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一、一元二次方程的概念
当 m 取何值时, 方程 $(m-1)x^{m^2+1} + 2mx + 3 = 0$ 是关于 x 的一元二次方程?
当 m 取何值时, 方程 $(m-1)x^{m^2+1} + 2mx + 3 = 0$ 是关于 x 的一元二次方程?
答案
解：要使方程是关于x的一元二次方程，需满足：
$\begin{cases} m^2+1=2 \\ m-1≠0 \end{cases}$
由$m^2+1=2$得$m=±1$，又$m-1≠0$即$m≠1$，所以$m=-1$。
即当$m=-1$时，该方程是关于x的一元二次方程。
$\begin{cases} m^2+1=2 \\ m-1≠0 \end{cases}$
由$m^2+1=2$得$m=±1$，又$m-1≠0$即$m≠1$，所以$m=-1$。
即当$m=-1$时，该方程是关于x的一元二次方程。
解析
【分析】
要判断给定方程是关于x的一元二次方程，需紧扣一元二次方程的核心判定条件：一是只含1个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是二次项系数不为0，且方程为整式方程。本题中方程已经是仅含x的整式方程，因此只需满足x的最高次数为2、二次项系数不为0这两个条件，据此列关系式求解即可。
【解析】
要使方程$(m-1)x^{m^2+1} + 2mx + 3 = 0$是关于x的一元二次方程，需同时满足：
$\begin{cases} m^2+1=2 \\ m-1≠0 \end{cases}$
解第一个方程$m^2+1=2$，移项得$m^2=1$，解得$m=±1$；
解第二个不等式$m-1≠0$，得$m≠1$。
结合两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
当$m=-1$时，该方程是关于x的一元二次方程（或直接写$m=-1$）
【知识点】
一元二次方程的定义
参数类方程判定
不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题型，解题关键是牢记一元二次方程需同时满足最高次数为2、二次项系数不为0两个要求，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要判断给定方程是关于x的一元二次方程，需紧扣一元二次方程的核心判定条件：一是只含1个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是二次项系数不为0，且方程为整式方程。本题中方程已经是仅含x的整式方程，因此只需满足x的最高次数为2、二次项系数不为0这两个条件，据此列关系式求解即可。
【解析】
要使方程$(m-1)x^{m^2+1} + 2mx + 3 = 0$是关于x的一元二次方程，需同时满足：
$\begin{cases} m^2+1=2 \\ m-1≠0 \end{cases}$
解第一个方程$m^2+1=2$，移项得$m^2=1$，解得$m=±1$；
解第二个不等式$m-1≠0$，得$m≠1$。
结合两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
当$m=-1$时，该方程是关于x的一元二次方程（或直接写$m=-1$）
【知识点】
一元二次方程的定义
参数类方程判定
不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题型，解题关键是牢记一元二次方程需同时满足最高次数为2、二次项系数不为0两个要求，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
二、解一元二次方程
用适当的方法解下列方程：
(1)$9(6x-4)^2 -96=0$；
(2)$4(x-1)^2=9(2x+3)^2$；
(3)$2x^2 -20x +25=0$；
(4)$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。
用适当的方法解下列方程：
(1)$9(6x-4)^2 -96=0$；
(2)$4(x-1)^2=9(2x+3)^2$；
(3)$2x^2 -20x +25=0$；
(4)$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。
答案
(1) 整理得$(6x-4)^2=\frac{32}{3}$，开方得$6x-4=±\frac{4\sqrt{6}}{3}$，解得$x_1=\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{6}}{9}$，$x_2=\frac{2}{3}-\frac{2\sqrt{6}}{9}$。
(2) 移项得$4(x-1)^2-9(2x+3)^2=0$，因式分解得$[2(x-1)+3(2x+3)][2(x-1)-3(2x+3)]=0$，即$(8x+7)(-4x-11)=0$，解得$x_1=-\frac{7}{8}$，$x_2=-\frac{11}{4}$。
(3) 用公式法，$a=2,b=-20,c=25$，$\Delta=(-20)^2-4×2×25=200＞0$，$x=\frac{20±\sqrt{200}}{4}=\frac{10±5\sqrt{2}}{2}$，即$x_1=\frac{10+5\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$。
(4) 移项得$5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0$，因式分解得$(x-3)(4x-1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{4}$。
(2) 移项得$4(x-1)^2-9(2x+3)^2=0$，因式分解得$[2(x-1)+3(2x+3)][2(x-1)-3(2x+3)]=0$，即$(8x+7)(-4x-11)=0$，解得$x_1=-\frac{7}{8}$，$x_2=-\frac{11}{4}$。
(3) 用公式法，$a=2,b=-20,c=25$，$\Delta=(-20)^2-4×2×25=200＞0$，$x=\frac{20±\sqrt{200}}{4}=\frac{10±5\sqrt{2}}{2}$，即$x_1=\frac{10+5\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$。
(4) 移项得$5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0$，因式分解得$(x-3)(4x-1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时需先观察方程结构，选择最简便的解法：
(1) 方程可变形为$(ax+b)^2=c$的形式，适合用直接开平方法，先移项化简，再开平方转化为一元一次方程求解；
(2) 方程两边都是完全平方式，移项后符合平方差公式结构，用因式分解法，利用$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解为两个一次因式乘积等于0的形式求解；
(3) 方程为一般形式，且不易因式分解，选用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(4) 方程左右两边含有相同的公因式$(x-3)$，不可直接约去（会漏根），需移项后提取公因式，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 移项得：$9(6x-4)^2=96$，两边同除以9得：$(6x-4)^2=\frac{32}{3}$，
开平方得：$6x-4=±\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
移项、系数化为1得：$x=\frac{2}{3}±\frac{2\sqrt{6}}{9}$；
(2) 移项得：$4(x-1)^2-9(2x+3)^2=0$，
由平方差公式因式分解得：$[2(x-1)+3(2x+3)][2(x-1)-3(2x+3)]=0$，
化简得：$(8x+7)(-4x-11)=0$，
令每个因式为0，解得：$x_1=-\frac{7}{8}$，$x_2=-\frac{11}{4}$；
(3) 方程为一般形式，其中$a=2,b=-20,c=25$，
计算判别式：$\Delta=(-20)^2-4×2×25=200＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{20±\sqrt{200}}{4}=\frac{10±5\sqrt{2}}{2}$；
(4) 移项得：$5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(4x-1)=0$，
令每个因式为0，解得：$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{6}}{9}$，$x_2=\frac{2}{3}-\frac{2\sqrt{6}}{9}$；
(2) $x_1=-\frac{7}{8}$，$x_2=-\frac{11}{4}$；
(3) $x_1=\frac{10+5\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$；
(4) $x_1=3$，$x_2=\frac{1}{4}$。
【知识点】
直接开平方法；因式分解法；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要先根据方程的特征选择最优解法，提升解题效率；注意处理含公因式的方程时不要直接约去公因式，避免出现漏根的错误，熟练掌握各类解法的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时需先观察方程结构，选择最简便的解法：
(1) 方程可变形为$(ax+b)^2=c$的形式，适合用直接开平方法，先移项化简，再开平方转化为一元一次方程求解；
(2) 方程两边都是完全平方式，移项后符合平方差公式结构，用因式分解法，利用$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解为两个一次因式乘积等于0的形式求解；
(3) 方程为一般形式，且不易因式分解，选用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(4) 方程左右两边含有相同的公因式$(x-3)$，不可直接约去（会漏根），需移项后提取公因式，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 移项得：$9(6x-4)^2=96$，两边同除以9得：$(6x-4)^2=\frac{32}{3}$，
开平方得：$6x-4=±\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
移项、系数化为1得：$x=\frac{2}{3}±\frac{2\sqrt{6}}{9}$；
(2) 移项得：$4(x-1)^2-9(2x+3)^2=0$，
由平方差公式因式分解得：$[2(x-1)+3(2x+3)][2(x-1)-3(2x+3)]=0$，
化简得：$(8x+7)(-4x-11)=0$，
令每个因式为0，解得：$x_1=-\frac{7}{8}$，$x_2=-\frac{11}{4}$；
(3) 方程为一般形式，其中$a=2,b=-20,c=25$，
计算判别式：$\Delta=(-20)^2-4×2×25=200＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{20±\sqrt{200}}{4}=\frac{10±5\sqrt{2}}{2}$；
(4) 移项得：$5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(4x-1)=0$，
令每个因式为0，解得：$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{6}}{9}$，$x_2=\frac{2}{3}-\frac{2\sqrt{6}}{9}$；
(2) $x_1=-\frac{7}{8}$，$x_2=-\frac{11}{4}$；
(3) $x_1=\frac{10+5\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$；
(4) $x_1=3$，$x_2=\frac{1}{4}$。
【知识点】
直接开平方法；因式分解法；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要先根据方程的特征选择最优解法，提升解题效率；注意处理含公因式的方程时不要直接约去公因式，避免出现漏根的错误，熟练掌握各类解法的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
三、一元二次方程的根与系数的关系
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2(a-1)x +a^2 -a -2=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)若$a$为正整数,求$a$的值;
(2)若$x_1,x_2$满足$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 =16$,求$a$的值.
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2(a-1)x +a^2 -a -2=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)若$a$为正整数,求$a$的值;
(2)若$x_1,x_2$满足$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 =16$,求$a$的值.
答案
(1) 因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta=[-2(a-1)]^2-4×1×(a^2-a-2)＞0$，解得$a＜3$。又因为$a$是正整数，所以$a=1$或$a=2$。
(2) 由根与系数的关系得$x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2-a-2$。代入$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，整理得$a^2-a-6=0$，解得$a_1=3$，$a_2=-2$。结合$a＜3$，得$a=-2$。
(2) 由根与系数的关系得$x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2-a-2$。代入$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，整理得$a^2-a-6=0$，解得$a_1=3$，$a_2=-2$。结合$a＜3$，得$a=-2$。
解析
【分析】
(1) 题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，首先想到利用根的判别式$\Delta＞0$列不等式，求出$a$的取值范围，再结合$a$为正整数的限制条件，就能确定$a$的具体值。
(2) 给出含两根的代数式求值问题，优先使用根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$a$的表达式，再将$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$用完全平方公式变形为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$a$的方程，求解后结合(1)中$a$的取值范围舍去不符合的根，即可得到正确结果。
【解析】
(1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程有两个不相等的实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta = [-2(a-1)]^2 - 4×1×(a^2 - a - 2) ＞ 0$
展开化简得：$4(a^2-2a+1)-4a^2+4a+8＞0$，即$-4a+12＞0$，解得$a＜3$
又$\because a$为正整数
$\therefore a=1$或$a=2$
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2 - a - 2$
$\because x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=16$，将代数式变形得：
$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$
代入两根和、积的表达式得：$[2(a-1)]^2 - 3(a^2 - a - 2)=16$
展开化简得：$a^2 - a - 6=0$，解得$a_1=3$，$a_2=-2$
结合(1)中$a＜3$的取值范围，舍去$a=3$
$\therefore a=-2$
【答案】
(1) $a=1$或$a=2$；(2) $a=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，解题关键是牢记根的判别式的应用前提，以及韦达定理的适用条件，求解参数后要注意验证参数是否符合根的存在条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
(1) 题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，首先想到利用根的判别式$\Delta＞0$列不等式，求出$a$的取值范围，再结合$a$为正整数的限制条件，就能确定$a$的具体值。
(2) 给出含两根的代数式求值问题，优先使用根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$a$的表达式，再将$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$用完全平方公式变形为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$a$的方程，求解后结合(1)中$a$的取值范围舍去不符合的根，即可得到正确结果。
【解析】
(1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程有两个不相等的实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta = [-2(a-1)]^2 - 4×1×(a^2 - a - 2) ＞ 0$
展开化简得：$4(a^2-2a+1)-4a^2+4a+8＞0$，即$-4a+12＞0$，解得$a＜3$
又$\because a$为正整数
$\therefore a=1$或$a=2$
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2 - a - 2$
$\because x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=16$，将代数式变形得：
$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$
代入两根和、积的表达式得：$[2(a-1)]^2 - 3(a^2 - a - 2)=16$
展开化简得：$a^2 - a - 6=0$，解得$a_1=3$，$a_2=-2$
结合(1)中$a＜3$的取值范围，舍去$a=3$
$\therefore a=-2$
【答案】
(1) $a=1$或$a=2$；(2) $a=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，解题关键是牢记根的判别式的应用前提，以及韦达定理的适用条件，求解参数后要注意验证参数是否符合根的存在条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
