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12. $9^m · 27^n$ 可以写为 （
A.$9^{m+3n}$
B.$27^{m+3n}$
C.$3^{2m+3n}$
D.$3^{3m+2n}$
C
）A.$9^{m+3n}$
B.$27^{m+3n}$
C.$3^{2m+3n}$
D.$3^{3m+2n}$
答案
12. C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察到算式中的两个幂底数9和27都可以转化为以3为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个项都改写为底数为3的幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则计算最终结果，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
解：第一步，统一底数：
∵ $9=3^2$，$27=3^3$
∴ $9^m=(3^2)^m$，$27^n=(3^3)^n$
第二步，根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$计算得：
$(3^2)^m=3^{2m}$，$(3^3)^n=3^{3n}$
第三步，根据同底数幂的乘法法则$a^b·a^c=a^{b+c}$计算乘积：
$9^m·27^n=3^{2m}·3^{3n}=3^{2m+3n}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.幂的乘方运算
2.同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再运用对应的运算法则计算，主要考查对幂运算基本公式的记忆和灵活运用能力。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察到算式中的两个幂底数9和27都可以转化为以3为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个项都改写为底数为3的幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则计算最终结果，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
解：第一步，统一底数：
∵ $9=3^2$，$27=3^3$
∴ $9^m=(3^2)^m$，$27^n=(3^3)^n$
第二步，根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$计算得：
$(3^2)^m=3^{2m}$，$(3^3)^n=3^{3n}$
第三步，根据同底数幂的乘法法则$a^b·a^c=a^{b+c}$计算乘积：
$9^m·27^n=3^{2m}·3^{3n}=3^{2m+3n}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.幂的乘方运算
2.同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再运用对应的运算法则计算，主要考查对幂运算基本公式的记忆和灵活运用能力。
【难度系数】
0.85
13.若k为正整数，则$\underbrace{(k + k + \dots + k)}_{k个k相加}^k = \quad (\quad)$
A.$k^{2k}$
B.$k^{2k+1}$
C.$2k^k$
D.$k^{2 + k}$
A.$k^{2k}$
B.$k^{2k+1}$
C.$2k^k$
D.$k^{2 + k}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先遵循“有括号先算括号内”的运算顺序：第一步先处理括号里的k个k相加，根据乘法的定义，求几个相同加数的和可以转化为乘法运算，即可得到括号内的结果；第二步再计算括号外的k次方，运用幂的乘方运算法则计算即可得到最终结果，再匹配对应选项。
【解析】
第一步：计算括号内的和
k个相同的k相加，可转化为乘法运算：
$\underbrace{k + k + \dots + k}_{k个k} = k × k = k^2$
第二步：计算整体的k次方
将括号内的结果代入原式，得：
原式$=(k^2)^k$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（a≠0，m、n为正整数），计算得：
$(k^2)^k = k^{2 × k} = k^{2k}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义；幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是先将同数连加转化为乘法简化运算，再结合幂的乘方法则求解，解题时需注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时先遵循“有括号先算括号内”的运算顺序：第一步先处理括号里的k个k相加，根据乘法的定义，求几个相同加数的和可以转化为乘法运算，即可得到括号内的结果；第二步再计算括号外的k次方，运用幂的乘方运算法则计算即可得到最终结果，再匹配对应选项。
【解析】
第一步：计算括号内的和
k个相同的k相加，可转化为乘法运算：
$\underbrace{k + k + \dots + k}_{k个k} = k × k = k^2$
第二步：计算整体的k次方
将括号内的结果代入原式，得：
原式$=(k^2)^k$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（a≠0，m、n为正整数），计算得：
$(k^2)^k = k^{2 × k} = k^{2k}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义；幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是先将同数连加转化为乘法简化运算，再结合幂的乘方法则求解，解题时需注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.8
14.已知$2^m = a$，$2^n = b$，则$2^{2m + 3n}$用$a$，$b$可以表示为
$a^2 b^3$
。答案
14. $a^2 b^3$
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的指数特征：指数是$2m+3n$，为两个含系数的指数相加的形式。首先回忆同底数幂的乘法法则的逆用：指数相加的同底数幂可以拆分为两个同底数幂相乘，因此先把$2^{2m+3n}$拆成$2^{2m} × 2^{3n}$。再观察拆分后的两个幂的指数都是带倍数的形式，回忆幂的乘方法则的逆用：指数带倍数的幂可以转化为幂的乘方，即$a^{mn}=(a^m)^n$，因此将$2^{2m}$改写为$(2^m)^2$，$2^{3n}$改写为$(2^n)^3$，最后代入已知的$2^m=a$、$2^n=b$即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的运算法则逆用逐步变形：
1. 逆用同底数幂的乘法法则：
$2^{2m+3n}=2^{2m} · 2^{3n}$
2. 逆用幂的乘方法则：
$2^{2m}=(2^m)^2$，$2^{3n}=(2^n)^3$
3. 代入已知条件$2^m=a$，$2^n=b$：
原式$=(2^m)^2 · (2^n)^3 = a^2 b^3$
【答案】
$a^2 b^3$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、代数式代换
【点评】
本题是幂运算模块的基础常考题，核心考查幂的运算法则的逆用，解题关键是能根据指数的结构特征灵活拆分变形，熟练掌握相关法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的指数特征：指数是$2m+3n$，为两个含系数的指数相加的形式。首先回忆同底数幂的乘法法则的逆用：指数相加的同底数幂可以拆分为两个同底数幂相乘，因此先把$2^{2m+3n}$拆成$2^{2m} × 2^{3n}$。再观察拆分后的两个幂的指数都是带倍数的形式，回忆幂的乘方法则的逆用：指数带倍数的幂可以转化为幂的乘方，即$a^{mn}=(a^m)^n$，因此将$2^{2m}$改写为$(2^m)^2$，$2^{3n}$改写为$(2^n)^3$，最后代入已知的$2^m=a$、$2^n=b$即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的运算法则逆用逐步变形：
1. 逆用同底数幂的乘法法则：
$2^{2m+3n}=2^{2m} · 2^{3n}$
2. 逆用幂的乘方法则：
$2^{2m}=(2^m)^2$，$2^{3n}=(2^n)^3$
3. 代入已知条件$2^m=a$，$2^n=b$：
原式$=(2^m)^2 · (2^n)^3 = a^2 b^3$
【答案】
$a^2 b^3$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、代数式代换
【点评】
本题是幂运算模块的基础常考题，核心考查幂的运算法则的逆用，解题关键是能根据指数的结构特征灵活拆分变形，熟练掌握相关法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15.如果$(a^m · b · b^n)^3 = a^6 b^{15}$，那么$m,n$的值分别是（
A.$2,4$
B.$2,5$
C.$3,5$
D.$3,-5$
A
）A.$2,4$
B.$2,5$
C.$3,5$
D.$3,-5$
答案
15. A
解析
【分析】
本题可根据幂的相关运算法则先化简等式左侧的式子，再利用“两个相等的幂，若底数相同，则对应指数也相等”的性质列方程求解m、n的值。解题步骤如下：第一步先计算左侧括号内的同底数幂乘法，合并b的指数；第二步利用积的乘方和幂的乘方法则去掉括号，得到含m、n的指数形式；第三步对应等式左右两侧相同底数的指数，列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
1. 计算括号内的同底数幂乘法：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^m · b · b^n = a^m · b^{1+n}$；
2. 计算积的乘方：根据积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方底数不变、指数相乘的法则，可得：
$(a^m · b^{n+1})^3 = a^{m×3} · b^{(n+1)×3} = a^{3m}b^{3n+3}$
3. 对比等式右侧$a^6b^{15}$，相同底数的指数对应相等，因此可列方程组：
$\begin{cases}3m=6 \\3n+3=15 \end{cases}$
分别求解方程：
由$3m=6$，解得$m=2$；
由$3n+3=15$，移项得$3n=12$，解得$n=4$。
因此m=2，n=4，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础常考题型，核心考察幂的运算法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握各类幂运算的法则，能通过指数对应相等建立方程求解未知参数，掌握这类题型能为后续整式的乘除运算打好基础。
【难度系数】
0.8
本题可根据幂的相关运算法则先化简等式左侧的式子，再利用“两个相等的幂，若底数相同，则对应指数也相等”的性质列方程求解m、n的值。解题步骤如下：第一步先计算左侧括号内的同底数幂乘法，合并b的指数；第二步利用积的乘方和幂的乘方法则去掉括号，得到含m、n的指数形式；第三步对应等式左右两侧相同底数的指数，列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
1. 计算括号内的同底数幂乘法：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^m · b · b^n = a^m · b^{1+n}$；
2. 计算积的乘方：根据积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方底数不变、指数相乘的法则，可得：
$(a^m · b^{n+1})^3 = a^{m×3} · b^{(n+1)×3} = a^{3m}b^{3n+3}$
3. 对比等式右侧$a^6b^{15}$，相同底数的指数对应相等，因此可列方程组：
$\begin{cases}3m=6 \\3n+3=15 \end{cases}$
分别求解方程：
由$3m=6$，解得$m=2$；
由$3n+3=15$，移项得$3n=12$，解得$n=4$。
因此m=2，n=4，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础常考题型，核心考察幂的运算法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握各类幂运算的法则，能通过指数对应相等建立方程求解未知参数，掌握这类题型能为后续整式的乘除运算打好基础。
【难度系数】
0.8
16.已知$2x+3y=4$，则$4^x · 8^y$的值是
16
。答案
16. 16
解析
【分析】
首先观察所求代数式中两个幂的底数4和8都可以转化为以2为底的幂，因此先利用幂的乘方的性质对$4^x$和$8^y$进行变形，再根据同底数幂相乘的运算法则将两个幂合并，最后把已知条件$2x+3y=4$整体代入合并后的式子计算，即可求出结果。
【解析】
先将底数统一为2：
$\because 4=2^2$，$8=2^3$
$\therefore 4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$8^y=(2^3)^y=2^{3y}$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$4^x · 8^y = 2^{2x} · 2^{3y} = 2^{2x+3y}$
已知$2x+3y=4$，代入上式得：
原式$=2^4=16$
【答案】
16
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂乘法；整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握幂的各类运算性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式中两个幂的底数4和8都可以转化为以2为底的幂，因此先利用幂的乘方的性质对$4^x$和$8^y$进行变形，再根据同底数幂相乘的运算法则将两个幂合并，最后把已知条件$2x+3y=4$整体代入合并后的式子计算，即可求出结果。
【解析】
先将底数统一为2：
$\because 4=2^2$，$8=2^3$
$\therefore 4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$8^y=(2^3)^y=2^{3y}$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$4^x · 8^y = 2^{2x} · 2^{3y} = 2^{2x+3y}$
已知$2x+3y=4$，代入上式得：
原式$=2^4=16$
【答案】
16
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂乘法；整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握幂的各类运算性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
17.【教材 P101 习题 T4 变式】计算：
(1)$2(a^5)^2 · (a^2)^2 - (a^2)^4 · (a^3)^2$；
(2)$[(x+y)^2]^6 + [(x+y)^4]^3$；
(3)$(-3a^2)^3 · a^3 + (-4a)^2 · a^7 - (5a^3)^3$.
18. 计算.
(1)$2(a^5)^2 · (a^2)^2 - (a^2)^4 · (a^3)^2$；
(2)$[(x+y)^2]^6 + [(x+y)^4]^3$；
(3)$(-3a^2)^3 · a^3 + (-4a)^2 · a^7 - (5a^3)^3$.
18. 计算.
答案
(1)解:原式$=2a^{10} · a^4 - a^8 · a^6 = a^{14}$；(2)解:原式$=2(x+y)^{12}$；(3)解:原式$=-27a^9 + 16a^9 - 125a^9 = -136a^9$
解析
【分析】
这三道题均属于整式幂运算的混合运算题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后合并同类项”的顺序：①先明确幂的相关运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于将积的各因式分别乘方后再把所得的幂相乘。②第（1）题先计算所有幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可；③第（2）题将$(x+y)$看作一个整体，先计算幂的乘方，再合并同类项；④第（3）题先计算所有积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项，计算过程中注意系数的符号不要出错。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$(a^5)^2=a^{5×2}=a^{10}$，$(a^2)^2=a^{2×2}=a^4$，$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
再计算同底数幂的乘法：
$2a^{10}·a^4=2a^{10+4}=2a^{14}$，$a^8·a^6=a^{8+6}=a^{14}$
最后合并同类项：
原式$=2a^{14}-a^{14}=a^{14}$
(2) 将$(x+y)$看作整体计算幂的乘方：
$[(x+y)^2]^6=(x+y)^{2×6}=(x+y)^{12}$，$[(x+y)^4]^3=(x+y)^{4×3}=(x+y)^{12}$
合并同类项得：
原式$=(x+y)^{12}+(x+y)^{12}=2(x+y)^{12}$
(3) 先计算积的乘方：
$(-3a^2)^3=(-3)^3·(a^2)^3=-27a^6$，$(-4a)^2=(-4)^2·a^2=16a^2$，$(5a^3)^3=5^3·(a^3)^3=125a^9$
再计算同底数幂的乘法：
$-27a^6·a^3=-27a^{6+3}=-27a^9$，$16a^2·a^7=16a^{2+7}=16a^9$
最后合并同类项：
原式$=-27a^9+16a^9-125a^9=(-27+16-125)a^9=-136a^9$
【答案】
(1) $a^{14}$；(2) $2(x+y)^{12}$；(3) $-136a^9$
【知识点】
幂的运算，合并同类项，整体思想
【点评】
本题是幂运算的基础常规题型，侧重考查对幂的各类运算法则的掌握程度和运算顺序的应用，解题时需注意指数计算的准确性和系数的符号问题，第(2)题运用整体思想可简化运算，避免不必要的展开计算。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于整式幂运算的混合运算题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后合并同类项”的顺序：①先明确幂的相关运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于将积的各因式分别乘方后再把所得的幂相乘。②第（1）题先计算所有幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可；③第（2）题将$(x+y)$看作一个整体，先计算幂的乘方，再合并同类项；④第（3）题先计算所有积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项，计算过程中注意系数的符号不要出错。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$(a^5)^2=a^{5×2}=a^{10}$，$(a^2)^2=a^{2×2}=a^4$，$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
再计算同底数幂的乘法：
$2a^{10}·a^4=2a^{10+4}=2a^{14}$，$a^8·a^6=a^{8+6}=a^{14}$
最后合并同类项：
原式$=2a^{14}-a^{14}=a^{14}$
(2) 将$(x+y)$看作整体计算幂的乘方：
$[(x+y)^2]^6=(x+y)^{2×6}=(x+y)^{12}$，$[(x+y)^4]^3=(x+y)^{4×3}=(x+y)^{12}$
合并同类项得：
原式$=(x+y)^{12}+(x+y)^{12}=2(x+y)^{12}$
(3) 先计算积的乘方：
$(-3a^2)^3=(-3)^3·(a^2)^3=-27a^6$，$(-4a)^2=(-4)^2·a^2=16a^2$，$(5a^3)^3=5^3·(a^3)^3=125a^9$
再计算同底数幂的乘法：
$-27a^6·a^3=-27a^{6+3}=-27a^9$，$16a^2·a^7=16a^{2+7}=16a^9$
最后合并同类项：
原式$=-27a^9+16a^9-125a^9=(-27+16-125)a^9=-136a^9$
【答案】
(1) $a^{14}$；(2) $2(x+y)^{12}$；(3) $-136a^9$
【知识点】
幂的运算，合并同类项，整体思想
【点评】
本题是幂运算的基础常规题型，侧重考查对幂的各类运算法则的掌握程度和运算顺序的应用，解题时需注意指数计算的准确性和系数的符号问题，第(2)题运用整体思想可简化运算，避免不必要的展开计算。
【难度系数】
0.7
18.计算：
$2^{4046} × (-0.25)^{2024}$
03 素养练
学科素养培育
$2^{4046} × (-0.25)^{2024}$
03 素养练
学科素养培育
答案
18. 解:原式$=(2^2)^{2\ 023} × (-0.25)^{2\ 024} = 4^{2\ 023} × 0.25^{2\ 024} = (4×0.25)^{2\ 023} × 0.25 = 0.25$
解析
【分析】
本题是幂的乘法运算类计算题，解题时先观察两个幂的指数特征：4046恰好是2023的2倍，因此可以先利用幂的乘方法则将$2^{4046}$转化为同指数的$4^{2023}$；再根据负数的偶次幂是正数，把$(-0.25)^{2024}$转化为$0.25^{2024}$，再将其拆分为$0.25^{2023}×0.25$，此时两个幂的指数相同，可逆用积的乘方法则先算底数的乘积，简化计算后即可得到结果。
【解析】
解：原式$=(2^2)^{2023} × (-0.25)^{2024}$
$= 4^{2023} × 0.25^{2024}$
$= 4^{2023} × 0.25^{2023} × 0.25$
$= (4×0.25)^{2023} × 0.25$
$= 1^{2023} × 0.25$
$= 0.25$
【答案】
$0.25$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方逆用，有理数乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题核心是通过指数变形构造同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算，是幂的运算板块的典型基础题，熟练掌握幂的各类运算法则及其逆用是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是幂的乘法运算类计算题，解题时先观察两个幂的指数特征：4046恰好是2023的2倍，因此可以先利用幂的乘方法则将$2^{4046}$转化为同指数的$4^{2023}$；再根据负数的偶次幂是正数，把$(-0.25)^{2024}$转化为$0.25^{2024}$，再将其拆分为$0.25^{2023}×0.25$，此时两个幂的指数相同，可逆用积的乘方法则先算底数的乘积，简化计算后即可得到结果。
【解析】
解：原式$=(2^2)^{2023} × (-0.25)^{2024}$
$= 4^{2023} × 0.25^{2024}$
$= 4^{2023} × 0.25^{2023} × 0.25$
$= (4×0.25)^{2023} × 0.25$
$= 1^{2023} × 0.25$
$= 0.25$
【答案】
$0.25$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方逆用，有理数乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题核心是通过指数变形构造同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算，是幂的运算板块的典型基础题，熟练掌握幂的各类运算法则及其逆用是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
19.已知 $2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，试探究 $a,b,c$ 之间有什么关系.
答案
19. 解: $\because 20^n = 4^n × 5^n = 2^{2n} · 5^n = (2^n)^2 · 5^n = a^2 b$,且 $20^n = c$,$\therefore c = a^2 b$.
解析
【分析】
要探究a、b、c的数量关系，首先观察三个式子的底数：2、5、20，可发现20可以拆分为$2^2 × 5$，因此先利用幂的运算性质将$20^n$变形为与$2^n$、$5^n$相关的代数式，再代入已知的a、b代换，即可推导出三者的关系。
【解析】
解：$\because 20^n = (2^2 × 5)^n = (2^2)^n × 5^n = 2^{2n} × 5^n = (2^n)^2 × 5^n$，
又$\because 2^n = a$，$5^n = b$，
$\therefore 20^n = a^2 b$，
结合已知$20^n = c$，可得$c = a^2 b$。
【答案】
$c = a^2 b$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；等量代换
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题核心是合理拆分底数，将待求式子转化为已知式子的组合形式，熟练掌握幂的各类运算公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要探究a、b、c的数量关系，首先观察三个式子的底数：2、5、20，可发现20可以拆分为$2^2 × 5$，因此先利用幂的运算性质将$20^n$变形为与$2^n$、$5^n$相关的代数式，再代入已知的a、b代换，即可推导出三者的关系。
【解析】
解：$\because 20^n = (2^2 × 5)^n = (2^2)^n × 5^n = 2^{2n} × 5^n = (2^n)^2 × 5^n$，
又$\because 2^n = a$，$5^n = b$，
$\therefore 20^n = a^2 b$，
结合已知$20^n = c$，可得$c = a^2 b$。
【答案】
$c = a^2 b$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；等量代换
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题核心是合理拆分底数，将待求式子转化为已知式子的组合形式，熟练掌握幂的各类运算公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
1.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下列解题过程，试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解：∵$2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}$，而$16＜27$，∴$2^{100}＜3^{75}$.
上述解题时，通过“幂的乘方”公式构造了相同的指数，从而比较大小.试用类似的方法，比较$3^{555}$，$4^{444}$，$5^{333}$的大小.
解：∵$2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}$，而$16＜27$，∴$2^{100}＜3^{75}$.
上述解题时，通过“幂的乘方”公式构造了相同的指数，从而比较大小.试用类似的方法，比较$3^{555}$，$4^{444}$，$5^{333}$的大小.
答案
1. 解：
∵$3^{555}=(3^5)^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}$. 又$3^5=243$，$4^4=256$，$5^3=125$，
∴$5^3＜3^5＜4^4$.
∴$(5^3)^{111}＜(3^5)^{111}＜(4^4)^{111}$. 即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$.
∵$3^{555}=(3^5)^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}$. 又$3^5=243$，$4^4=256$，$5^3=125$，
∴$5^3＜3^5＜4^4$.
∴$(5^3)^{111}＜(3^5)^{111}＜(4^4)^{111}$. 即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$.
解析
【分析】
要比较这三个幂的大小，参考给出的例题思路，核心是构造相同的指数再比较底数。首先观察三个幂的指数555、444、333，它们的最大公因数是111，所以可以逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，把三个幂都转化为指数是111的形式，再比较变形后三个幂的底数大小，当指数相同时，底数越大，幂的值就越大，进而得到原数的大小关系。
【解析】
解：首先对三个幂进行变形，逆用幂的乘方法则：
$3^{555}=(3^5)^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}$
分别计算底数的幂：
$3^5=243$，$4^4=256$，$5^3=125$
比较底数大小可得：$125＜243＜256$，即$5^3＜3^5＜4^4$
因为指数相同都是111，底数越大幂越大，所以：
$(5^3)^{111}＜(3^5)^{111}＜(4^4)^{111}$
【答案】
$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$
【知识点】
幂的乘方、逆用幂的乘方法则、同指数幂比较大小
【点评】
本题属于方法迁移类的阅读理解题，需要先读懂示例的解题逻辑，抓住“构造同指数幂”的核心方法，灵活逆用幂的乘方公式即可求解，重点考查知识迁移能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较这三个幂的大小，参考给出的例题思路，核心是构造相同的指数再比较底数。首先观察三个幂的指数555、444、333，它们的最大公因数是111，所以可以逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，把三个幂都转化为指数是111的形式，再比较变形后三个幂的底数大小，当指数相同时，底数越大，幂的值就越大，进而得到原数的大小关系。
【解析】
解：首先对三个幂进行变形，逆用幂的乘方法则：
$3^{555}=(3^5)^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}$
分别计算底数的幂：
$3^5=243$，$4^4=256$，$5^3=125$
比较底数大小可得：$125＜243＜256$，即$5^3＜3^5＜4^4$
因为指数相同都是111，底数越大幂越大，所以：
$(5^3)^{111}＜(3^5)^{111}＜(4^4)^{111}$
【答案】
$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$
【知识点】
幂的乘方、逆用幂的乘方法则、同指数幂比较大小
【点评】
本题属于方法迁移类的阅读理解题，需要先读懂示例的解题逻辑，抓住“构造同指数幂”的核心方法，灵活逆用幂的乘方公式即可求解，重点考查知识迁移能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 已知$a=256^{31},b=64^{41},c=16^{61}$，试比较a，b，c的大小，用“＞”将它们连接起来
a＞b＞c
。答案
2. a＞b＞c
解析
【分析】
要比较底数和指数都不相同的幂的大小，可利用幂的乘方法则将三个数转化为同底数的幂，当底数大于1时，指数越大，对应的幂越大，只需比较转化后的指数大小即可得到原数的大小关系。观察发现256、64、16都是2的整数次幂，因此可以把a、b、c的底数统一为2，再计算各自的指数进行比较。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$均为正整数），将三个数统一为底数是2的幂：
1. 化简$a$：因为$256=2^8$，所以$a=256^{31}=(2^8)^{31}=2^{8×31}=2^{248}$
2. 化简$b$：因为$64=2^6$，所以$b=64^{41}=(2^6)^{41}=2^{6×41}=2^{246}$
3. 化简$c$：因为$16=2^4$，所以$c=16^{61}=(2^4)^{61}=2^{4×61}=2^{244}$
由于底数$2＞1$，指数越大幂越大，且$248＞246＞244$，因此$2^{248}＞2^{246}＞2^{244}$，即$a＞b＞c$。
【答案】
$a＞b＞c$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算的典型应用，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，通过比较指数大小判断原数的大小，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要比较底数和指数都不相同的幂的大小，可利用幂的乘方法则将三个数转化为同底数的幂，当底数大于1时，指数越大，对应的幂越大，只需比较转化后的指数大小即可得到原数的大小关系。观察发现256、64、16都是2的整数次幂，因此可以把a、b、c的底数统一为2，再计算各自的指数进行比较。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$均为正整数），将三个数统一为底数是2的幂：
1. 化简$a$：因为$256=2^8$，所以$a=256^{31}=(2^8)^{31}=2^{8×31}=2^{248}$
2. 化简$b$：因为$64=2^6$，所以$b=64^{41}=(2^6)^{41}=2^{6×41}=2^{246}$
3. 化简$c$：因为$16=2^4$，所以$c=16^{61}=(2^4)^{61}=2^{4×61}=2^{244}$
由于底数$2＞1$，指数越大幂越大，且$248＞246＞244$，因此$2^{248}＞2^{246}＞2^{244}$，即$a＞b＞c$。
【答案】
$a＞b＞c$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算的典型应用，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，通过比较指数大小判断原数的大小，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 比较大小：$2^{75}$ 
＜
$3^{50}$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
1. ＜
解析
【分析】
要比较底数和指数均不同的两个幂的大小，先观察指数特征：75和50的最大公因数是25，因此可逆用幂的乘方法则，将两个幂都转化为指数为25的同指数幂，再通过比较底数的大小判断幂的大小即可。
【解析】
解：逆用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对两个幂分别变形：
$2^{75}=2^{3×25}=(2^3)^{25}=8^{25}$
$3^{50}=3^{2×25}=(3^2)^{25}=9^{25}$
当指数为正数时，同指数幂的底数越大，幂越大，因为$8＜9$，所以$8^{25}＜9^{25}$，即$2^{75}＜3^{50}$。
【答案】
＜
【知识点】
幂的乘方的逆用；同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的大小比较的常规题型，解题关键是熟练掌握幂的乘方运算性质，通过转化将不同指数的幂变为同指数幂后比较底数即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要比较底数和指数均不同的两个幂的大小，先观察指数特征：75和50的最大公因数是25，因此可逆用幂的乘方法则，将两个幂都转化为指数为25的同指数幂，再通过比较底数的大小判断幂的大小即可。
【解析】
解：逆用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对两个幂分别变形：
$2^{75}=2^{3×25}=(2^3)^{25}=8^{25}$
$3^{50}=3^{2×25}=(3^2)^{25}=9^{25}$
当指数为正数时，同指数幂的底数越大，幂越大，因为$8＜9$，所以$8^{25}＜9^{25}$，即$2^{75}＜3^{50}$。
【答案】
＜
【知识点】
幂的乘方的逆用；同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的大小比较的常规题型，解题关键是熟练掌握幂的乘方运算性质，通过转化将不同指数的幂变为同指数幂后比较底数即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
2. $2^{33},4^{18},8^{10}$的大小关系是
$4^{18}＞2^{33}＞8^{10}$
.答案
2. $4^{18}＞2^{33}＞8^{10}$
解析
【分析】
要比较这三个幂的大小，观察发现它们的底数2、4、8都是2的正整数次幂，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个数都转化为底数为2的幂。当底数大于1时，同底数幂的指数越大，幂的值越大，因此只需比较转化后三个幂的指数大小，即可得到原数的大小关系。
【解析】
解：利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），将三个数统一为底数是2的幂：
1. $2^{33}$本身就是底数为2的幂，无需转化；
2. $4^{18}=(2^2)^{18}=2^{2×18}=2^{36}$；
3. $8^{10}=(2^3)^{10}=2^{3×10}=2^{30}$。
因为底数$2＞1$，指数$36＞33＞30$，所以$2^{36}＞2^{33}＞2^{30}$，即$4^{18}＞2^{33}＞8^{10}$。
【答案】
$4^{18}＞2^{33}＞8^{10}$
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的大小比较的典型题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，通过比较指数大小判断原幂的大小，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较这三个幂的大小，观察发现它们的底数2、4、8都是2的正整数次幂，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个数都转化为底数为2的幂。当底数大于1时，同底数幂的指数越大，幂的值越大，因此只需比较转化后三个幂的指数大小，即可得到原数的大小关系。
【解析】
解：利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），将三个数统一为底数是2的幂：
1. $2^{33}$本身就是底数为2的幂，无需转化；
2. $4^{18}=(2^2)^{18}=2^{2×18}=2^{36}$；
3. $8^{10}=(2^3)^{10}=2^{3×10}=2^{30}$。
因为底数$2＞1$，指数$36＞33＞30$，所以$2^{36}＞2^{33}＞2^{30}$，即$4^{18}＞2^{33}＞8^{10}$。
【答案】
$4^{18}＞2^{33}＞8^{10}$
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的大小比较的典型题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，通过比较指数大小判断原幂的大小，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
