13. (12分)如图,在矩形ABCD中,AB = 10 cm,AD = 8 cm,点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度向终点B运动,同时点Q从点B出发,沿BC以1 cm/s的速度向终点C运动,它们到达终点后停止运动.
(1)几秒后,点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍?
(2)几秒后,△DPQ的面积是24 cm²?

13. (1)3 s 或 $\sqrt{41}$ s;(2)4 s.

【分析】
本题是矩形背景下的动点问题，核心是用含时间t的代数式表示各线段长度，结合题目条件列方程求解：
(1) 要求DP=2PQ，可利用勾股定理分别表示DP²和PQ²，将距离关系转化为平方关系列方程，需分点P在AB上运动、点P到达终点停止运动两种情况讨论，解后要检验t是否在运动时间范围内。
(2) 求△DPQ的面积时采用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积表示△DPQ的面积，再列方程求解，同样要检验解的合理性。
【解析】
设运动时间为t s，由题意得：点P运动到终点B的时间为$10÷2=5\ \mathrm{s}$，点Q运动到终点C的时间为$8÷1=8\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤8$。当$0≤ t≤5$时，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$PB=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=(8-t)\ \mathrm{cm}$；当$t＞5$时，点P停在点B处，$PB=0$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$。
(1) 求DP=2PQ时的t值
分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时：
在$Rt△ ADP$中，由勾股定理得$DP^2=AD^2+AP^2=8^2+(2t)^2=64+4t^2$；
在$Rt△ PBQ$中，由勾股定理得$PQ^2=PB^2+BQ^2=(10-2t)^2+t^2$。
由$DP=2PQ$得$DP^2=4PQ^2$，代入得：
$64+4t^2=4[(10-2t)^2+t^2]$
展开整理得$t^2-10t+21=0$，解得$t_1=3$，$t_2=7$（不符合$0≤ t≤5$，舍去）。
② 当$5＜t≤8$时，点P停在B点，此时$DP=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+8^2}=2\sqrt{41}$，$PQ=BQ=t$。
由$DP=2PQ$得$2\sqrt{41}=2t$，解得$t=\sqrt{41}$（符合$5＜t≤8$）。
(2) 求$△ DPQ$面积为$24\ \mathrm{cm}^2$时的t值
分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，用割补法计算面积：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=10×8=80\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×8×2t=8t\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×(10-2t)× t=(5t-t^2)\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ CDQ}=\frac{1}{2}×10×(8-t)=(40-5t)\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore S_{△ DPQ}=80-8t-(5t-t^2)-(40-5t)=t^2-8t+40$
令$S_{△ DPQ}=24$，得$t^2-8t+40=24$，整理得$(t-4)^2=0$，解得$t=4$（符合$0≤ t≤5$）。
② 当$5＜t≤8$时，点P停在B点，此时$S_{△ DPQ}=\frac{1}{2}× t×10=5t$，令$5t=24$得$t=4.8$，不符合$5＜t≤8$，舍去。
【答案】
(1) $3\ \mathrm{s}$ 或 $\sqrt{41}\ \mathrm{s}$；(2) $4\ \mathrm{s}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于动点综合问题，解题时需注意分析动点的运动状态，分情况讨论，列方程求解后要结合动点的运动范围检验解是否符合实际，避免出现增根。
【难度系数】
0.6

14. (15分)某学校九年级举办了一场乒乓球比赛,比赛采用单循环赛制(每两位参赛选手之间都赛1场).乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话:
乐乐:本次比赛一共进行了40场.
淇淇:你所说的并不正确,按照这个赛制,不应该是40场.
(1)根据题意,乐乐列出的方程应该是:,请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确;
(2)乐乐补充道:本次比赛的确一共进行了40场,只是在比赛过程中遇到了特殊情况,有1人身体不适,只参加了4场比赛后就中途退赛,请直接写出此时x的值.

14. (1) $\frac{x(x - 1)}{2} = 40$;(2)x的值为10.

【分析】
(1) 解决第一问首先要明确单循环赛制的场数计算逻辑：若有x名参赛选手，每2人赛1场，每名选手需赛(x-1)场，由于每场比赛被重复计算2次，因此总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合乐乐说的总场数40即可列出方程。接下来只需判断方程是否存在正整数解（参赛人数必须为正整数），就能验证乐乐的说法是否正确，进而判断淇淇的说法是否成立。
(2) 第二问中1人中途退赛仅参加4场，说明该选手比原本应参加的(x-1)场少赛了$(x-1-4)$场，实际总场数等于x人全部完赛的总场数减去该选手少赛的场数，结合实际总场数40列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
(1) 设本次比赛参赛选手共有x人。
根据单循环赛制总场数的计算规则，乐乐所列方程为$\boldsymbol{\frac{x(x-1)}{2}=40}$。
整理方程得：$x^2 - x - 80 = 0$。
代入正整数验证：当x=9时，总场数为$\frac{9×8}{2}=36$；当x=10时，总场数为$\frac{10×9}{2}=45$，不存在正整数x使得总场数为40，因此乐乐的说法错误，淇淇的说法正确。
(2) 设参赛总人数为x。
中途退赛的1人原本应参加(x-1)场比赛，实际仅参加4场，少赛了$(x-1-4)=x-5$场，根据实际总场数为40列方程：
$\frac{x(x-1)}{2} - (x-5) = 40$
去分母得：$x(x-1) - 2(x-5) = 80$
展开并整理得：$x^2 - 3x - 70 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+7)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-7$（人数不能为负数，舍去）。
【答案】
(1) $\frac{x(x-1)}{2}=40$；淇淇的说法正确。
(2) $\boxed{10}$
【知识点】
1. 单循环问题数量关系
2. 一元二次方程的应用
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的比赛场景考查一元二次方程的实际应用，解题的核心是准确抓住单循环赛制的场数计算规律，第二问需要理清退赛人员实际参赛场数和应参赛场数的差值，求解后要注意根据实际意义检验根的合理性。
【难度系数】
0.65

15. (15分)交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定,某头盔经销商销售A品牌头盔,此种头盔的进价为30元/个,经测算,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个.
(1)当售价为50元/个时,月销售量为个.
(2)为使月销售利润达到10 000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?

15. (1)500;(2)50元/个

【分析】
（1）先计算售价从40元上涨到50元的上涨金额，再根据“每上涨1元销量减少10个”计算减少的销量，最后用原销量减去减少的销量即可得到结果。
（2）本题属于销售利润问题，核心等量关系为：单个利润×月销售量=月总利润。先设实际售价为x元/个，分别表示出单个利润和对应月销售量，代入等量关系列一元二次方程求解，最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的要求选取更小的解即可。
【解析】
（1）当售价为50元/个时，相比40元/个上涨了：$50-40=10$元
月销售量减少的数量为：$10×10=100$个
因此月销售量为：$600-100=500$个
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个。
单个头盔的利润为：$(x-30)$元
售价相比40元上涨了$(x-40)$元，因此月销售量为：$600 - 10(x-40) = 1000 - 10x$ 个
根据月销售利润达到10000元，列方程得：
$(x-30)(1000-10x)=10000$
展开并整理方程：
$1000x - 10x^2 - 30000 + 300x = 10000$
$-10x^2 +1300x -40000=0$
两边同时除以$-10$得：
$x^2 -130x +4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得：$x_1=50$，$x_2=80$
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴选取售价更低的$x=50$
【答案】
(1) 500；(2) 50元/个
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题结合生活实际考查销售类应用题，解题的核心是找准利润、销量、总利润之间的等量关系，正确列方程求解，同时要注意结合题目的实际要求对解进行筛选，是应用题中的常见考法。
【难度系数】
0.7