登录
11.如图，这是由三个大小不一样的正方体拼成的几何体，其中两个小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长，分别从前面、左面、上面看该几何体所得到的平面图形的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1,S_2,S_3$的大小关系是（
A.$S_1=S_2=S_3$
B.$S_3＜S_2＜S_1$
C.$S_1＜S_2＜S_3$
D.$S_3＜S_1＜S_2$
B
）A.$S_1=S_2=S_3$
B.$S_3＜S_2＜S_1$
C.$S_1＜S_2＜S_3$
D.$S_3＜S_1＜S_2$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时可先通过设棱长的方式表示出三个视图的面积，再比较大小。首先明确不同观察方向能看到的面：从前面看，能看到大正方体正面，以及其上方两个小正方体的正面；从左面看，最小的正方体在中等正方体右侧，会被遮挡，仅能看到大正方体左面和中等小正方体的左面；从上面看，两个小正方体的投影都在大正方体顶面范围内，只能看到大正方体的顶面。接下来分别计算三个视图的面积再对比即可。
【解析】
设大正方体的棱长为$a$，中等大小正方体的棱长为$x$，最小正方体的棱长为$y$，根据题意可得$x+y=a$。
1. 计算前视图面积$S_1$：可同时看到大正方形、中等正方形、最小正方形的面，因此$S_1=a^2+x^2+y^2$。
2. 计算左视图面积$S_2$：最小正方体被中等正方体遮挡，只能看到大正方形和中等正方形的面，因此$S_2=a^2+x^2$。
3. 计算俯视图面积$S_3$：两个小正方体的投影均在大正方形顶面范围内，因此$S_3=a^2$。
由于棱长均为正数，因此$x^2＞0,y^2＞0$，可得$a^2 ＜ a^2+x^2 ＜ a^2+x^2+y^2$，即$S_3＜S_2＜S_1$。
【答案】
B
【知识点】
三视图识别，正方形面积计算，组合体观察
【点评】
本题考查三视图的相关概念，解题核心是准确判断不同观察方向下可见的面，排除被遮挡的面，结合简单的大小比较就能得出结论，是视图章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可先通过设棱长的方式表示出三个视图的面积，再比较大小。首先明确不同观察方向能看到的面：从前面看，能看到大正方体正面，以及其上方两个小正方体的正面；从左面看，最小的正方体在中等正方体右侧，会被遮挡，仅能看到大正方体左面和中等小正方体的左面；从上面看，两个小正方体的投影都在大正方体顶面范围内，只能看到大正方体的顶面。接下来分别计算三个视图的面积再对比即可。
【解析】
设大正方体的棱长为$a$，中等大小正方体的棱长为$x$，最小正方体的棱长为$y$，根据题意可得$x+y=a$。
1. 计算前视图面积$S_1$：可同时看到大正方形、中等正方形、最小正方形的面，因此$S_1=a^2+x^2+y^2$。
2. 计算左视图面积$S_2$：最小正方体被中等正方体遮挡，只能看到大正方形和中等正方形的面，因此$S_2=a^2+x^2$。
3. 计算俯视图面积$S_3$：两个小正方体的投影均在大正方形顶面范围内，因此$S_3=a^2$。
由于棱长均为正数，因此$x^2＞0,y^2＞0$，可得$a^2 ＜ a^2+x^2 ＜ a^2+x^2+y^2$，即$S_3＜S_2＜S_1$。
【答案】
B
【知识点】
三视图识别，正方形面积计算，组合体观察
【点评】
本题考查三视图的相关概念，解题核心是准确判断不同观察方向下可见的面，排除被遮挡的面，结合简单的大小比较就能得出结论，是视图章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
12.如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展开的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字的和都是8，则$x+y-z=$
-2
。答案
12.-2
解析
【分析】
解决本题首先要掌握正方体展开图相对面的判断规律：同一行或同一列中，间隔1个面的两个面是相对面。先找到每个面的相对面，再根据“相对面上的数字和为8”的条件，分别列等式求出x、y、z的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
第一步：判断各面的相对面
1. 观察展开图，同一行中3和y间隔了面$x+4$，因此3的相对面是y；
2. 同一列中2和z间隔了面y，因此2的相对面是z；
3. 剩余的面$x+4$的相对面为5。
第二步：根据相对面和为8求未知数
① $3+y=8$，解得$y=5$；
② $2+z=8$，解得$z=6$；
③ $(x+4)+5=8$，解得$x=-1$。
第三步：代入计算
将$x=-1$，$y=5$，$z=6$代入$x+y-z$得：
$x+y-z=-1+5-6=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
正方体展开图相对面判断、代数式求值
【点评】
本题核心是准确识别正方体展开图的相对面，熟记“相间、Z端是对面”的判断规律即可快速求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握正方体展开图相对面的判断规律：同一行或同一列中，间隔1个面的两个面是相对面。先找到每个面的相对面，再根据“相对面上的数字和为8”的条件，分别列等式求出x、y、z的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
第一步：判断各面的相对面
1. 观察展开图，同一行中3和y间隔了面$x+4$，因此3的相对面是y；
2. 同一列中2和z间隔了面y，因此2的相对面是z；
3. 剩余的面$x+4$的相对面为5。
第二步：根据相对面和为8求未知数
① $3+y=8$，解得$y=5$；
② $2+z=8$，解得$z=6$；
③ $(x+4)+5=8$，解得$x=-1$。
第三步：代入计算
将$x=-1$，$y=5$，$z=6$代入$x+y-z$得：
$x+y-z=-1+5-6=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
正方体展开图相对面判断、代数式求值
【点评】
本题核心是准确识别正方体展开图的相对面，熟记“相间、Z端是对面”的判断规律即可快速求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
13.由一些相同的小正方体搭成的几何体，从三个不同方向看到的平面图形如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是
4
。答案
13.4
解析
【分析】
要确定搭成几何体的小正方体个数，可按三步思考：1. 先看俯视图，俯视图中每个小正方形对应底层1个小正方体，可直接得到底层小正方体数量；2. 再看主视图（从前面看），主视图每列的高度对应几何体左右各列的最大层数，可判断哪一列存在第二层；3. 最后结合左视图（从左面看），左视图的宽度对应几何体的前后排数，高度对应前后各排的最大层数，可确定上层小正方体的数量，将两层数量相加即可得到总数。
【解析】
1. 由从上面看到的图形可知，该几何体的底层有3个小正方体；
2. 从前面看到的图形显示，几何体最右侧列最高为2层，说明存在第二层的小正方体；
3. 从左面看到的图形显示，几何体只有1排，因此第二层仅有1个小正方体，位于底层最右侧小正方体的上方；
4. 小正方体总个数为底层个数加上层个数：$3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
三视图的认识；由三视图确定几何体
【点评】
本题考查三视图的实际应用，解题核心是明确三种视图和几何体的对应关系：俯视图确定底层小正方体数量，主视图确定左右各列的层数，左视图确定前后排的层数，熟练掌握对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定搭成几何体的小正方体个数，可按三步思考：1. 先看俯视图，俯视图中每个小正方形对应底层1个小正方体，可直接得到底层小正方体数量；2. 再看主视图（从前面看），主视图每列的高度对应几何体左右各列的最大层数，可判断哪一列存在第二层；3. 最后结合左视图（从左面看），左视图的宽度对应几何体的前后排数，高度对应前后各排的最大层数，可确定上层小正方体的数量，将两层数量相加即可得到总数。
【解析】
1. 由从上面看到的图形可知，该几何体的底层有3个小正方体；
2. 从前面看到的图形显示，几何体最右侧列最高为2层，说明存在第二层的小正方体；
3. 从左面看到的图形显示，几何体只有1排，因此第二层仅有1个小正方体，位于底层最右侧小正方体的上方；
4. 小正方体总个数为底层个数加上层个数：$3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
三视图的认识；由三视图确定几何体
【点评】
本题考查三视图的实际应用，解题核心是明确三种视图和几何体的对应关系：俯视图确定底层小正方体数量，主视图确定左右各列的层数，左视图确定前后排的层数，熟练掌握对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【变式】三个方向看→两个方向看
一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成.从上面和左面观察该几何体,看到的图形如图所示,那么组成该几何体最少需要
一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成.从上面和左面观察该几何体,看到的图形如图所示,那么组成该几何体最少需要
5
个小正方体,最多需要7
个小正方体.答案
【变式】5 7
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步，先根据从上面看到的图形确定底层小正方体的数量，俯视图中每个正方形的位置都对应底层至少1个小正方体，所以底层的数量是固定的。第二步，根据从左面看到的图形确定几何体的层数，以及第二层小正方体可以放置的位置，分别计算最少和最多的放置数量，加到底层数量上就能得到结果。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：从上面看到的图形显示，底层共有4个位置需要放置小正方体，每个位置至少1个，因此底层固定有4个小正方体。
2. 分析第二层小正方体的数量：从左面看到的图形可知几何体共有2层，且第二层的小正方体只能放在俯视图对应的后排位置。
最少情况：第二层仅放置1个小正方体即可满足左视图要求，总个数为 $4+1=5$；
最多情况：后排所有可放置位置都放上第二层小正方体，共可放3个，总个数为 $4+3=7$。
【答案】
5；7
【知识点】
1. 几何体的三视图 2. 由视图确定小正方体数量
【点评】
本题考查根据两个视图判断组成几何体的小正方体个数，解题的核心是明确俯视图确定底层小正方体的分布，左视图限制层数和上层可放置的区域，分析时要区分最少、最多两种情况的放置规则。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步，先根据从上面看到的图形确定底层小正方体的数量，俯视图中每个正方形的位置都对应底层至少1个小正方体，所以底层的数量是固定的。第二步，根据从左面看到的图形确定几何体的层数，以及第二层小正方体可以放置的位置，分别计算最少和最多的放置数量，加到底层数量上就能得到结果。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：从上面看到的图形显示，底层共有4个位置需要放置小正方体，每个位置至少1个，因此底层固定有4个小正方体。
2. 分析第二层小正方体的数量：从左面看到的图形可知几何体共有2层，且第二层的小正方体只能放在俯视图对应的后排位置。
最少情况：第二层仅放置1个小正方体即可满足左视图要求，总个数为 $4+1=5$；
最多情况：后排所有可放置位置都放上第二层小正方体，共可放3个，总个数为 $4+3=7$。
【答案】
5；7
【知识点】
1. 几何体的三视图 2. 由视图确定小正方体数量
【点评】
本题考查根据两个视图判断组成几何体的小正方体个数，解题的核心是明确俯视图确定底层小正方体的分布，左视图限制层数和上层可放置的区域，分析时要区分最少、最多两种情况的放置规则。
【难度系数】
0.7
14.小强用5个大小相同的正方形制成如图所示的拼接图形(阴影部分).请你在图中只
添加一个正方形并用阴影表示,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体.
添加一个正方形并用阴影表示,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体.
答案
14.解:如图所示.
（答案不唯一）解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要回忆正方体展开图的相关特征：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成，且展开图中不能出现“田”字形、“凹”字形的结构，否则无法折叠成封闭的正方体。现在题目已经给出了5个正方形组成的阴影部分，我们只需要找到一个合适的空白小方格，补画正方形后，让整体图形满足正方体展开图的要求即可。我们可以对照常见的正方体展开图类型（如一四一型、一三二型、三三型、二二二型），找到和现有阴影排布匹配的类型，补充缺失的那个正方形即可，注意符合要求的补充位置不止一种。
【解析】
第一步：明确正方体展开图的判定规则：展开图共6个相同正方形，无“田”字、“凹”字结构，即可折叠为正方体。
第二步：观察现有5个阴影正方形的排布，选择合适的空白位置补画正方形，例如补在第四行第3列的小方格（如答案图所示），补全后图形属于“一三二”型正方体展开图，验证后可折叠为封闭的正方体。
补充说明：满足要求的补画位置不唯一，只要补全后符合正方体展开图特征均正确。
【答案】
如图所示.（答案不唯一）
【知识点】
正方体展开图，展开与折叠
【点评】
本题考查正方体展开图的特征应用，需要学生熟悉常见的正方体展开图类型，避免出现“田”“凹”类的错误结构，题目具有一定开放性，能锻炼学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先我们需要回忆正方体展开图的相关特征：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成，且展开图中不能出现“田”字形、“凹”字形的结构，否则无法折叠成封闭的正方体。现在题目已经给出了5个正方形组成的阴影部分，我们只需要找到一个合适的空白小方格，补画正方形后，让整体图形满足正方体展开图的要求即可。我们可以对照常见的正方体展开图类型（如一四一型、一三二型、三三型、二二二型），找到和现有阴影排布匹配的类型，补充缺失的那个正方形即可，注意符合要求的补充位置不止一种。
【解析】
第一步：明确正方体展开图的判定规则：展开图共6个相同正方形，无“田”字、“凹”字结构，即可折叠为正方体。
第二步：观察现有5个阴影正方形的排布，选择合适的空白位置补画正方形，例如补在第四行第3列的小方格（如答案图所示），补全后图形属于“一三二”型正方体展开图，验证后可折叠为封闭的正方体。
补充说明：满足要求的补画位置不唯一，只要补全后符合正方体展开图特征均正确。
【答案】
如图所示.
（答案不唯一）【知识点】
正方体展开图，展开与折叠
【点评】
本题考查正方体展开图的特征应用，需要学生熟悉常见的正方体展开图类型，避免出现“田”“凹”类的错误结构，题目具有一定开放性，能锻炼学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
15.一个长方体的展开图如图所示.每一面上都标注了字母(标字母的面都是外表面),根据要求回答问题:
(1)如果D面在长方体的左面,那么F面在长方体的哪一面?
(2)B面和哪个面是相对的面?
(3)如果C面为长方体的前面,从上面看是D面,那么长方体的左面是哪个面?
(4)如果B面在长方体的后面,从左面看是D面,那么长方体的下面是哪个面?
(1)如果D面在长方体的左面,那么F面在长方体的哪一面?
(2)B面和哪个面是相对的面?
(3)如果C面为长方体的前面,从上面看是D面,那么长方体的左面是哪个面?
(4)如果B面在长方体的后面,从左面看是D面,那么长方体的下面是哪个面?
答案
15.(1)解:右面.
(2)E面.
(3)B面.
(4)C面.
(2)E面.
(3)B面.
(4)C面.
解析
【分析】
解决本题的核心是先利用长方体展开图“相对的面不相邻”的特征，先确定三组相对面：D与F相对，B与E相对，A与C相对。再结合每个小问给出的已知面的方位，根据相对面的方位关系，结合空间想象就能推出所求面的位置。
【解析】
首先根据长方体展开图的特征，确定三组相对面：D面和F面相对，B面和E面相对，A面和C面相对。
(1) 因为D面和F面是相对面，若D面在左面，相对的F面就在右面。
(2) 由已确定的相对面关系可知，B面的相对面是E面。
(3) 已知C面为前面，则相对的A面为后面；上面是D面，则相对的F面为下面；剩余的B面和E面为左右面，结合展开图折叠后的方位关系，可知左面为B面。
(4) 已知B面在后面，则相对的E面为前面；左面是D面，则相对的F面为右面；剩余的A面和C面为上下面，结合展开图折叠后的方位关系，可知下面为C面。
【答案】
(1)右面；(2)E面；(3)B面；(4)C面
【知识点】
长方体展开图特征、相对面判定、空间方位判断
【点评】
本题考查长方体展开图的相关知识，解题的关键是先准确找到三组相对面，再结合已知条件通过空间想象或实际折叠判断对应面的方位，有助于提升空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先利用长方体展开图“相对的面不相邻”的特征，先确定三组相对面：D与F相对，B与E相对，A与C相对。再结合每个小问给出的已知面的方位，根据相对面的方位关系，结合空间想象就能推出所求面的位置。
【解析】
首先根据长方体展开图的特征，确定三组相对面：D面和F面相对，B面和E面相对，A面和C面相对。
(1) 因为D面和F面是相对面，若D面在左面，相对的F面就在右面。
(2) 由已确定的相对面关系可知，B面的相对面是E面。
(3) 已知C面为前面，则相对的A面为后面；上面是D面，则相对的F面为下面；剩余的B面和E面为左右面，结合展开图折叠后的方位关系，可知左面为B面。
(4) 已知B面在后面，则相对的E面为前面；左面是D面，则相对的F面为右面；剩余的A面和C面为上下面，结合展开图折叠后的方位关系，可知下面为C面。
【答案】
(1)右面；(2)E面；(3)B面；(4)C面
【知识点】
长方体展开图特征、相对面判定、空间方位判断
【点评】
本题考查长方体展开图的相关知识，解题的关键是先准确找到三组相对面，再结合已知条件通过空间想象或实际折叠判断对应面的方位，有助于提升空间想象能力。
【难度系数】
0.7
