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7. 如图2,数轴的单位长度为1,如果P,Q表示的数互为相反数,那么图中的4个点中,表示的数的平方值最大的点为（）
A.P
B.R
C.Q
D.T
A.P
B.R
C.Q
D.T
答案
D
解析
【分析】
解题第一步需要结合“P、Q互为相反数”的条件确定数轴原点：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点距离相等，先算出P、Q的间距，它们的中点就是原点。第二步可以通过两种方式判断平方最大的点：要么直接写出各点表示的数计算平方比较，要么利用“一个数的绝对值越大，平方值越大”的规律，找离原点最远的点即可。
【解析】
首先观察数轴得，P、Q两点的距离为6个单位长度。
因为P、Q表示的数互为相反数，所以原点为PQ的中点，即原点在P点右侧3个单位、Q点左侧3个单位的位置。
由此确定各点表示的数：P表示-3，R表示-1，Q表示3，T表示4。
分别计算各数的平方：
$(-3)^2=9$，$(-1)^2=1$，$3^2=9$，$4^2=16$。
对比可知16最大，即表示的数的平方值最大的点是T。
【答案】
D
【知识点】
相反数的概念；数轴的应用；有理数乘方的性质
【点评】
本题是数轴、相反数和有理数乘方的综合基础题，解题核心是先根据相反数的性质定位原点，既可以直接计算各数平方比较结果，也可以通过比较点到原点的距离快速判断，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
解题第一步需要结合“P、Q互为相反数”的条件确定数轴原点：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点距离相等，先算出P、Q的间距，它们的中点就是原点。第二步可以通过两种方式判断平方最大的点：要么直接写出各点表示的数计算平方比较，要么利用“一个数的绝对值越大，平方值越大”的规律，找离原点最远的点即可。
【解析】
首先观察数轴得，P、Q两点的距离为6个单位长度。
因为P、Q表示的数互为相反数，所以原点为PQ的中点，即原点在P点右侧3个单位、Q点左侧3个单位的位置。
由此确定各点表示的数：P表示-3，R表示-1，Q表示3，T表示4。
分别计算各数的平方：
$(-3)^2=9$，$(-1)^2=1$，$3^2=9$，$4^2=16$。
对比可知16最大，即表示的数的平方值最大的点是T。
【答案】
D
【知识点】
相反数的概念；数轴的应用；有理数乘方的性质
【点评】
本题是数轴、相反数和有理数乘方的综合基础题，解题核心是先根据相反数的性质定位原点，既可以直接计算各数平方比较结果，也可以通过比较点到原点的距离快速判断，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
8.《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有
()
A.$9^3$ 个
B.$10^3$ 个
C.$9^4$ 个
D.$10^4$ 个
()
A.$9^3$ 个
B.$10^3$ 个
C.$9^4$ 个
D.$10^4$ 个
答案
C
解析
【分析】
这是一道乘方在实际场景中的应用题，解题时我们可以逐层推导数量：首先明确每一级的数量都是上一级的9倍，只需要数清楚从堤坝到鸟巢一共需要乘几次9，就能对应得到乘方的指数。先算树木总数，再算树枝总数，最后算鸟巢总数，将连乘的形式转化为乘方形式即可选出答案。
【解析】
我们逐层计算数量：
1. 堤坝共有9座，每座堤坝有9棵树，因此树木总数为：$9 × 9 = 9^2$棵；
2. 每棵树有9根树枝，因此树枝总数为：$9^2 × 9 = 9^3$根；
3. 每根树枝有9个鸟巢，因此鸟巢总数为：$9^3 × 9 = 9^4$个。
因此鸟巢共有$9^4$个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘方的实际应用
【点评】
本题结合我国古代数学典籍的内容出题，既考查了乘方的基础应用，也体现了传统数学文化，解题的核心是理清不同层级数量的倍数关系，准确数出相同因数的个数。
【难度系数】
0.8
这是一道乘方在实际场景中的应用题，解题时我们可以逐层推导数量：首先明确每一级的数量都是上一级的9倍，只需要数清楚从堤坝到鸟巢一共需要乘几次9，就能对应得到乘方的指数。先算树木总数，再算树枝总数，最后算鸟巢总数，将连乘的形式转化为乘方形式即可选出答案。
【解析】
我们逐层计算数量：
1. 堤坝共有9座，每座堤坝有9棵树，因此树木总数为：$9 × 9 = 9^2$棵；
2. 每棵树有9根树枝，因此树枝总数为：$9^2 × 9 = 9^3$根；
3. 每根树枝有9个鸟巢，因此鸟巢总数为：$9^3 × 9 = 9^4$个。
因此鸟巢共有$9^4$个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘方的实际应用
【点评】
本题结合我国古代数学典籍的内容出题，既考查了乘方的基础应用，也体现了传统数学文化，解题的核心是理清不同层级数量的倍数关系，准确数出相同因数的个数。
【难度系数】
0.8
9. 将一把刻度尺按如图3所示放在数轴上,刻度尺上的0和8分别对应数轴上的-3.6和x,则x的值为 ()
A.4
B.4.1
C.4.3
D.4.4
A.4
B.4.1
C.4.3
D.4.4
答案
D
解析
【分析】解题时先找到刻度尺刻度和数轴上数的对应关系：刻度尺上两个刻度的差值等于数轴上对应两个点的距离。已知刻度尺“0”对应数轴的-3.6，刻度尺“8”对应数轴的x，可得数轴上x到-3.6的距离等于8，结合数轴上右侧数大于左侧数，两点距离=右侧数-左侧数，即可列出算式求出x的值。
【解析】首先计算刻度尺上0到8的长度：$8 - 0 = 8$
数轴上x在-3.6的右侧，两点距离为$x - (-3.6)$，该距离等于刻度尺的长度8，因此列等式：
$x - (-3.6) = 8$
计算得：$x + 3.6 = 8$
解得：$x = 8 - 3.6 = 4.4$
故选D。
【答案】D
【知识点】数轴的应用；有理数减法运算
【点评】本题将刻度尺与数轴结合考查，体现了数形结合的思想，解题核心是抓住刻度差和数轴两点距离的对应关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算刻度尺上0到8的长度：$8 - 0 = 8$
数轴上x在-3.6的右侧，两点距离为$x - (-3.6)$，该距离等于刻度尺的长度8，因此列等式：
$x - (-3.6) = 8$
计算得：$x + 3.6 = 8$
解得：$x = 8 - 3.6 = 4.4$
故选D。
【答案】D
【知识点】数轴的应用；有理数减法运算
【点评】本题将刻度尺与数轴结合考查，体现了数形结合的思想，解题核心是抓住刻度差和数轴两点距离的对应关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】0.8
10. 小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分别填入图4中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）
A.-6或-3
B.-8或1
C.-1或-4
D.1或-1
A.-6或-3
B.-8或1
C.-1或-4
D.1或-1
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是先求出横、竖、内外圈共同的相等和。首先计算所有待填数字的总和，结合内外圈和相等求出公共和；再利用竖列数字和求出b的值，接着算出内圈剩余的数字，最后根据剩余可填数字的两种分配情况，求出a的可能值，进而得到a+b的结果。
【解析】
步骤1：计算所有待填数字的总和
$-1+2+(-3)+4+(-5)+6+(-7)+8=4$
步骤2：求公共和
已知内外两圈4个数字之和相等，且两圈总和为4，因此每圈的和为$4÷2=2$，同理横、竖4个数字的和也均为2。
步骤3：求b的值
竖列4个数字为-7、6、b、8，和为2，列式得：
$-7+6+b+8=2$
解得：$b=2-7=-5$
步骤4：求内圈左侧空白数字
内圈4个数字为6、4、b、左侧空白数，和为2，因此左侧空白数为：
$2-6-4-(-5)=-3$
步骤5：求a的可能值，计算$a+b$
目前已使用的数字为-7、6、4、8、-5、-3，剩余未使用的数字为-1和2，对应a和最右侧外圈空白数。
根据外圈和为2，列式：$-7+a+8+右侧空白数=2$，得$a+右侧空白数=1$，刚好符合$-1+2=1$，因此a有两种可能：
① 当$a=-1$时，$a+b=-1+(-5)=-6$
② 当$a=2$时，$a+b=2+(-5)=-3$
综上，$a+b$的值为-6或-3。
【答案】
A
【知识点】
有理数加法、数字规律探究、一元一次方程应用
【点评】
本题属于创新型幻方问题，难度适中，解题关键是先推导公共和，再逐步推出未知数字，需要注意剩余数字的两种分配情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题的核心是先求出横、竖、内外圈共同的相等和。首先计算所有待填数字的总和，结合内外圈和相等求出公共和；再利用竖列数字和求出b的值，接着算出内圈剩余的数字，最后根据剩余可填数字的两种分配情况，求出a的可能值，进而得到a+b的结果。
【解析】
步骤1：计算所有待填数字的总和
$-1+2+(-3)+4+(-5)+6+(-7)+8=4$
步骤2：求公共和
已知内外两圈4个数字之和相等，且两圈总和为4，因此每圈的和为$4÷2=2$，同理横、竖4个数字的和也均为2。
步骤3：求b的值
竖列4个数字为-7、6、b、8，和为2，列式得：
$-7+6+b+8=2$
解得：$b=2-7=-5$
步骤4：求内圈左侧空白数字
内圈4个数字为6、4、b、左侧空白数，和为2，因此左侧空白数为：
$2-6-4-(-5)=-3$
步骤5：求a的可能值，计算$a+b$
目前已使用的数字为-7、6、4、8、-5、-3，剩余未使用的数字为-1和2，对应a和最右侧外圈空白数。
根据外圈和为2，列式：$-7+a+8+右侧空白数=2$，得$a+右侧空白数=1$，刚好符合$-1+2=1$，因此a有两种可能：
① 当$a=-1$时，$a+b=-1+(-5)=-6$
② 当$a=2$时，$a+b=2+(-5)=-3$
综上，$a+b$的值为-6或-3。
【答案】
A
【知识点】
有理数加法、数字规律探究、一元一次方程应用
【点评】
本题属于创新型幻方问题，难度适中，解题关键是先推导公共和，再逐步推出未知数字，需要注意剩余数字的两种分配情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.一个点从数轴的原点开始,向右移动5个单位长度,再向左移动8个单位长度,到达的终点表示的数是.
11.一个点从数轴的原点开始,向右移动5个单位长度,再向左移动8个单位长度,到达的终点表示的数是.
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
解这道题首先要明确数轴的基本规则：数轴原点表示的数是0，规定向右为正方向，因此点向右移动时，表示的数增大，移动几个单位就加几；点向左移动时，表示的数减小，移动几个单位就减几。我们按照移动顺序逐步计算每次移动后点对应的数，就能得到终点表示的数。
【解析】
点的初始位置在数轴原点，对应的数是0：
1. 向右移动5个单位长度后，对应的数为：$0 + 5 = 5$
2. 再向左移动8个单位长度后，对应的数为：$5 - 8 = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
数轴点移动规律、有理数加减法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察数轴上点的平移和数的对应变化关系，掌握“右加左减”的移动计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确数轴的基本规则：数轴原点表示的数是0，规定向右为正方向，因此点向右移动时，表示的数增大，移动几个单位就加几；点向左移动时，表示的数减小，移动几个单位就减几。我们按照移动顺序逐步计算每次移动后点对应的数，就能得到终点表示的数。
【解析】
点的初始位置在数轴原点，对应的数是0：
1. 向右移动5个单位长度后，对应的数为：$0 + 5 = 5$
2. 再向左移动8个单位长度后，对应的数为：$5 - 8 = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
数轴点移动规律、有理数加减法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察数轴上点的平移和数的对应变化关系，掌握“右加左减”的移动计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12.已知|a|=5,|b|=3,且|a−b|=b−a,则a+b=.
答案
解析
【分析】
首先根据绝对值的定义得到a、b的所有可能取值，再根据|a−b|=b−a推导a和b的大小关系，筛选出符合条件的a、b取值，最后代入计算a+b的值即可。解题时要注意绝对值等于它的相反数的数是非正数，不要遗漏符合条件的取值情况。
【解析】
1. 由绝对值的定义可知：
因为|a|=5，所以a=5或a=-5；
因为|b|=3，所以b=3或b=-3。
2. 分析|a−b|=b−a的含义：
根据绝对值的性质，若|x|=-x，则x≤0，这里x=a−b，因此a−b≤0，即a≤b。
3. 筛选符合a≤b的取值组合：
当a=5时，5＞3且5＞-3，都不满足a≤b，故a=5舍去，a只能取-5。
当a=-5时：
① 若b=3，-5＜3，满足a≤b，此时a+b=-5+3=-2；
② 若b=-3，-5＜-3，满足a≤b，此时a+b=-5+(-3)=-8。
【答案】
-2或-8
【知识点】
绝对值的性质，有理数大小比较，有理数加法
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活应用，解题的关键是根据|a−b|=b−a判断出a和b的大小关系，注意要对所有可能的取值进行筛选，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
首先根据绝对值的定义得到a、b的所有可能取值，再根据|a−b|=b−a推导a和b的大小关系，筛选出符合条件的a、b取值，最后代入计算a+b的值即可。解题时要注意绝对值等于它的相反数的数是非正数，不要遗漏符合条件的取值情况。
【解析】
1. 由绝对值的定义可知：
因为|a|=5，所以a=5或a=-5；
因为|b|=3，所以b=3或b=-3。
2. 分析|a−b|=b−a的含义：
根据绝对值的性质，若|x|=-x，则x≤0，这里x=a−b，因此a−b≤0，即a≤b。
3. 筛选符合a≤b的取值组合：
当a=5时，5＞3且5＞-3，都不满足a≤b，故a=5舍去，a只能取-5。
当a=-5时：
① 若b=3，-5＜3，满足a≤b，此时a+b=-5+3=-2；
② 若b=-3，-5＜-3，满足a≤b，此时a+b=-5+(-3)=-8。
【答案】
-2或-8
【知识点】
绝对值的性质，有理数大小比较，有理数加法
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活应用，解题的关键是根据|a−b|=b−a判断出a和b的大小关系，注意要对所有可能的取值进行筛选，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
13. 如图5，数轴上A,B两点之间的距离AB=18，有一根木棒MN，MN在数轴上移动，当N移动到与A,B其中一个端点重合时，点M所对应的数为3，且点M始终在点N的左侧，当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为。
答案
解：
设木棒MN的长度为L，由点M始终在点N左侧，可得任意时刻N对应的数减去M对应的数等于L。
已知AB=18，线段AB的中点到A、B两点的距离均为$18÷2=9$，分两种情况讨论：
① 当点N与点A重合时，点M对应的数为3，
则 $L = $ 点A对应的数 $- 3$，
当N移动到AB中点时，点M对应的数为：
$($点A对应的数 $+9) - L = ($点A对应的数 $+9) - ($点A对应的数 $-3) = 12$。
② 当点N与点B重合时，点M对应的数为3，
则 $L = $ 点B对应的数 $- 3$，
当N移动到AB中点时，点M对应的数为：
$($点B对应的数 $-9) - L = ($点B对应的数 $-9) - ($点B对应的数 $-3) = -6$。
综上，点M所对应的数为$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{-6}$。
设木棒MN的长度为L，由点M始终在点N左侧，可得任意时刻N对应的数减去M对应的数等于L。
已知AB=18，线段AB的中点到A、B两点的距离均为$18÷2=9$，分两种情况讨论：
① 当点N与点A重合时，点M对应的数为3，
则 $L = $ 点A对应的数 $- 3$，
当N移动到AB中点时，点M对应的数为：
$($点A对应的数 $+9) - L = ($点A对应的数 $+9) - ($点A对应的数 $-3) = 12$。
② 当点N与点B重合时，点M对应的数为3，
则 $L = $ 点B对应的数 $- 3$，
当N移动到AB中点时，点M对应的数为：
$($点B对应的数 $-9) - L = ($点B对应的数 $-9) - ($点B对应的数 $-3) = -6$。
综上，点M所对应的数为$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{-6}$。
解析
【分析】
解题时首先抓住木棒MN长度固定、点M始终在点N左侧这两个核心条件，可知任意时刻点N对应的数减去点M对应的数等于MN的长度。题目未明确N与A、B中哪个点重合，因此需要分两种情况讨论：N与A重合、N与B重合。先计算出AB中点到A、B的距离均为9，再结合MN长度不变的特点，分别计算两种情况下N移动到AB中点时M对应的数即可。
【解析】
设木棒MN的长度为L，由点M始终在点N左侧可得：任意时刻点N对应的数 - 点M对应的数 = L。
已知AB=18，因此线段AB的中点到A、B两点的距离均为$18÷2=9$，分两种情况讨论：
① 当点N与点A重合时，点M对应的数为3，因此$L = $点A对应的数 $- 3$。
当N移动到AB中点时，点N对应的数为点A对应的数 + 9，此时点M对应的数为：
$($点A对应的数 $+9) - L = ($点A对应的数 $+9) - ($点A对应的数 $-3) = 12$。
② 当点N与点B重合时，点M对应的数为3，因此$L = $点B对应的数 $- 3$。
当N移动到AB中点时，点N对应的数为点B对应的数 $-9$，此时点M对应的数为：
$($点B对应的数 $-9) - L = ($点B对应的数 $-9) - ($点B对应的数 $-3) = -6$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
数轴的应用、线段中点计算、分类讨论
【点评】
本题的解题关键是抓住木棒长度不变这一不变量，需要注意题目没有明确N与A还是B重合，需分情况讨论避免漏解，能够有效考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住木棒MN长度固定、点M始终在点N左侧这两个核心条件，可知任意时刻点N对应的数减去点M对应的数等于MN的长度。题目未明确N与A、B中哪个点重合，因此需要分两种情况讨论：N与A重合、N与B重合。先计算出AB中点到A、B的距离均为9，再结合MN长度不变的特点，分别计算两种情况下N移动到AB中点时M对应的数即可。
【解析】
设木棒MN的长度为L，由点M始终在点N左侧可得：任意时刻点N对应的数 - 点M对应的数 = L。
已知AB=18，因此线段AB的中点到A、B两点的距离均为$18÷2=9$，分两种情况讨论：
① 当点N与点A重合时，点M对应的数为3，因此$L = $点A对应的数 $- 3$。
当N移动到AB中点时，点N对应的数为点A对应的数 + 9，此时点M对应的数为：
$($点A对应的数 $+9) - L = ($点A对应的数 $+9) - ($点A对应的数 $-3) = 12$。
② 当点N与点B重合时，点M对应的数为3，因此$L = $点B对应的数 $- 3$。
当N移动到AB中点时，点N对应的数为点B对应的数 $-9$，此时点M对应的数为：
$($点B对应的数 $-9) - L = ($点B对应的数 $-9) - ($点B对应的数 $-3) = -6$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
数轴的应用、线段中点计算、分类讨论
【点评】
本题的解题关键是抓住木棒长度不变这一不变量，需要注意题目没有明确N与A还是B重合，需分情况讨论避免漏解，能够有效考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
14. $[x]$表示不超过$x$的最大整数,例:$[4.8]=4,[-0.8]=-1$.现定义:$||x||=x-[x]$.例:$||1.5||=1.5-[1.5]=0.5$.则$||3.9||+||-1.8||-|||1|||=$.
答案
$\boldsymbol{1.1}$
解析
【分析】
解题的核心是准确理解题目给出的两个新定义：$[x]$是不超过$x$的最大整数，$||x||=x-[x]$，也就是$x$的小数部分。解题时先分别计算出$||3.9||$、$||-1.8||$、$|||1|||$三个部分的值，再代入原式进行有理数的加减运算即可。计算负数的取整时要注意，不超过负数的最大整数是比这个负数更小的负整数，不要出错。
【解析】
根据新定义分步计算：
1. 计算$||3.9||$：
$[3.9]=3$，因此$||3.9||=3.9 - [3.9] = 3.9 - 3 = 0.9$；
2. 计算$||-1.8||$：
不超过$-1.8$的最大整数是$-2$，即$[-1.8]=-2$，因此$||-1.8||=-1.8 - [-1.8] = -1.8 - (-2) = 0.2$；
3. 计算$|||1|||$：
先算内层$||1||$：$[1]=1$，所以$||1||=1 - 1 = 0$；
再算外层$||0||$：$[0]=0$，所以$||0||=0 - 0 = 0$，即$|||1|||=0$；
4. 代入原式计算：
$||3.9||+||-1.8||-|||1|||=0.9 + 0.2 - 0 = 1.1$。
【答案】
$1.1$
【知识点】
新定义运算、有理数的加减运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确读懂题目给出的定义规则，按照规则分步计算，易错点是负数的取整运算，计算时要注意区分“不超过某数的最大整数”的含义，避免混淆正负取整的规则。
【难度系数】
0.7
解题的核心是准确理解题目给出的两个新定义：$[x]$是不超过$x$的最大整数，$||x||=x-[x]$，也就是$x$的小数部分。解题时先分别计算出$||3.9||$、$||-1.8||$、$|||1|||$三个部分的值，再代入原式进行有理数的加减运算即可。计算负数的取整时要注意，不超过负数的最大整数是比这个负数更小的负整数，不要出错。
【解析】
根据新定义分步计算：
1. 计算$||3.9||$：
$[3.9]=3$，因此$||3.9||=3.9 - [3.9] = 3.9 - 3 = 0.9$；
2. 计算$||-1.8||$：
不超过$-1.8$的最大整数是$-2$，即$[-1.8]=-2$，因此$||-1.8||=-1.8 - [-1.8] = -1.8 - (-2) = 0.2$；
3. 计算$|||1|||$：
先算内层$||1||$：$[1]=1$，所以$||1||=1 - 1 = 0$；
再算外层$||0||$：$[0]=0$，所以$||0||=0 - 0 = 0$，即$|||1|||=0$；
4. 代入原式计算：
$||3.9||+||-1.8||-|||1|||=0.9 + 0.2 - 0 = 1.1$。
【答案】
$1.1$
【知识点】
新定义运算、有理数的加减运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确读懂题目给出的定义规则，按照规则分步计算，易错点是负数的取整运算，计算时要注意区分“不超过某数的最大整数”的含义，避免混淆正负取整的规则。
【难度系数】
0.7
