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11.在-3,-2,-1,4,5中任取三个数相乘,所得的积最大值是
30
,最小值是-60
.答案
11.30 -60
解析
【分析】
解决本题首先回忆多个有理数相乘的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有偶数个时积为正，负因数有奇数个时积为负，积的绝对值等于各因数绝对值的乘积。①求最大的积：因为正数大于负数，所以积需为正数，本题共有3个负数、2个正数，无法选出3个正数，因此只能选2个负数+1个正数的组合，要让积最大，只需选绝对值最大的2个负数和最大的正数相乘即可。②求最小的积：最小的积是绝对值最大的负数，所以积需为负数，可选1个负数+2个正数，或3个负数两种组合，分别计算后比较大小即可得到最小值。
【解析】
题中负数有-3、-2、-1，正数有4、5，分两种情况计算：
1. 求最大的积
积为正数，需负因数个数为偶数，因此选择2个绝对值最大的负数和1个最大的正数：
$\begin{aligned}(-3)×(-2)×5&=6×5\\&=30\end{aligned}$
2. 求最小的积
积为负数，需负因数个数为奇数，分别计算两种可能的组合：
①3个负数相乘：$(-3)×(-2)×(-1)=-6$
②1个绝对值最大的负数+2个正数：
$\begin{aligned}(-3)×4×5&=-12×5\\&=-60\end{aligned}$
比较$-6$和$-60$，可得$-60$更小。
【答案】
$30$；$-60$
【知识点】
多个有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数乘法运算
【点评】
本题解题的关键是先根据多个有理数相乘的符号规律确定符合正负要求的因数组合，再通过计算筛选最值，注意不要遗漏可能的组合情况。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆多个有理数相乘的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有偶数个时积为正，负因数有奇数个时积为负，积的绝对值等于各因数绝对值的乘积。①求最大的积：因为正数大于负数，所以积需为正数，本题共有3个负数、2个正数，无法选出3个正数，因此只能选2个负数+1个正数的组合，要让积最大，只需选绝对值最大的2个负数和最大的正数相乘即可。②求最小的积：最小的积是绝对值最大的负数，所以积需为负数，可选1个负数+2个正数，或3个负数两种组合，分别计算后比较大小即可得到最小值。
【解析】
题中负数有-3、-2、-1，正数有4、5，分两种情况计算：
1. 求最大的积
积为正数，需负因数个数为偶数，因此选择2个绝对值最大的负数和1个最大的正数：
$\begin{aligned}(-3)×(-2)×5&=6×5\\&=30\end{aligned}$
2. 求最小的积
积为负数，需负因数个数为奇数，分别计算两种可能的组合：
①3个负数相乘：$(-3)×(-2)×(-1)=-6$
②1个绝对值最大的负数+2个正数：
$\begin{aligned}(-3)×4×5&=-12×5\\&=-60\end{aligned}$
比较$-6$和$-60$，可得$-60$更小。
【答案】
$30$；$-60$
【知识点】
多个有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数乘法运算
【点评】
本题解题的关键是先根据多个有理数相乘的符号规律确定符合正负要求的因数组合，再通过计算筛选最值，注意不要遗漏可能的组合情况。
【难度系数】
0.7
12.绝对值小于2025的所有整数的乘积等于
0
.答案
12.0
解析
【分析】
解题时首先要明确绝对值小于2025的整数范围，整数包含正整数、0、负整数，其中0的绝对值为0，显然小于2025，所以符合条件的整数里一定包含0。再结合多个有理数相乘的运算规则：只要乘法算式中有一个因数是0，所得的积就为0，无需计算其余数的乘积，就能直接推导结果。
【解析】
解：绝对值小于2025的所有整数为：-2024、-2023、……、-1、0、1、……、2023、2024。
根据多个有理数相乘的法则：几个数相乘，若其中有一个因数为0，那么积就为0。
因为上述整数中包含因数0，所以它们的乘积为0。
【答案】
0
【知识点】
绝对值的定义，多个有理数乘法法则
【点评】
本题解题的关键是发现符合条件的整数中包含0，不用计算其余整数的乘积，直接利用0乘任何数都得0的特性就能快速得到答案，易错点是忽略0的存在，盲目计算正负整数的乘积导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确绝对值小于2025的整数范围，整数包含正整数、0、负整数，其中0的绝对值为0，显然小于2025，所以符合条件的整数里一定包含0。再结合多个有理数相乘的运算规则：只要乘法算式中有一个因数是0，所得的积就为0，无需计算其余数的乘积，就能直接推导结果。
【解析】
解：绝对值小于2025的所有整数为：-2024、-2023、……、-1、0、1、……、2023、2024。
根据多个有理数相乘的法则：几个数相乘，若其中有一个因数为0，那么积就为0。
因为上述整数中包含因数0，所以它们的乘积为0。
【答案】
0
【知识点】
绝对值的定义，多个有理数乘法法则
【点评】
本题解题的关键是发现符合条件的整数中包含0，不用计算其余整数的乘积，直接利用0乘任何数都得0的特性就能快速得到答案，易错点是忽略0的存在，盲目计算正负整数的乘积导致出错。
【难度系数】
0.8
绝对值小于10.5而大于8.2的所有整数的乘积等于
8100
.答案
【变式】8100
解析
【分析】
解题需要分两步完成：第一步，根据绝对值的定义，找出所有满足“绝对值大于8.2且小于10.5”的整数，注意不要遗漏负整数；第二步，运用多个有理数相乘的运算法则，先判断乘积的符号，再计算绝对值的乘积，最终得到结果。
【解析】
① 先确定满足条件的整数：
设符合要求的整数为$x$，根据题意可得$8.2 ＜ |x| ＜ 10.5$。
因为$x$是整数，所以$|x|$也为整数，因此$|x|$可取9、10，对应$x$的值为$-10、-9、9、10$。
② 计算四个整数的乘积：
根据多个有理数相乘的法则，负因数个数为偶数时积为正，本题中负因数共有2个，是偶数，所以乘积符号为正；
再计算绝对值的乘积：$10×9×9×10=8100$。
【答案】
8100
【知识点】
绝对值的性质，多个有理数乘法法则
【点评】
本题是绝对值和有理数乘法的综合基础题，解题关键是准确找出所有符合条件的整数，易错点是容易遗漏负整数，熟练掌握多个有理数相乘的符号判定规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题需要分两步完成：第一步，根据绝对值的定义，找出所有满足“绝对值大于8.2且小于10.5”的整数，注意不要遗漏负整数；第二步，运用多个有理数相乘的运算法则，先判断乘积的符号，再计算绝对值的乘积，最终得到结果。
【解析】
① 先确定满足条件的整数：
设符合要求的整数为$x$，根据题意可得$8.2 ＜ |x| ＜ 10.5$。
因为$x$是整数，所以$|x|$也为整数，因此$|x|$可取9、10，对应$x$的值为$-10、-9、9、10$。
② 计算四个整数的乘积：
根据多个有理数相乘的法则，负因数个数为偶数时积为正，本题中负因数共有2个，是偶数，所以乘积符号为正；
再计算绝对值的乘积：$10×9×9×10=8100$。
【答案】
8100
【知识点】
绝对值的性质，多个有理数乘法法则
【点评】
本题是绝对值和有理数乘法的综合基础题，解题关键是准确找出所有符合条件的整数，易错点是容易遗漏负整数，熟练掌握多个有理数相乘的符号判定规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
13.计算:
(1)$(-3)×\frac{5}{6}×(-\frac{9}{5})×\frac{1}{4}$；
(2)$(-\frac{3}{10})×(-\frac{5}{6})×(-\frac{14}{3})×(-\frac{36}{7})$；
(3)$(-8)×(-12)×(-0.125)×(-\frac{1}{3})×(-0.1)$；
(4)$-|-2\frac{1}{4}|×(-\frac{2}{3})×(-3)×2.5$。
(1)$(-3)×\frac{5}{6}×(-\frac{9}{5})×\frac{1}{4}$；
(2)$(-\frac{3}{10})×(-\frac{5}{6})×(-\frac{14}{3})×(-\frac{36}{7})$；
(3)$(-8)×(-12)×(-0.125)×(-\frac{1}{3})×(-0.1)$；
(4)$-|-2\frac{1}{4}|×(-\frac{2}{3})×(-3)×2.5$。
答案
13.(1)解:原式$=3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{9}{5}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{8}.$
(2)解:原式$=\dfrac{3}{10}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{14}{3}×\dfrac{36}{7}=6.$
(3)解:原式$=-(8×12×0.125×\dfrac{1}{3}×0.1)=-0.4.$
(4)解:原式$=-\dfrac{9}{4}×(-\dfrac{2}{3})×(-3)×\dfrac{5}{2}=-(\dfrac{9}{4}×\dfrac{2}{3}×3×\dfrac{5}{2})=-\dfrac{45}{4}.$
(2)解:原式$=\dfrac{3}{10}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{14}{3}×\dfrac{36}{7}=6.$
(3)解:原式$=-(8×12×0.125×\dfrac{1}{3}×0.1)=-0.4.$
(4)解:原式$=-\dfrac{9}{4}×(-\dfrac{2}{3})×(-3)×\dfrac{5}{2}=-(\dfrac{9}{4}×\dfrac{2}{3}×3×\dfrac{5}{2})=-\dfrac{45}{4}.$
解析
【分析】
解决多个有理数相乘的题目时，遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先统计算式中负因数的个数，负因数个数为奇数时积为负，个数为偶数时积为正；再将所有因数的绝对值相乘，计算过程中可利用乘法交换律、结合律凑整或约分简化运算，遇到带分数先化为假分数、小数可化为分数方便计算，含绝对值的先化简绝对值。
【解析】
(1) 算式中有2个负因数，负因数个数为偶数，积为正，再计算绝对值的乘积：
原式$=3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{9}{5}×\dfrac{1}{4}$，约分后得$\dfrac{9}{8}$。
(2) 算式中有4个负因数，负因数个数为偶数，积为正，再计算绝对值的乘积：
原式$=\dfrac{3}{10}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{14}{3}×\dfrac{36}{7}$，分步约分后计算得$6$。
(3) 算式中有5个负因数，负因数个数为奇数，积为负，利用乘法交换律、结合律简化绝对值的计算：
原式$=-(8×12×0.125×\dfrac{1}{3}×0.1)=-[(8×0.125)×(12×\dfrac{1}{3})×0.1]=-0.4$。
(4) 先化简绝对值得$|-2\dfrac{1}{4}|=\dfrac{9}{4}$，算式中共有3个负因数，负因数个数为奇数，积为负，把小数化为分数后计算：
原式$=-\dfrac{9}{4}×(-\dfrac{2}{3})×(-3)×\dfrac{5}{2}=-(\dfrac{9}{4}×\dfrac{2}{3}×3×\dfrac{5}{2})$，约分后得$-\dfrac{45}{4}$。
【答案】
(1)$\dfrac{9}{8}$；(2)$6$；(3)$-0.4$；(4)$-\dfrac{45}{4}$
【知识点】
多个有理数乘法法则，乘法运算律，绝对值化简
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，解题核心是准确判断积的符号，计算时灵活运用运算律约分、凑整，可有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
解决多个有理数相乘的题目时，遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先统计算式中负因数的个数，负因数个数为奇数时积为负，个数为偶数时积为正；再将所有因数的绝对值相乘，计算过程中可利用乘法交换律、结合律凑整或约分简化运算，遇到带分数先化为假分数、小数可化为分数方便计算，含绝对值的先化简绝对值。
【解析】
(1) 算式中有2个负因数，负因数个数为偶数，积为正，再计算绝对值的乘积：
原式$=3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{9}{5}×\dfrac{1}{4}$，约分后得$\dfrac{9}{8}$。
(2) 算式中有4个负因数，负因数个数为偶数，积为正，再计算绝对值的乘积：
原式$=\dfrac{3}{10}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{14}{3}×\dfrac{36}{7}$，分步约分后计算得$6$。
(3) 算式中有5个负因数，负因数个数为奇数，积为负，利用乘法交换律、结合律简化绝对值的计算：
原式$=-(8×12×0.125×\dfrac{1}{3}×0.1)=-[(8×0.125)×(12×\dfrac{1}{3})×0.1]=-0.4$。
(4) 先化简绝对值得$|-2\dfrac{1}{4}|=\dfrac{9}{4}$，算式中共有3个负因数，负因数个数为奇数，积为负，把小数化为分数后计算：
原式$=-\dfrac{9}{4}×(-\dfrac{2}{3})×(-3)×\dfrac{5}{2}=-(\dfrac{9}{4}×\dfrac{2}{3}×3×\dfrac{5}{2})$，约分后得$-\dfrac{45}{4}$。
【答案】
(1)$\dfrac{9}{8}$；(2)$6$；(3)$-0.4$；(4)$-\dfrac{45}{4}$
【知识点】
多个有理数乘法法则，乘法运算律，绝对值化简
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，解题核心是准确判断积的符号，计算时灵活运用运算律约分、凑整，可有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
14.(新定义)现定义一种新运算“*”:$a*b=4ab$.例如:$2*3=4×2×3=24$.
(1)求$3*(-4)$的值；
(2)求$(-2)*(6*3)$的值.
(1)求$3*(-4)$的值；
(2)求$(-2)*(6*3)$的值.
答案
14.(1)解:$3 * (-4)=4×3×(-4)=-48.$
(2)$(-2) * (6 * 3)=(-2) * (4×6×3)=(-2) * 72=4×(-2)×72=-576.$
(2)$(-2) * (6 * 3)=(-2) * (4×6×3)=(-2) * 72=4×(-2)×72=-576.$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，首先要明确新运算“*”的规则：$a*b = 4ab$，即两个数做“*”运算，结果等于4与这两个数的乘积。解题时：（1）直接将对应数值代入新运算公式计算即可；（2）遵循有理数混合运算“有括号先算括号内”的顺序，先算出括号里$6*3$的结果，再把该结果作为新运算的其中一个运算数，和$-2$代入公式计算最终结果，计算时注意遵守有理数乘法的符号规则。
【解析】
（1）根据新运算规则$a*b=4ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=4×3×(-4)=-48$
（2）先计算括号内的$6*3$：
将$a=6$，$b=3$代入新运算公式得：$6*3=4×6×3=72$
再计算$(-2)*72$，将$a=-2$，$b=72$代入公式得：
$(-2)*72=4×(-2)×72=-576$
因此$(-2)*(6*3)=-576$
【答案】
（1）$\boxed{-48}$；（2）$\boxed{-576}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，混合运算顺序
【点评】
本题属于新定义基础题型，解题关键是准确理解新运算的计算规则，计算时注意遵循常规运算顺序，同时要注意有理数乘法的符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
本题是新定义运算类题目，首先要明确新运算“*”的规则：$a*b = 4ab$，即两个数做“*”运算，结果等于4与这两个数的乘积。解题时：（1）直接将对应数值代入新运算公式计算即可；（2）遵循有理数混合运算“有括号先算括号内”的顺序，先算出括号里$6*3$的结果，再把该结果作为新运算的其中一个运算数，和$-2$代入公式计算最终结果，计算时注意遵守有理数乘法的符号规则。
【解析】
（1）根据新运算规则$a*b=4ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=4×3×(-4)=-48$
（2）先计算括号内的$6*3$：
将$a=6$，$b=3$代入新运算公式得：$6*3=4×6×3=72$
再计算$(-2)*72$，将$a=-2$，$b=72$代入公式得：
$(-2)*72=4×(-2)×72=-576$
因此$(-2)*(6*3)=-576$
【答案】
（1）$\boxed{-48}$；（2）$\boxed{-576}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，混合运算顺序
【点评】
本题属于新定义基础题型，解题关键是准确理解新运算的计算规则，计算时注意遵循常规运算顺序，同时要注意有理数乘法的符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
15.(核心素养·运算能力)观察下列各式：
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
….
(1)填空：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{19}{20}=$
(2)根据上面的规律，计算：
$(\frac{1}{100}-1)×(\frac{1}{99}-1)×(\frac{1}{98}-1)×…×(\frac{1}{4}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{2}-1)$。
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
….
(1)填空：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{19}{20}=$
$\dfrac{1}{20}$
；(2)根据上面的规律，计算：
$(\frac{1}{100}-1)×(\frac{1}{99}-1)×(\frac{1}{98}-1)×…×(\frac{1}{4}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{2}-1)$。
答案
15.(1)$\dfrac{1}{20}$
(2)解:原式$=-(\dfrac{99}{100}×\dfrac{98}{99}×\dfrac{97}{98}×…×\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{100}.$
(2)解:原式$=-(\dfrac{99}{100}×\dfrac{98}{99}×\dfrac{97}{98}×…×\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{100}.$
解析
【分析】
(1) 先观察给出的算式规律：多个分数连乘时，前一个分数的分子与后一个分数的分母可以交叉约分，最终结果等于第一个分数的分子除以最后一个分数的分母，据此可直接得出第一问的结果。
(2) 先计算每个括号内的减法，可知每个括号的结果都是负数，先确定负因数的个数：从$\frac{1}{100}-1$到$\frac{1}{2}-1$共99个负因数，根据多个有理数相乘的符号法则，奇数个负数相乘结果为负；再将各数的绝对值连乘，利用交叉约分的规律简化计算，最后结合符号得到最终结果。
【解析】
(1) 根据已知算式的规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{19}{20}$中相邻项分子分母交叉约分后，仅剩第一个数的分子1和最后一个数的分母20，因此结果为$\frac{1}{20}$。
(2) 先化简每个括号内的式子：
$(\frac{1}{100}-1)=-\frac{99}{100}$，$(\frac{1}{99}-1)=-\frac{98}{99}$，$(\frac{1}{98}-1)=-\frac{97}{98}$，…，$(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}$
原式共有99个负因数，乘积为负，因此：
原式$=-(\frac{99}{100}×\frac{98}{99}×\frac{97}{98}×…×\frac{2}{3}×\frac{1}{2})$
对括号内的分数连乘交叉约分后，仅剩$\frac{1}{100}$，因此原式$=-\frac{1}{100}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{20}$；(2)$-\dfrac{1}{100}$
【知识点】
有理数乘法法则，分数约分，规律探究
【点评】
本题侧重考查运算能力，需要先通过观察已知算式总结约分规律，再结合有理数乘法的符号判断规则简化计算，解题时优先确定乘积符号，再利用约分简化运算，可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察给出的算式规律：多个分数连乘时，前一个分数的分子与后一个分数的分母可以交叉约分，最终结果等于第一个分数的分子除以最后一个分数的分母，据此可直接得出第一问的结果。
(2) 先计算每个括号内的减法，可知每个括号的结果都是负数，先确定负因数的个数：从$\frac{1}{100}-1$到$\frac{1}{2}-1$共99个负因数，根据多个有理数相乘的符号法则，奇数个负数相乘结果为负；再将各数的绝对值连乘，利用交叉约分的规律简化计算，最后结合符号得到最终结果。
【解析】
(1) 根据已知算式的规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{19}{20}$中相邻项分子分母交叉约分后，仅剩第一个数的分子1和最后一个数的分母20，因此结果为$\frac{1}{20}$。
(2) 先化简每个括号内的式子：
$(\frac{1}{100}-1)=-\frac{99}{100}$，$(\frac{1}{99}-1)=-\frac{98}{99}$，$(\frac{1}{98}-1)=-\frac{97}{98}$，…，$(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}$
原式共有99个负因数，乘积为负，因此：
原式$=-(\frac{99}{100}×\frac{98}{99}×\frac{97}{98}×…×\frac{2}{3}×\frac{1}{2})$
对括号内的分数连乘交叉约分后，仅剩$\frac{1}{100}$，因此原式$=-\frac{1}{100}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{20}$；(2)$-\dfrac{1}{100}$
【知识点】
有理数乘法法则，分数约分，规律探究
【点评】
本题侧重考查运算能力，需要先通过观察已知算式总结约分规律，再结合有理数乘法的符号判断规则简化计算，解题时优先确定乘积符号，再利用约分简化运算，可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
