登录
9. 为了节约用水，某市规定:每户居民每月用水不超过15 m³，按每立方米1.6元收费，超过15 m³，则超过部分按每立方米2.4元收费。小明家六月份交水费33.6元，则小明家六月份实际用水（
A.21 m³
B.20 m³
C.19 m³
D.18 m³
C
）A.21 m³
B.20 m³
C.19 m³
D.18 m³
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先要先判断小明家六月份用水量是否超过15m³的收费临界值：先计算用水15m³时应缴的水费，和实际缴费33.6元比较，发现实际缴费更高，说明用水量超过15m³。接下来按照分段收费的规则，总水费由两部分组成：15m³以内的费用、超过15m³部分的费用，我们可以设实际用水量为未知数，根据总水费列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算每月用水15m³时的应缴水费：
$15 × 1.6 = 24$（元）
因为$24 ＜ 33.6$，所以小明家六月份用水量超过15m³。
设小明家六月份实际用水$x\ \mathrm{m}^3$，超过15m³的部分为$(x-15)\ \mathrm{m}^3$，根据总水费可列方程：
$15 × 1.6 + 2.4(x - 15) = 33.6$
化简方程：
$24 + 2.4x - 36 = 33.6$
$2.4x - 12 = 33.6$
移项得：
$2.4x = 33.6 + 12 = 45.6$
解得：
$x = 45.6 ÷ 2.4 = 19$
即小明家六月份实际用水19m³，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是结合生活实际的分段计费类常规考题，解题的核心是先明确用水量所处的收费区间，再根据收费规则和总费用建立等量关系求解，解题逻辑清晰，贴近生活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先判断小明家六月份用水量是否超过15m³的收费临界值：先计算用水15m³时应缴的水费，和实际缴费33.6元比较，发现实际缴费更高，说明用水量超过15m³。接下来按照分段收费的规则，总水费由两部分组成：15m³以内的费用、超过15m³部分的费用，我们可以设实际用水量为未知数，根据总水费列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算每月用水15m³时的应缴水费：
$15 × 1.6 = 24$（元）
因为$24 ＜ 33.6$，所以小明家六月份用水量超过15m³。
设小明家六月份实际用水$x\ \mathrm{m}^3$，超过15m³的部分为$(x-15)\ \mathrm{m}^3$，根据总水费可列方程：
$15 × 1.6 + 2.4(x - 15) = 33.6$
化简方程：
$24 + 2.4x - 36 = 33.6$
$2.4x - 12 = 33.6$
移项得：
$2.4x = 33.6 + 12 = 45.6$
解得：
$x = 45.6 ÷ 2.4 = 19$
即小明家六月份实际用水19m³，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是结合生活实际的分段计费类常规考题，解题的核心是先明确用水量所处的收费区间，再根据收费规则和总费用建立等量关系求解，解题逻辑清晰，贴近生活应用。
【难度系数】
0.7
10.今年小李的年龄是他爷爷年龄的$\frac{1}{5}$，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷年龄的$\frac{1}{3}$.求小李爷爷今年的年龄.
答案
10.解:设爷爷今年的年龄是 x 岁,则今年小李的年龄是$\frac{1}{5}x$岁,依题意,得$\frac{1}{5}x+12=\frac{1}{3}(x+12)$,解得 x=60. 答:爷爷今年 60 岁.
解析
【分析】
这是一道年龄类的一元一次方程应用题，解题核心是明确年龄问题的特点：两人年龄同步增长，年龄差始终不变。我们先设作为单位“1”的爷爷今年的年龄为未知数x，由此表示出小李今年的年龄，再根据“12年后小李的年龄是爷爷年龄的$\frac{1}{3}$”这一等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设爷爷今年的年龄是$x$岁，则今年小李的年龄是$\frac{1}{5}x$岁，依题意得：
$\frac{1}{5}x+12=\frac{1}{3}(x+12)$
去分母（两边同时乘15）得：$3x+180=5(x+12)$
去括号得：$3x+180=5x+60$
移项、合并同类项得：$2x=120$
系数化为1得：$x=60$
答：小李爷爷今年的年龄是60岁。
【答案】
小李爷爷今年60岁
【知识点】
一元一次方程应用；年龄问题；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住年龄同步增长的规律，准确梳理不同时间点两人年龄的对应关系，找到等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.8
这是一道年龄类的一元一次方程应用题，解题核心是明确年龄问题的特点：两人年龄同步增长，年龄差始终不变。我们先设作为单位“1”的爷爷今年的年龄为未知数x，由此表示出小李今年的年龄，再根据“12年后小李的年龄是爷爷年龄的$\frac{1}{3}$”这一等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设爷爷今年的年龄是$x$岁，则今年小李的年龄是$\frac{1}{5}x$岁，依题意得：
$\frac{1}{5}x+12=\frac{1}{3}(x+12)$
去分母（两边同时乘15）得：$3x+180=5(x+12)$
去括号得：$3x+180=5x+60$
移项、合并同类项得：$2x=120$
系数化为1得：$x=60$
答：小李爷爷今年的年龄是60岁。
【答案】
小李爷爷今年60岁
【知识点】
一元一次方程应用；年龄问题；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住年龄同步增长的规律，准确梳理不同时间点两人年龄的对应关系，找到等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.8
11.春节期间，某商店准备了两种价格分别为36元/kg和20元/kg的糖果混合成的杂拌糖果100 kg.
(1)若混合后糖果的定价为28元/kg，需要两种糖果各多少千克？
(2)若将价格分别为36元/kg和20元/kg的糖果按2：3的比例混合并定价，求100 kg杂拌糖果全部售出的销售额为多少元？
(1)若混合后糖果的定价为28元/kg，需要两种糖果各多少千克？
(2)若将价格分别为36元/kg和20元/kg的糖果按2：3的比例混合并定价，求100 kg杂拌糖果全部售出的销售额为多少元？
答案
11.解:(1) 设需要 36 元/kg 的糖果 x kg,那么需要20 元/kg 的糖果 (100-x) kg, 由题意得 36x+20(100-x)=28×100,解得 x=50,则 100-x=50.答:需要 36 元/kg 的糖果 50 kg,20 元/kg 的糖果50 kg.
(2)$100×\frac{2}{5}×36=1440$(元),$100×\frac{3}{5}×20=1200$(元),$1440+1200=2640$(元). 所以 100 kg 杂拌糖果全部售出的销售额为 2640 元.
(2)$100×\frac{2}{5}×36=1440$(元),$100×\frac{3}{5}×20=1200$(元),$1440+1200=2640$(元). 所以 100 kg 杂拌糖果全部售出的销售额为 2640 元.
解析
【分析】
(1) 本题是混合销售类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系：两种糖果单独售卖的总售价 = 混合后杂拌糖果的总售价。我们可以设36元/kg的糖果重量为x kg，那么20元/kg的糖果重量就是总重量减去x，即(100-x)kg，代入等量关系列方程求解就能得到两种糖果的重量。
(2) 已知两种糖果的混合比例为2:3，总重量为100kg，首先按比例分配算出两种糖果各自的重量，再根据“销售额=单价×重量”分别计算两种糖果的销售额，相加即可得到100kg杂拌糖的总销售额。
【解析】
(1) 设需要36元/kg的糖果x kg，则需要20元/kg的糖果(100-x)kg。
根据混合前后总售价相等列方程：
$36x + 20(100 - x) = 28 × 100$
展开计算：$36x + 2000 - 20x = 2800$
合并同类项：$16x = 800$
解得：$x=50$
则20元/kg的糖果重量为$100-50=50$（kg）。
(2) 两种糖果混合的总份数为$2+3=5$份，
36元/kg的糖果重量：$100×\frac{2}{5}=40$（kg），对应销售额：$40×36=1440$（元），
20元/kg的糖果重量：$100×\frac{3}{5}=60$（kg），对应销售额：$60×20=1200$（元），
总销售额：$1440+1200=2640$（元）。
【答案】
(1) 需要36元/kg的糖果50kg，20元/kg的糖果50kg；
(2) 100kg杂拌糖果全部售出的销售额为2640元。
【知识点】
一元一次方程应用、按比例分配、销售额计算
【点评】
本题结合生活中糖果混合销售的场景出题，第一问重点考察等量关系的梳理和一元一次方程的列解能力，第二问考察按比例分配的基础计算，整体难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是混合销售类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系：两种糖果单独售卖的总售价 = 混合后杂拌糖果的总售价。我们可以设36元/kg的糖果重量为x kg，那么20元/kg的糖果重量就是总重量减去x，即(100-x)kg，代入等量关系列方程求解就能得到两种糖果的重量。
(2) 已知两种糖果的混合比例为2:3，总重量为100kg，首先按比例分配算出两种糖果各自的重量，再根据“销售额=单价×重量”分别计算两种糖果的销售额，相加即可得到100kg杂拌糖的总销售额。
【解析】
(1) 设需要36元/kg的糖果x kg，则需要20元/kg的糖果(100-x)kg。
根据混合前后总售价相等列方程：
$36x + 20(100 - x) = 28 × 100$
展开计算：$36x + 2000 - 20x = 2800$
合并同类项：$16x = 800$
解得：$x=50$
则20元/kg的糖果重量为$100-50=50$（kg）。
(2) 两种糖果混合的总份数为$2+3=5$份，
36元/kg的糖果重量：$100×\frac{2}{5}=40$（kg），对应销售额：$40×36=1440$（元），
20元/kg的糖果重量：$100×\frac{3}{5}=60$（kg），对应销售额：$60×20=1200$（元），
总销售额：$1440+1200=2640$（元）。
【答案】
(1) 需要36元/kg的糖果50kg，20元/kg的糖果50kg；
(2) 100kg杂拌糖果全部售出的销售额为2640元。
【知识点】
一元一次方程应用、按比例分配、销售额计算
【点评】
本题结合生活中糖果混合销售的场景出题，第一问重点考察等量关系的梳理和一元一次方程的列解能力，第二问考察按比例分配的基础计算，整体难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12.为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
若两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元.
(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校各有多少学生？
(3)如果甲校有9名学生抽调去参加迎奥运书法比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案？如何购买服装才能最省钱？
若两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元.
(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校各有多少学生？
(3)如果甲校有9名学生抽调去参加迎奥运书法比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案？如何购买服装才能最省钱？
答案
12.解:(1)若甲、乙两校联合起来购买服装,那么比各自购买服装共可以节省 5 710-50×100=710(元).
(2)设甲校有学生 x 人(依题意 50＜x＜100),则乙校有学生(100-x)人.依题意,得 55x+60×(100-x)=5 710,解得 x=58,所以 100-x=42. 答:甲校有学生58 人,乙校有学生 42 人.
(3)有三种购买方案. 方案一:各自购买服装需 49×60+42×60=5 460(元);方案二:联合购买服装需(49+42)×55=5 005(元);方案三:联合购买 100 套服装需 100×50=5 000(元). 因为 5 460＞5 005＞5 000,所以甲、乙两校联合起来选择按每套 50 元一次性购买 100 套服装最省钱.
(2)设甲校有学生 x 人(依题意 50＜x＜100),则乙校有学生(100-x)人.依题意,得 55x+60×(100-x)=5 710,解得 x=58,所以 100-x=42. 答:甲校有学生58 人,乙校有学生 42 人.
(3)有三种购买方案. 方案一:各自购买服装需 49×60+42×60=5 460(元);方案二:联合购买服装需(49+42)×55=5 005(元);方案三:联合购买 100 套服装需 100×50=5 000(元). 因为 5 460＞5 005＞5 000,所以甲、乙两校联合起来选择按每套 50 元一次性购买 100 套服装最省钱.
解析
【分析】
(1) 第一问先明确两校总人数为100人，联合购买对应价格表中100套及以上的50元/套的单价，先算联合购买的总费用，再用单独购买的总费用减去联合购买的费用，即可得到节省的金额。
(2) 第二问根据“两校共100人，甲校人数多于乙校”可判断甲校人数在50到100之间，乙校人数少于50，对应单价分别为55元/套和60元/套，设甲校人数为x，乙校人数为100-x，根据单独购买总费用列一元一次方程求解即可。
(3) 第三问先算出甲校抽调9人后的总人数为91人，分类讨论三种购买方案：两校各自购买、联合购买91套、联合购买100套，分别计算三种方案的费用，比较大小即可得到最省钱的方案。
【解析】
(1) 两校联合购买100套服装的总费用为：$\boldsymbol{50×100=5000}$（元）
比各自购买节省的费用为：$5710-5000=710$（元）
(2) 设甲校有学生$x$人，依题意得$50＜x＜100$，则乙校有学生$(100-x)$人。
根据单独购买总费用列方程：
$55x+60×(100-x)=5710$
展开得：$55x+6000-60x=5710$
移项合并得：$-5x=-290$
解得：$x=58$
则乙校人数为：$100-58=42$（人）
(3) 甲校抽调9人后剩余$58-9=49$人，两校总人数为$49+42=91$人，共有3种购买方案：
方案一：两校各自购买：
总费用为$49×60+42×60=5460$（元）
方案二：联合购买91套：
总费用为$91×55=5005$（元）
方案三：联合购买100套：
总费用为$100×50=5000$（元）
对比费用：$5460＞5005＞5000$，因此联合购买100套最省钱。
【答案】
(1) 比各自购买服装共可以节省710元；
(2) 甲校有58名学生，乙校有42名学生；
(3) 有3种购买方案，甲、乙两校联合起来按每套50元一次性购买100套服装最省钱。
【知识点】
一元一次方程的应用，最优方案选择，有理数运算应用
【点评】
本题结合生活中团购优惠的实际场景命题，考查从表格提取有效信息的能力、方程建模思想和分类讨论思想，第三问容易遗漏购买100套的优惠方案，解题时需全面考虑所有可能的购买方式，再对比费用得到最优解，和生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先明确两校总人数为100人，联合购买对应价格表中100套及以上的50元/套的单价，先算联合购买的总费用，再用单独购买的总费用减去联合购买的费用，即可得到节省的金额。
(2) 第二问根据“两校共100人，甲校人数多于乙校”可判断甲校人数在50到100之间，乙校人数少于50，对应单价分别为55元/套和60元/套，设甲校人数为x，乙校人数为100-x，根据单独购买总费用列一元一次方程求解即可。
(3) 第三问先算出甲校抽调9人后的总人数为91人，分类讨论三种购买方案：两校各自购买、联合购买91套、联合购买100套，分别计算三种方案的费用，比较大小即可得到最省钱的方案。
【解析】
(1) 两校联合购买100套服装的总费用为：$\boldsymbol{50×100=5000}$（元）
比各自购买节省的费用为：$5710-5000=710$（元）
(2) 设甲校有学生$x$人，依题意得$50＜x＜100$，则乙校有学生$(100-x)$人。
根据单独购买总费用列方程：
$55x+60×(100-x)=5710$
展开得：$55x+6000-60x=5710$
移项合并得：$-5x=-290$
解得：$x=58$
则乙校人数为：$100-58=42$（人）
(3) 甲校抽调9人后剩余$58-9=49$人，两校总人数为$49+42=91$人，共有3种购买方案：
方案一：两校各自购买：
总费用为$49×60+42×60=5460$（元）
方案二：联合购买91套：
总费用为$91×55=5005$（元）
方案三：联合购买100套：
总费用为$100×50=5000$（元）
对比费用：$5460＞5005＞5000$，因此联合购买100套最省钱。
【答案】
(1) 比各自购买服装共可以节省710元；
(2) 甲校有58名学生，乙校有42名学生；
(3) 有3种购买方案，甲、乙两校联合起来按每套50元一次性购买100套服装最省钱。
【知识点】
一元一次方程的应用，最优方案选择，有理数运算应用
【点评】
本题结合生活中团购优惠的实际场景命题，考查从表格提取有效信息的能力、方程建模思想和分类讨论思想，第三问容易遗漏购买100套的优惠方案，解题时需全面考虑所有可能的购买方式，再对比费用得到最优解，和生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
