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1. 甲、乙、丙三种商品单价的比是$6:5:4$，已知甲商品比丙商品的单价多12元，则三种商品的单价之和为（
A.75元
B.90元
C.95元
D.100元
B
）A.75元
B.90元
C.95元
D.100元
答案
1.B
解析
【分析】
本题属于比例类应用题，解题思路如下：首先根据三种商品的单价比，设每份单价为x元，即可用含x的代数式分别表示出三种商品的单价；再利用“甲商品比丙商品的单价多12元”的等量关系列出一元一次方程，求出x的值；最后将x代入三种商品单价和的代数式，计算得到结果即可。
【解析】
解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为6x元、5x元、4x元。
根据题意可得：$6x - 4x = 12$
合并同类项得：$2x = 12$
解得：$x = 6$
三种商品的单价之和为：$6x + 5x + 4x = 15x = 15×6 = 90$（元）
故选：B
【答案】
B
【知识点】
比例的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是比例相关应用题的基础题型，核心解题技巧是根据比例关系设每份为未知数，将未知量转化为含同一未知数的表达式，再结合题干给出的等量关系列方程求解，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题属于比例类应用题，解题思路如下：首先根据三种商品的单价比，设每份单价为x元，即可用含x的代数式分别表示出三种商品的单价；再利用“甲商品比丙商品的单价多12元”的等量关系列出一元一次方程，求出x的值；最后将x代入三种商品单价和的代数式，计算得到结果即可。
【解析】
解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为6x元、5x元、4x元。
根据题意可得：$6x - 4x = 12$
合并同类项得：$2x = 12$
解得：$x = 6$
三种商品的单价之和为：$6x + 5x + 4x = 15x = 15×6 = 90$（元）
故选：B
【答案】
B
【知识点】
比例的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是比例相关应用题的基础题型，核心解题技巧是根据比例关系设每份为未知数，将未知量转化为含同一未知数的表达式，再结合题干给出的等量关系列方程求解，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
2.甲、乙两人按2：5的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14 000元，则甲、乙两人分别应得（
A.2 000元、5 000元
B.5 000元、2 000元
C.4 000元、10 000元
D.10 000元、4 000元
C
）A.2 000元、5 000元
B.5 000元、2 000元
C.4 000元、10 000元
D.10 000元、4 000元
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道按比例分配的应用题，解题思路如下：首先明确利润分配比例和投资比例相同，都是2:5，意思是总利润一共被平均分成2+5=7份，甲分得其中2份，乙分得其中5份。我们可以先计算出每一份对应的利润金额，再分别乘甲、乙对应的份数，就能得到两人各自应得的利润。
【解析】
第一步：计算利润分配的总份数
甲、乙的分配比例为2:5，总份数 = 2 + 5 = 7份
第二步：计算每份对应的利润金额
总盈利为14000元，每份利润 = 14000 ÷ 7 = 2000元
第三步：分别计算甲、乙应得的利润
甲应得：2 × 2000 = 4000元
乙应得：5 × 2000 = 10000元
因此甲分得4000元，乙分得10000元，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
按比例分配，有理数四则运算
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心是明确分配比例对应的份数关系，只要理清总份数和各部分占比，结合简单的四则运算就能求解，是日常练习和考试中常见的基础考点。
【难度系数】
0.8
这是一道按比例分配的应用题，解题思路如下：首先明确利润分配比例和投资比例相同，都是2:5，意思是总利润一共被平均分成2+5=7份，甲分得其中2份，乙分得其中5份。我们可以先计算出每一份对应的利润金额，再分别乘甲、乙对应的份数，就能得到两人各自应得的利润。
【解析】
第一步：计算利润分配的总份数
甲、乙的分配比例为2:5，总份数 = 2 + 5 = 7份
第二步：计算每份对应的利润金额
总盈利为14000元，每份利润 = 14000 ÷ 7 = 2000元
第三步：分别计算甲、乙应得的利润
甲应得：2 × 2000 = 4000元
乙应得：5 × 2000 = 10000元
因此甲分得4000元，乙分得10000元，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
按比例分配，有理数四则运算
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心是明确分配比例对应的份数关系，只要理清总份数和各部分占比，结合简单的四则运算就能求解，是日常练习和考试中常见的基础考点。
【难度系数】
0.8
3.某空调厂家生产了A,B,C三种型号的空调共2 000台,其中A,B,C三种型号的空调生产的数量比为1:6:3.A,B,C三种型号的空调各生产了多少台？
答案
3.解:设 A,B,C 三种型号的空调生产的数量分别为x 台、6x 台、3x 台. 根据题意,可得 x+6x+3x=2 000,解得 x=200,则 6x=1 200,3x=600. 答:A,B,C三种型号的空调生产的数量分别为 200 台、1 200 台、600 台.
解析
【分析】
本题属于比例类一元一次方程应用题，解题思路如下：题目给出A、B、C三种型号空调的数量比为1:6:3，遇到比例关系时，可先设每一份的数量为x，这样三种型号的数量就能分别用含x的式子表示为x台、6x台、3x台；再结合三种型号空调总产量为2000台的等量关系，列出一元一次方程，求解得到x的取值后，再分别计算三种型号对应的产量即可。
【解析】
解：设A、B、C三种型号的空调生产的数量分别为x台、6x台、3x台。
根据题意，三种型号空调总数量为2000台，可列方程：
$x+6x+3x=2000$
合并同类项得：$10x=2000$
解得：$x=200$
则B型号空调产量：$6x=6×200=1200$（台）
C型号空调产量：$3x=3×200=600$（台）
答：A、B、C三种型号的空调生产的数量分别为200台、1200台、600台。
【答案】
A型号200台，B型号1200台，C型号600台
【知识点】
一元一次方程应用，按比例分配
【点评】
本题是比例类应用题的典型基础题，解题核心是掌握根据比例关系设未知数的技巧，找准总量的等量关系建立方程求解，熟练掌握该方法可快速解决同类型的比例分配问题。
【难度系数】
0.9
本题属于比例类一元一次方程应用题，解题思路如下：题目给出A、B、C三种型号空调的数量比为1:6:3，遇到比例关系时，可先设每一份的数量为x，这样三种型号的数量就能分别用含x的式子表示为x台、6x台、3x台；再结合三种型号空调总产量为2000台的等量关系，列出一元一次方程，求解得到x的取值后，再分别计算三种型号对应的产量即可。
【解析】
解：设A、B、C三种型号的空调生产的数量分别为x台、6x台、3x台。
根据题意，三种型号空调总数量为2000台，可列方程：
$x+6x+3x=2000$
合并同类项得：$10x=2000$
解得：$x=200$
则B型号空调产量：$6x=6×200=1200$（台）
C型号空调产量：$3x=3×200=600$（台）
答：A、B、C三种型号的空调生产的数量分别为200台、1200台、600台。
【答案】
A型号200台，B型号1200台，C型号600台
【知识点】
一元一次方程应用，按比例分配
【点评】
本题是比例类应用题的典型基础题，解题核心是掌握根据比例关系设未知数的技巧，找准总量的等量关系建立方程求解，熟练掌握该方法可快速解决同类型的比例分配问题。
【难度系数】
0.9
4.今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍.设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（
A.$4x - 6 = 3(x - 6)$
B.$4x + 6 = 3(x + 6)$
C.$3x + 6 = 4(x + 6)$
D.$3x - 6 = 4(x - 6)$
D
）A.$4x - 6 = 3(x - 6)$
B.$4x + 6 = 3(x + 6)$
C.$3x + 6 = 4(x + 6)$
D.$3x - 6 = 4(x - 6)$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的等量关系，先根据今年父子年龄的倍数关系表示出今年父亲的年龄，再分别算出两人6年前的年龄，最后根据“6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍”这一条件列出等式，对应选项判断即可。
【解析】
已知今年儿子的年龄为x岁，今年父亲的年龄是儿子的3倍，因此今年父亲的年龄为3x岁。
6年前，儿子的年龄为$(x-6)$岁，父亲的年龄为$(3x-6)$岁。
由题意“6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍”，可列等式：
$3x - 6 = 4(x - 6)$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，年龄问题，列代数式
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是找准不同时间点对应的年龄，根据题干给出的倍数关系建立等量关系，注意年龄随时间变化的规律是所有人年龄同步增减。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中的等量关系，先根据今年父子年龄的倍数关系表示出今年父亲的年龄，再分别算出两人6年前的年龄，最后根据“6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍”这一条件列出等式，对应选项判断即可。
【解析】
已知今年儿子的年龄为x岁，今年父亲的年龄是儿子的3倍，因此今年父亲的年龄为3x岁。
6年前，儿子的年龄为$(x-6)$岁，父亲的年龄为$(3x-6)$岁。
由题意“6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍”，可列等式：
$3x - 6 = 4(x - 6)$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，年龄问题，列代数式
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是找准不同时间点对应的年龄，根据题干给出的倍数关系建立等量关系，注意年龄随时间变化的规律是所有人年龄同步增减。
【难度系数】
0.8
5.元旦期间，超市推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元(不含100元)以内的，
不享受优惠；
②一次性购物在100元(含100元)以上、300
元(不含300元)以内的，一律享受九折优惠；
③一次性购物在300元(含300元)以上时，一
律享受八折优惠.
李明两次购物分别付款80元、252元.如果李
明改成一次性购买与上两次完全相同的商
品，则应付款
①一次性购物在100元(不含100元)以内的，
不享受优惠；
②一次性购物在100元(含100元)以上、300
元(不含300元)以内的，一律享受九折优惠；
③一次性购物在300元(含300元)以上时，一
律享受八折优惠.
李明两次购物分别付款80元、252元.如果李
明改成一次性购买与上两次完全相同的商
品，则应付款
288 或 316
元.答案
5.288 或 316
解析
【分析】
解题时首先要确定两次购物对应的原价：首先分析第一次付款80元，因为享受九折优惠最低需要付款$100×0.9=90$元，80元小于90元，说明第一次购物没有享受优惠，原价就是80元。接下来分析第二次付款252元，需要分两种情况讨论：第一种是购物原价在100~300元区间，享受九折优惠后付款252元；第二种是购物原价在300元及以上，享受八折优惠后付款252元。分别算出两种情况第二次购物的原价，再把两次原价相加，按照满300元打八折的规则计算一次性购买的应付款即可。
【解析】
第一步：确定第一次购物的原价
若购物满100元，享受九折优惠后最低付款为 $100 × 0.9 = 90$ 元，
因为 $80 ＜ 90$，所以第一次购物未享受优惠，原价为80元。
第二步：分情况计算第二次购物的原价
情况1：第二次购物享受九折优惠（原价在100元~300元区间）
原价 = 实际付款 ÷ 折扣，即 $252 ÷ 0.9 = 280$ 元，280元符合$100≤280＜300$的区间要求。
两次购物总原价为 $80 + 280 = 360$ 元，$360≥300$，享受八折优惠，
应付款为 $360 × 0.8 = 288$ 元。
情况2：第二次购物享受八折优惠（原价在300元及以上区间）
原价为 $252 ÷ 0.8 = 315$ 元，315元符合≥300的区间要求。
两次购物总原价为 $80 + 315 = 395$ 元，享受八折优惠，
应付款为 $395 × 0.8 = 316$ 元。
综上，一次性购买应付款288元或316元。
【答案】
288 或 316
【知识点】
分段计费问题，分类讨论思想，有理数混合运算
【点评】
本题是生活中常见的购物优惠类分段计费问题，易错点是容易忽略第二次付款252元对应两种不同优惠区间的情况，导致漏解。解题时要先明确各优惠段的付款范围，全面分析所有可能的情况再计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要确定两次购物对应的原价：首先分析第一次付款80元，因为享受九折优惠最低需要付款$100×0.9=90$元，80元小于90元，说明第一次购物没有享受优惠，原价就是80元。接下来分析第二次付款252元，需要分两种情况讨论：第一种是购物原价在100~300元区间，享受九折优惠后付款252元；第二种是购物原价在300元及以上，享受八折优惠后付款252元。分别算出两种情况第二次购物的原价，再把两次原价相加，按照满300元打八折的规则计算一次性购买的应付款即可。
【解析】
第一步：确定第一次购物的原价
若购物满100元，享受九折优惠后最低付款为 $100 × 0.9 = 90$ 元，
因为 $80 ＜ 90$，所以第一次购物未享受优惠，原价为80元。
第二步：分情况计算第二次购物的原价
情况1：第二次购物享受九折优惠（原价在100元~300元区间）
原价 = 实际付款 ÷ 折扣，即 $252 ÷ 0.9 = 280$ 元，280元符合$100≤280＜300$的区间要求。
两次购物总原价为 $80 + 280 = 360$ 元，$360≥300$，享受八折优惠，
应付款为 $360 × 0.8 = 288$ 元。
情况2：第二次购物享受八折优惠（原价在300元及以上区间）
原价为 $252 ÷ 0.8 = 315$ 元，315元符合≥300的区间要求。
两次购物总原价为 $80 + 315 = 395$ 元，享受八折优惠，
应付款为 $395 × 0.8 = 316$ 元。
综上，一次性购买应付款288元或316元。
【答案】
288 或 316
【知识点】
分段计费问题，分类讨论思想，有理数混合运算
【点评】
本题是生活中常见的购物优惠类分段计费问题，易错点是容易忽略第二次付款252元对应两种不同优惠区间的情况，导致漏解。解题时要先明确各优惠段的付款范围，全面分析所有可能的情况再计算。
【难度系数】
0.6
6. 某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3 km,超过3 km的部分按每千米另行收费.甲说:“我乘坐这种出租车行驶了11 km,付了17元.”乙说:“我乘坐这种出租车行驶了23 km,付了35元.”请你算一算这种出租车的起步价是多少元? 超过3 km后每千米的车费是多少元?
答案
6.解:设这种出租车超过 3 km 后每千米的车费是 x 元,根据题意,得 17-(11-3)x=35-(23-3)x,解得x=1.5,则 17-(11-3)x=17-8×1.5=5. 答:这种出租车的起步价是 5 元,超过 3 km 后每千米的车费是1.5 元.
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中的不变量——出租车起步价，总费用的计算规则为：总费用=起步价+超过3km部分的车费，因此起步价=总费用-超出3km部分的费用。甲、乙两人的乘车费用已知，我们可以设超过3km后每千米的车费为x元，分别用两人的乘车数据表示出起步价，根据起步价相等列一元一次方程求解，再代入计算起步价即可。
【解析】
解：设这种出租车超过3km后每千米的车费是x元，根据起步价不变的等量关系，可列方程：
$17-(11-3)x=35-(23-3)x$
化简得：$17-8x=35-20x$
移项得：$20x-8x=35-17$
合并同类项得：$12x=18$
解得：$x=1.5$
将$x=1.5$代入$17-(11-3)x$计算起步价：
$17-8×1.5=5$（元）
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米的车费是1.5元。
【答案】
这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米的车费是1.5元。
【知识点】
一元一次方程的应用；分段计费问题；等量关系构建
【点评】
本题是典型的分段计费类应用题，解题核心是抓住分段计费中的固定不变量建立等量关系，该解题思路可迁移至水费、电费等同类型分段计费问题的求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题目中的不变量——出租车起步价，总费用的计算规则为：总费用=起步价+超过3km部分的车费，因此起步价=总费用-超出3km部分的费用。甲、乙两人的乘车费用已知，我们可以设超过3km后每千米的车费为x元，分别用两人的乘车数据表示出起步价，根据起步价相等列一元一次方程求解，再代入计算起步价即可。
【解析】
解：设这种出租车超过3km后每千米的车费是x元，根据起步价不变的等量关系，可列方程：
$17-(11-3)x=35-(23-3)x$
化简得：$17-8x=35-20x$
移项得：$20x-8x=35-17$
合并同类项得：$12x=18$
解得：$x=1.5$
将$x=1.5$代入$17-(11-3)x$计算起步价：
$17-8×1.5=5$（元）
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米的车费是1.5元。
【答案】
这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米的车费是1.5元。
【知识点】
一元一次方程的应用；分段计费问题；等量关系构建
【点评】
本题是典型的分段计费类应用题，解题核心是抓住分段计费中的固定不变量建立等量关系，该解题思路可迁移至水费、电费等同类型分段计费问题的求解。
【难度系数】
0.7
7.某市中学生足球联赛共8轮(即每队需要比赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场不得分.在足球联赛中,某县中学生足球代表队踢平的场数是负场数的2倍,共得17分,则此足球队胜了 (
A.4场
B.5场
C.2场
D.不确定
B
)A.4场
B.5场
C.2场
D.不确定
答案
7.B
解析
【分析】
这是一道比赛积分类的一元一次方程应用题，解题首先要明确核心等量关系：总得分=胜场得分+平场得分+负场得分。我们可以先根据“踢平的场数是负场数的2倍”设负场数为未知数，再用总场数8分别表示出平场、胜场的数量，最后代入总得分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该足球队负了$x$场，则踢平的场数为$2x$场，胜的场数为$8 - x - 2x = 8 - 3x$场。
根据总得分17分列方程：
$3×(8 - 3x) + 1×2x = 17$
展开计算得：
$24 - 9x + 2x = 17$
合并同类项得：
$24 - 7x = 17$
移项计算得：
$7x = 7$
解得：$x = 1$
则胜的场数为：$8 - 3×1 = 5$（场）
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
一元一次方程的应用；比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是找准未知数，用含未知数的式子表示出各类比赛场次，再结合积分规则和总得分建立方程求解，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
这是一道比赛积分类的一元一次方程应用题，解题首先要明确核心等量关系：总得分=胜场得分+平场得分+负场得分。我们可以先根据“踢平的场数是负场数的2倍”设负场数为未知数，再用总场数8分别表示出平场、胜场的数量，最后代入总得分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该足球队负了$x$场，则踢平的场数为$2x$场，胜的场数为$8 - x - 2x = 8 - 3x$场。
根据总得分17分列方程：
$3×(8 - 3x) + 1×2x = 17$
展开计算得：
$24 - 9x + 2x = 17$
合并同类项得：
$24 - 7x = 17$
移项计算得：
$7x = 7$
解得：$x = 1$
则胜的场数为：$8 - 3×1 = 5$（场）
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
一元一次方程的应用；比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是找准未知数，用含未知数的式子表示出各类比赛场次，再结合积分规则和总得分建立方程求解，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
8.超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额九折优惠.一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并成一次性付款可节省（
A.18元
B.16元
C.18或46.8元
D.46.8元
C
）A.18元
B.16元
C.18或46.8元
D.46.8元
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先要明确优惠规则：购物不超过300元无优惠，超过300元全额打九折。第一步先确定第一次购物的原价，第一次付款180元，小于300元打九折后的270元，所以第一次购物没有享受优惠，原价就是180元。第二步需要分两种情况讨论第二次购物的原价：第一种是第二次购物未超过300元，无优惠，原价就是付款的288元；第二种是第二次购物超过300元，付款288元是打九折后的金额，需要反推原价。最后分别计算两种情况下合并付款的金额，与两次单独付款的总金额作差，即可得到节省的钱数。
【解析】
首先计算300元打九折后的金额：$300×0.9=270$元。
1. 第一次购物付款180元，$180＜270$，说明第一次购物未享受优惠，原价为180元。
2. 分两种情况讨论第二次购物的原价：
情况一：第二次购物未超过300元，无优惠，原价为288元。
两次购物原价总和：$180+288=468$元
合并付款应付金额：$468×0.9=421.2$元
两次单独付款总金额：$180+288=468$元
节省金额：$468-421.2=46.8$元
情况二：第二次购物超过300元，享受九折优惠后付款288元。
第二次购物原价：$288÷0.9=320$元
两次购物原价总和：$180+320=500$元
合并付款应付金额：$500×0.9=450$元
节省金额：$468-450=18$元
综上，合并付款可节省18元或46.8元。
【答案】
C
【知识点】
折扣问题，分类讨论思想，有理数混合运算
【点评】
本题的易错点是容易忽略第二次购物付款288元存在两种可能性，解题时要结合优惠的临界值全面分析所有情况，分类计算避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确优惠规则：购物不超过300元无优惠，超过300元全额打九折。第一步先确定第一次购物的原价，第一次付款180元，小于300元打九折后的270元，所以第一次购物没有享受优惠，原价就是180元。第二步需要分两种情况讨论第二次购物的原价：第一种是第二次购物未超过300元，无优惠，原价就是付款的288元；第二种是第二次购物超过300元，付款288元是打九折后的金额，需要反推原价。最后分别计算两种情况下合并付款的金额，与两次单独付款的总金额作差，即可得到节省的钱数。
【解析】
首先计算300元打九折后的金额：$300×0.9=270$元。
1. 第一次购物付款180元，$180＜270$，说明第一次购物未享受优惠，原价为180元。
2. 分两种情况讨论第二次购物的原价：
情况一：第二次购物未超过300元，无优惠，原价为288元。
两次购物原价总和：$180+288=468$元
合并付款应付金额：$468×0.9=421.2$元
两次单独付款总金额：$180+288=468$元
节省金额：$468-421.2=46.8$元
情况二：第二次购物超过300元，享受九折优惠后付款288元。
第二次购物原价：$288÷0.9=320$元
两次购物原价总和：$180+320=500$元
合并付款应付金额：$500×0.9=450$元
节省金额：$468-450=18$元
综上，合并付款可节省18元或46.8元。
【答案】
C
【知识点】
折扣问题，分类讨论思想，有理数混合运算
【点评】
本题的易错点是容易忽略第二次购物付款288元存在两种可能性，解题时要结合优惠的临界值全面分析所有情况，分类计算避免漏解。
【难度系数】
0.6
