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1. 如图，小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张。小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是()。
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
C
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步先根据轴对称图形、中心对称图形的定义，逐一判断5个书签图案是否同时满足两类图形的特征；第二步结合等可能事件的概率公式，用符合条件的图案数量除以总图案数量，即可得到所求概率。其中轴对称图形指沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形指绕某一点旋转180°后，能与原图形完全重合的图形。
【解析】
我们逐个判断5个图案的属性：
1. 第一个蝴蝶图案：仅为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求；
2. 第二个雪花图案：沿对称轴对折可重合，绕中心旋转180°也可与原图案重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求；
3. 第三个京剧脸谱图案：仅为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求；
4. 第四个窗花图案：沿对称轴对折可重合，绕中心旋转180°也可与原图案重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求；
5. 第五个太极图案：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，5种等可能的抽取结果中，满足条件的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{5}$
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，简单概率计算
【点评】
本题结合生活中的剪纸图案考查对称性判断与概率计算，解题关键是准确区分两类对称图形的特征，正确筛选符合要求的图案，再代入概率公式计算即可，是基础类的常见考题。
【难度系数】
0.7
解题需分两步进行：第一步先根据轴对称图形、中心对称图形的定义，逐一判断5个书签图案是否同时满足两类图形的特征；第二步结合等可能事件的概率公式，用符合条件的图案数量除以总图案数量，即可得到所求概率。其中轴对称图形指沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形指绕某一点旋转180°后，能与原图形完全重合的图形。
【解析】
我们逐个判断5个图案的属性：
1. 第一个蝴蝶图案：仅为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求；
2. 第二个雪花图案：沿对称轴对折可重合，绕中心旋转180°也可与原图案重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求；
3. 第三个京剧脸谱图案：仅为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求；
4. 第四个窗花图案：沿对称轴对折可重合，绕中心旋转180°也可与原图案重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求；
5. 第五个太极图案：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，5种等可能的抽取结果中，满足条件的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{5}$
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，简单概率计算
【点评】
本题结合生活中的剪纸图案考查对称性判断与概率计算，解题关键是准确区分两类对称图形的特征，正确筛选符合要求的图案，再代入概率公式计算即可，是基础类的常见考题。
【难度系数】
0.7
2. 设有50个相同的乒乓球，其中一等品40个，二等品8个，三等品2个.从中任取1个乒乓球，抽到非一等品的概率是().
A.$\frac{4}{25}$
B.$\frac{1}{25}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{4}{25}$
B.$\frac{1}{25}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查等可能情形下的概率计算，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的结果数÷所有等可能的结果总数。题目要求抽到非一等品的概率，首先需要先计算出非一等品的总数量，再结合乒乓球的总数量，代入概率公式计算即可，也可以通过“1减去抽到一等品的概率”间接求出结果。
【解析】
首先计算非一等品的总数量：二等品数量+三等品数量=8+2=10个。
已知乒乓球总共有50个，任取1个时每个球被抽到的可能性相等，代入概率公式可得：
抽到非一等品的概率$P=\frac{非一等品数量}{乒乓球总数量}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，概率公式应用
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，核心是准确匹配所求事件对应的符合条件的结果数，计算时要注意审题，看清题干要求的是“非一等品”的概率，避免因粗心误算成一等品的概率。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能情形下的概率计算，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的结果数÷所有等可能的结果总数。题目要求抽到非一等品的概率，首先需要先计算出非一等品的总数量，再结合乒乓球的总数量，代入概率公式计算即可，也可以通过“1减去抽到一等品的概率”间接求出结果。
【解析】
首先计算非一等品的总数量：二等品数量+三等品数量=8+2=10个。
已知乒乓球总共有50个，任取1个时每个球被抽到的可能性相等，代入概率公式可得：
抽到非一等品的概率$P=\frac{非一等品数量}{乒乓球总数量}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，概率公式应用
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，核心是准确匹配所求事件对应的符合条件的结果数，计算时要注意审题，看清题干要求的是“非一等品”的概率，避免因粗心误算成一等品的概率。
【难度系数】
0.9
3. 在项目化学习中，某项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从4名同学(2名男生、2名女生)中随机抽取2人，组成调查小组进行社会调查.恰好抽到一名男生和一名女生的概率是().
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等可能情形下的概率计算，解题思路如下：第一步，明确从4名同学中随机抽取2人，所有抽取结果是等可能的；第二步，通过列举法找出所有等可能的总结果数；第三步，找出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数；第四步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数计算所求概率。
【解析】
将2名男生记为男₁、男₂，2名女生记为女₁、女₂。
从4人中随机抽取2人，所有等可能的结果有：(男₁,男₂)、(男₁,女₁)、(男₁,女₂)、(男₂,女₁)、(男₂,女₂)、(女₁,女₂)，共6种。
其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有：(男₁,女₁)、(男₁,女₂)、(男₂,女₁)、(男₂,女₂)，共4种。
根据概率公式可得，恰好抽到一名男生和一名女生的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列举法计数
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，重点考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再代入概率公式计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
本题考查等可能情形下的概率计算，解题思路如下：第一步，明确从4名同学中随机抽取2人，所有抽取结果是等可能的；第二步，通过列举法找出所有等可能的总结果数；第三步，找出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数；第四步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数计算所求概率。
【解析】
将2名男生记为男₁、男₂，2名女生记为女₁、女₂。
从4人中随机抽取2人，所有等可能的结果有：(男₁,男₂)、(男₁,女₁)、(男₁,女₂)、(男₂,女₁)、(男₂,女₂)、(女₁,女₂)，共6种。
其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有：(男₁,女₁)、(男₁,女₂)、(男₂,女₁)、(男₂,女₂)，共4种。
根据概率公式可得，恰好抽到一名男生和一名女生的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列举法计数
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，重点考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再代入概率公式计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 现有5瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸溶液、氯化钠溶液、稀盐酸溶液、碳酸钠溶液、氯化钾溶液，其中只有稀硫酸溶液和稀盐酸溶液可以用来除铁锈。从中随机抽取一瓶溶液，恰好可以用于除铁锈的概率是。
4. 现有5瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸溶液、氯化钠溶液、稀盐酸溶液、碳酸钠溶液、氯化钾溶液，其中只有稀硫酸溶液和稀盐酸溶液可以用来除铁锈。从中随机抽取一瓶溶液，恰好可以用于除铁锈的概率是。
答案
解：从5瓶试剂中随机抽取一瓶，共有5种等可能的结果，其中可以用于除铁锈的结果有2种。
根据等可能情形下的概率计算公式，可得恰好可以用于除铁锈的概率$P=\frac{2}{5}$。
根据等可能情形下的概率计算公式，可得恰好可以用于除铁锈的概率$P=\frac{2}{5}$。
解析
【分析】
这是一道等可能情形下的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步先确定所有等可能的总结果数，本题总共有5瓶试剂，随机抽取1瓶时每瓶被抽到的可能性相等，总共有5种等可能结果；第二步提取题干信息，找出满足“可用于除铁锈”的结果数，由题意可知能除铁锈的是稀硫酸和稀盐酸，共2种符合要求的结果；第三步代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
从5瓶外观相同的试剂中随机抽取一瓶，每瓶被抽到的可能性相等，共有5种等可能的结果；由题意可知，可用于除铁锈的溶液为稀硫酸、稀盐酸，共2种，即符合要求的结果有2种。
根据等可能情形下的概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得恰好抽到可用于除铁锈的溶液的概率为：
$P=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算；概率公式应用
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查概率公式的简单应用，解题核心是准确梳理总等可能结果数和符合要求的结果数，认真读题提取题干信息即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能情形下的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步先确定所有等可能的总结果数，本题总共有5瓶试剂，随机抽取1瓶时每瓶被抽到的可能性相等，总共有5种等可能结果；第二步提取题干信息，找出满足“可用于除铁锈”的结果数，由题意可知能除铁锈的是稀硫酸和稀盐酸，共2种符合要求的结果；第三步代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
从5瓶外观相同的试剂中随机抽取一瓶，每瓶被抽到的可能性相等，共有5种等可能的结果；由题意可知，可用于除铁锈的溶液为稀硫酸、稀盐酸，共2种，即符合要求的结果有2种。
根据等可能情形下的概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得恰好抽到可用于除铁锈的溶液的概率为：
$P=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算；概率公式应用
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查概率公式的简单应用，解题核心是准确梳理总等可能结果数和符合要求的结果数，认真读题提取题干信息即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
5. 有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为$a$，则使关于$x$的分式方程$\frac{1 - ax}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$有正整数解的概率为.
答案
解：
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
整理得：$(2 - a)x = 2$
解得：$x=\frac{2}{2-a}$
由分式方程有意义可知$x≠2$，即$\frac{2}{2-a}≠2$，得$a≠1$。
将$a$的四个可能取值分别代入验证：
当$a=-3$时，$x=\frac{2}{5}$，不是正整数，不符合要求；
当$a=0$时，$x=1$，是正整数，符合要求；
当$a=1$时，$x=2$是增根，分式方程无解，不符合要求；
当$a=5$时，$x=-\frac{2}{3}$，不是正整数，不符合要求。
总共有4种等可能的抽取结果，其中使方程有正整数解的结果只有1种，
所以所求概率为$\frac{1}{4}$。
方程两边同乘$(x-2)$，得：
$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
整理得：$(2 - a)x = 2$
解得：$x=\frac{2}{2-a}$
由分式方程有意义可知$x≠2$，即$\frac{2}{2-a}≠2$，得$a≠1$。
将$a$的四个可能取值分别代入验证：
当$a=-3$时，$x=\frac{2}{5}$，不是正整数，不符合要求；
当$a=0$时，$x=1$，是正整数，符合要求；
当$a=1$时，$x=2$是增根，分式方程无解，不符合要求；
当$a=5$时，$x=-\frac{2}{3}$，不是正整数，不符合要求。
总共有4种等可能的抽取结果，其中使方程有正整数解的结果只有1种，
所以所求概率为$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
这是一道分式方程与概率计算结合的综合题，解题可按三步推进：①先求解分式方程，将x用含a的代数式表示；②明确分式方程有有效解的限制条件：一是分母不为0（即x≠2，排除增根），二是解为正整数；③将给出的4个a的可能取值逐个代入验证，统计符合条件的a的个数，最后根据等可能事件的概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】
解：给分式方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
整理含x的项可得：$(2 - a)x = 2$
解得：$x=\frac{2}{2-a}$
由分式分母不为0的要求可知，$x≠2$，即$\frac{2}{2-a}≠2$，解得$a≠1$。
现将a的4个可能取值分别代入验证：
当$a=-3$时，$x=\frac{2}{2-(-3)}=\frac{2}{5}$，不是正整数，不符合要求；
当$a=0$时，$x=\frac{2}{2-0}=1$，是正整数，符合要求；
当$a=1$时，$x=2$，为分式方程的增根，方程无解，不符合要求；
当$a=5$时，$x=\frac{2}{2-5}=-\frac{2}{3}$，不是正整数，不符合要求。
总共有4种等可能的抽取结果，其中使方程有正整数解的结果只有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式方程求解，等可能事件概率，增根判定
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是容易忽略分式方程分母不为0的要求，误将增根当作有效解，解题时需要先明确所有限制条件，再逐个验证取值，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.6
这是一道分式方程与概率计算结合的综合题，解题可按三步推进：①先求解分式方程，将x用含a的代数式表示；②明确分式方程有有效解的限制条件：一是分母不为0（即x≠2，排除增根），二是解为正整数；③将给出的4个a的可能取值逐个代入验证，统计符合条件的a的个数，最后根据等可能事件的概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】
解：给分式方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
整理含x的项可得：$(2 - a)x = 2$
解得：$x=\frac{2}{2-a}$
由分式分母不为0的要求可知，$x≠2$，即$\frac{2}{2-a}≠2$，解得$a≠1$。
现将a的4个可能取值分别代入验证：
当$a=-3$时，$x=\frac{2}{2-(-3)}=\frac{2}{5}$，不是正整数，不符合要求；
当$a=0$时，$x=\frac{2}{2-0}=1$，是正整数，符合要求；
当$a=1$时，$x=2$，为分式方程的增根，方程无解，不符合要求；
当$a=5$时，$x=\frac{2}{2-5}=-\frac{2}{3}$，不是正整数，不符合要求。
总共有4种等可能的抽取结果，其中使方程有正整数解的结果只有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式方程求解，等可能事件概率，增根判定
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是容易忽略分式方程分母不为0的要求，误将增根当作有效解，解题时需要先明确所有限制条件，再逐个验证取值，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.6
6. 甲、乙两个不透明的袋子里，分别装有质地、大小完全一样的小球4个和3个，甲袋中的4个小球上分别标有数字－1，－2，1，2，乙袋中的3个小球上分别标有数字－1，0，1.若随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，两球所标数字之和是正数的概率是.
答案
解：随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，所有等可能出现的结果共有$4 × 3 = 12$种，分别为：
$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(-1,1)$，
$(-2,-1)$，$(-2,0)$，$(-2,1)$，
$(1,-1)$，$(1,0)$，$(1,1)$，
$(2,-1)$，$(2,0)$，$(2,1)$。
其中两球所标数字之和是正数的结果共有5种：$(1,0)$，$(1,1)$，$(2,-1)$，$(2,0)$，$(2,1)$。
因此所求概率$P=\dfrac{5}{12}$。
$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(-1,1)$，
$(-2,-1)$，$(-2,0)$，$(-2,1)$，
$(1,-1)$，$(1,0)$，$(1,1)$，
$(2,-1)$，$(2,0)$，$(2,1)$。
其中两球所标数字之和是正数的结果共有5种：$(1,0)$，$(1,1)$，$(2,-1)$，$(2,0)$，$(2,1)$。
因此所求概率$P=\dfrac{5}{12}$。
解析
【分析】
这是一道两步试验的等可能概率问题，解题思路如下：首先确定所有等可能的结果总数，从甲袋摸球有4种可能，从乙袋摸球有3种可能，两类摸球结果互不影响，因此总结果数为两类可能数的乘积；接下来通过枚举所有摸球组合，分别计算每组数字的和，筛选出和为正数的结果；最后根据等可能事件的概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$，代入数值计算即可得到所求概率。
【解析】
随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，所有等可能出现的结果共有$4 × 3 = 12$种，分别为：
$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(-1,1)$，
$(-2,-1)$，$(-2,0)$，$(-2,1)$，
$(1,-1)$，$(1,0)$，$(1,1)$，
$(2,-1)$，$(2,0)$，$(2,1)$。
计算每组数字之和，其中两球所标数字之和是正数的结果共有5种：$(1,0)$、$(1,1)$、$(2,-1)$、$(2,0)$、$(2,1)$。
根据等可能事件概率公式，所求概率$P=\dfrac{5}{12}$。
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
1. 等可能概率计算 2. 枚举法 3. 有理数加法
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是不重不漏地枚举所有等可能结果，计算两数之和时注意正负号判断，避免漏算或多算符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道两步试验的等可能概率问题，解题思路如下：首先确定所有等可能的结果总数，从甲袋摸球有4种可能，从乙袋摸球有3种可能，两类摸球结果互不影响，因此总结果数为两类可能数的乘积；接下来通过枚举所有摸球组合，分别计算每组数字的和，筛选出和为正数的结果；最后根据等可能事件的概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$，代入数值计算即可得到所求概率。
【解析】
随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，所有等可能出现的结果共有$4 × 3 = 12$种，分别为：
$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(-1,1)$，
$(-2,-1)$，$(-2,0)$，$(-2,1)$，
$(1,-1)$，$(1,0)$，$(1,1)$，
$(2,-1)$，$(2,0)$，$(2,1)$。
计算每组数字之和，其中两球所标数字之和是正数的结果共有5种：$(1,0)$、$(1,1)$、$(2,-1)$、$(2,0)$、$(2,1)$。
根据等可能事件概率公式，所求概率$P=\dfrac{5}{12}$。
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
1. 等可能概率计算 2. 枚举法 3. 有理数加法
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是不重不漏地枚举所有等可能结果，计算两数之和时注意正负号判断，避免漏算或多算符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
