9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D,E$分别在$BC$,AC上,$AD,BE$交于$F$,若$BD=CD=CE$,$AF=DF$,则$\tan∠ ABC$的值为 ()

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{5}$

9.C 【点拨】如图,过A作$AG// BC$,交BE的延长线于G,$\therefore ∠G=∠DBF. \because BD=CD=CE, \therefore BC=2BD=2CE$.在$△ AGF$和$△ DBF$中,$\begin{cases} ∠G=∠DBF, \\ ∠AFG=∠DFB, \\ AF=DF, \end{cases} \therefore △ AGF ≅ △ DBF, \therefore AG=BD=\frac{1}{2}BC. \because ∠G=∠CBE,∠AEG=∠CEB, \therefore △ AEG ∽ △ CEB, \therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}, \therefore AE=\frac{1}{2}CE$$\therefore AC=\frac{3}{2}CE, \therefore \tan∠ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{3}{2}CE}{2CE}=\frac{3}{4}$.

10. 新考法 折叠法 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$BC=2\sqrt{5}$,$E$是$BC$的中点,将$△ ABE$沿直线$AE$翻折,点$B$落在点$F$处,连结$CF$,则$\cos∠ ECF$的值为（）

A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

10.C 【点拨】$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠B=90°. \because E$是BC的中点,$BC=2\sqrt{5}, \therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=3$.由翻折的性质得$∠AEF=∠AEB,EF=BE, \therefore EF=CE, \therefore ∠EFC=∠ECF. \therefore ∠BEF=∠EFC+∠ECF=2∠ECF$$\because ∠BEF=∠AEB+∠AEF=2∠AEB, \therefore ∠AEB=∠ECF, \therefore \cos∠ECF=\cos∠AEB=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

11. ⋯ 情境题 生活应用 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1 m到A'时，梯脚B滑到B'，此时A'B'与地面的夹角为β，若$\tanα=\frac{4}{3}$，$B'B=1$ m，则$\sinβ=$.

（第11题）（第12题）

11.$\frac{3}{5}$ 【点拨】如图,由题意得$AO⊥BO$,在$\mathrm{Rt}△AOB$中$\tan α=\frac{AO}{BO}=\frac{4}{3}$,设$AO=4x\ \mathrm{m}$,则$BO=3x\ \mathrm{m}, \therefore AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x(\mathrm{m}). \because AA'=1\ \mathrm{m},BB'=1\ \mathrm{m}$,$\therefore A'O=AO-AA'=(4x-1)\ \mathrm{m},B'O=BB'+BO=(3x+1)\ \mathrm{m}$.由题意得$AB=A'B'=5x\ \mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△A'B'O$中,$B'O^2+A'O^2=A'B'^2, \therefore (3x+1)^2+(4x-1)^2=(5x)^2$,解得$x=1, \therefore A'O=3\ \mathrm{m},B'O=4\ \mathrm{m},A'B'=5\ \mathrm{m}$,$\therefore \sin β=\frac{A'O}{A'B'}=\frac{3}{5}$.

12. 新趋势学科内综合 如图，$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，顶点$A$，$B$分别在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$与$y=\dfrac{-5}{x}(x＜0)$的图象上，则$\tan∠ BAO$的值为。

12.$\sqrt{5}$ 【点拨】如图,过A作$AC⊥x$轴于C,过B作$BD⊥x$轴于D,则$∠BDO=∠ACO=90°, \therefore ∠BOD+∠DBO=90°. \because$顶点A,B分别在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$与$y=\frac{-5}{x}(x＜0)$的图象上,$\therefore S_{△ BDO}=\frac{5}{2},S_{△ AOC}=\frac{1}{2}$.$\because ∠AOB=90°, \therefore ∠BOD+∠AOC=90°, \therefore ∠DBO=∠AOC, \therefore △ BDO ∽ △ OCA$,$\therefore \frac{S_{△ BOD}}{S_{△ OAC}}=(\frac{OB}{OA})^2=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$,$\therefore \frac{OB}{OA}=\sqrt{5}, \therefore \tan∠BAO=\frac{OB}{OA}=\sqrt{5}$.

13. ★★ 新考法分类讨论法 在$△ ABC$中，$AH$是$BC$边上的高，$CD$是$AB$边上的中线，$CH=\frac{1}{2}AB$.若$AB=10$，$AH=6$，则$\tan∠DCH$的值为.

13.$3或\frac{1}{3}$ 【点拨】过点D作$DE⊥BC$,垂足为E.如图①,当H在BC上时,$\because AB=10,AH=6,CH=\frac{1}{2}AB$,$\therefore BH=\sqrt{10^2-6^2}=8,CH=5. \because CD$是AB边上的中线,$\therefore BD=AD=\frac{1}{2}AB$.易知$DE// AH, \therefore △ BDE ∽ △ BAH, \therefore \frac{DE}{AH}=\frac{BE}{BH}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}. \therefore DE=\frac{1}{2}AH=3$,$BE=\frac{1}{2}BH, \therefore EH=\frac{1}{2}BH. \therefore EC=\frac{1}{2}BH+HC=9$,$\therefore \tan∠DCH=\frac{DE}{EC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$;如图②,当H在BC的延长线上时,同理可得$DE=\frac{1}{2}AH=3,EC=HC-\frac{1}{2}BH=5-4=1$,故$\tan∠DCH=\frac{DE}{EC}=3$.综上,$\tan∠DCH$的值为$3或\frac{1}{3}$.

14. [威海中考]【问题提出】
已知$∠α,∠β$都是锐角，$\tanα=\frac{1}{2}$，$\tanβ=\frac{1}{3}$，求$∠α+∠β$的度数.
【问题解决】
(1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出$∠ BAD$和$∠ CAD$，请你按照这个思路求$∠α+∠β$的度数.(点$A,B,C,D$都在格点上)

【策略迁移】
(2)已知$∠α,∠β$都是锐角，$\tanα=\frac{2}{3}$，$\tanβ=\frac{3}{2}$，则$∠α+∠β=\_\_\_\_\_\_°$；
(3)已知$∠α,∠β,∠θ$都是锐角，$\tanα=\frac{1}{3}$，$\tanβ=\frac{1}{7}$，$∠α+∠β=∠θ$，求$\tanθ$的值.(提示:在正方形网格中画出求解过程的图形,并直接写出答案)

14.【解】(1)如图①,连结BC.$\because AB=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$.$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,且$∠ABC=90°$.$\therefore ∠BAC=45°. \because \tan∠BAD=\frac{1}{2}=\tan α,\tan∠CAD=\frac{1}{3}=\tan β$,$\therefore ∠α+∠β=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°$.
(2)90 【点拨】如图②,由题意,得$\tan α=\tan∠BAD=\frac{2}{3}$,$\tan β=\tan∠DAC=\frac{3}{2}. \because AB=AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$BC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}, \therefore AB^2+AC^2=BC^2. \therefore △ ABC$是等腰直角三角形,且$∠BAC=90°. \therefore ∠α+∠β=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°$.
(3)$\tan θ=\frac{1}{2}$. 【点拨】如图③,由题意知,$\tan α=\tan∠GDH=\frac{1}{3}$,$\tan β=\tan∠HDF=\frac{1}{7}, \therefore ∠α+∠β=∠GDH+∠HDF=∠GDF. \because ∠α+∠β=∠θ, \therefore ∠θ=∠GDF. \because DG=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10},GF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$DF=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}, \therefore DG^2+GF^2=DF^2$.$\therefore △ DGF$是直角三角形,且$∠DGF=90°. \therefore \tan θ=\tan∠GDF=\frac{GF}{DG}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$.