三、解答题
7. 有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁.
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出c钥匙的概率；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率.

解：
（1）从三把钥匙中随机取出一把，共有3种等可能的结果，其中取出c钥匙的结果有1种，
因此取出c钥匙的概率为 $P_1=\frac{1}{3}$。
（2）所有等可能的配对结果可列举为：(A,a)、(A,b)、(A,c)、(B,a)、(B,b)、(B,c)，共6种，
其中钥匙恰好能打开对应锁的结果有2种：(A,a)、(B,b)，
因此取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为 $P_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

【分析】
（1）第一问是单步等可能事件的概率问题，首先明确总结果数：从3把钥匙中随机取1把，共有3种机会均等的结果；再确定符合“取出c钥匙”的结果数只有1种，直接代入古典概型概率公式即可求解。
（2）第二问是两步抽取的概率问题，需先通过列举法梳理出“取1把锁+取1把钥匙”的所有等可能配对结果，再筛选出“钥匙能打开对应锁”的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：（1）从a、b、c三把钥匙中随机取出一把，共有3种等可能的结果，其中取出c钥匙的结果有1种，
因此取出c钥匙的概率为 $P_1=\frac{1}{3}$。
（2）所有等可能的锁和钥匙的配对结果可列举为：(A,a)、(A,b)、(A,c)、(B,a)、(B,b)、(B,c)，共6种，
其中钥匙恰好能打开对应锁的结果有2种：(A,a)、(B,b)，
因此取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为 $P_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
古典概型概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确统计所有等可能的结果数和符合要求的结果数，对于两步试验的概率问题，用列举法梳理所有结果可以有效避免漏算、错算。
【难度系数】
0.8

8. 甲、乙、丙三人到纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？

解：
设纪念塔为景点A，纪念馆为景点B，列举出三人选择景点的所有等可能结果为：
(A,A,A)、(A,A,B)、(A,B,A)、(A,B,B)、(B,A,A)、(B,A,B)、(B,B,A)、(B,B,B)，
共8种等可能的结果。
其中三人选择相同景点的结果有2种，即(A,A,A)和(B,B,B)。
因此三人选择相同景点的概率为$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
答：三人选择相同景点的概率为$\frac{1}{4}$。

【分析】
这是一道等可能情形下的概率计算题，解题可分为三步思考：首先明确每人都有2种景点选择，且三个人的选择相互独立，我们可以用列举法罗列出所有的等可能结果，避免出现遗漏或重复；其次从所有结果中筛选出“三人选择相同景点”的符合条件的结果；最后根据等可能事件的概率公式“$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果总数}$”代入计算即可得到结果。
【解析】
设纪念塔为景点A，纪念馆为景点B，列举出三人选择景点的所有等可能结果为：
(A,A,A)、(A,A,B)、(A,B,A)、(A,B,B)、(B,A,A)、(B,A,B)、(B,B,A)、(B,B,B)，
共8种等可能的结果。
其中三人选择相同景点的结果有2种，即(A,A,A)和(B,B,B)。
因此三人选择相同景点的概率为$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.列举法求概率 2.等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是用列举法不重不漏地列出所有等可能的情况，再准确匹配符合要求的事件结果，代入概率公式即可求解，主要考查对概率基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8

9. 某化妆品专卖店举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次抽奖的机会.已知在抽奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其他都相同，抽奖者必须从抽奖机中一次连续抽出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少，规则如下表：
甲种品牌化妆品
| | 球 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 礼金券/元 | | | 12 | 6 |
乙种品牌化妆品
| | 球 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 礼金券/元 | | | 6 | 12 |
（1）请你用列表法或画树状图法求一次连续抽出一红一白两球的概率；
（2）如果一个顾客当天在该店购物满88元，若只考虑获得最多金额的礼金券，请你帮他分析选择购买哪种品牌的化妆品更合适.并说明理由.

解：
(1) 分别记2个红球为红₁、红₂，2个白球为白₁、白₂，画树状图如下：
```mermaid
graph TD
A[开始] --＞ B[第一次抽:红₁]
A --＞ C[第一次抽:红₂]
A --＞ D[第一次抽:白₁]
A --＞ E[第一次抽:白₂]
B --＞ F[第二次抽:红₂]
B --＞ G[第二次抽:白₁]
B --＞ H[第二次抽:白₂]
C --＞ I[第二次抽:红₁]
C --＞ J[第二次抽:白₁]
C --＞ K[第二次抽:白₂]
D --＞ L[第二次抽:红₁]
D --＞ M[第二次抽:红₂]
D --＞ N[第二次抽:白₂]
E --＞ O[第二次抽:红₁]
E --＞ P[第二次抽:红₂]
E --＞ Q[第二次抽:白₁]
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽出一红一白两球的结果有8种，
所以$P(\mathrm{一次连续抽出一红一白两球})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(2) 选择购买甲种品牌化妆品更合适，理由如下：
由(1)可得：$P(\mathrm{抽出两红})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，$P(\mathrm{抽出两白})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
购买甲种品牌获得12元最高金额礼金券的情况为抽出一红一白，对应概率为$\frac{2}{3}$；
购买乙种品牌获得12元最高金额礼金券的情况为抽出两红或抽出两白，对应概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，即购买甲种品牌化妆品获得最高额礼金券的概率更大，所以选择购买甲种品牌的化妆品更合适。

【分析】
（1）求抽一红一白的概率属于等可能事件概率计算问题，首先将4个球分别标记区分，由于是不放回连续抽两个球，可通过画树状图或列表法枚举出所有等可能的抽取结果，再统计出一红一白的结果数，最后根据概率公式（符合条件的结果数/总等可能结果数）计算即可。
（2）要判断购买哪种品牌更合适，只需先分别求出购买甲、乙品牌时获得最高金额礼金券的对应概率，再比较两个概率的大小，获得最高额礼金券概率更大的品牌就是更优选择。
【解析】
(1) 分别记2个红球为红₁、红₂，2个白球为白₁、白₂，画树状图如下：
第一次抽取有4种可能：红₁、红₂、白₁、白₂，第二次为不放回抽取：第一次抽红₁时，第二次可抽红₂、白₁、白₂；第一次抽红₂时，第二次可抽红₁、白₁、白₂；第一次抽白₁时，第二次可抽红₁、红₂、白₂；第一次抽白₂时，第二次可抽红₁、红₂、白₁。
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽出一红一白两球的结果有8种，
所以$P(\mathrm{一次连续抽出一红一白两球})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(2) 选择购买甲种品牌化妆品更合适，理由如下：
由(1)的树状图可得：$P(\mathrm{抽出两红})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，$P(\mathrm{抽出两白})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
购买甲种品牌获得12元最高金额礼金券的情况为抽出一红一白，对应概率为$\frac{2}{3}$；
购买乙种品牌获得12元最高金额礼金券的情况为抽出两红或抽出两白，对应概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，即购买甲种品牌化妆品获得最高额礼金券的概率更大，所以选择购买甲种品牌的化妆品更合适。
【答案】
（1）$\frac{2}{3}$；（2）选择购买甲种品牌化妆品更合适。
【知识点】
树状图法求概率，概率计算，概率的实际应用
【点评】
本题结合生活中的抽奖促销场景，考查等可能事件概率的计算与实际应用，解题时需注意是不放回抽取，枚举所有结果时不要重复或遗漏，通过比较概率大小即可做出合理决策。
【难度系数】
0.7