4)无实数根；(5)$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时需根据方程的结构特点灵活选择最优解法，提高解题效率，注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况，运用根的判别式可快速判断方程实根的存在性。
【难度系数】
0.8