5. (1) 如图1,在四边形ABCD中,AB//CD,点P在BC上,∠B=∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD.
(2) 如图2,在四边形ABCD中,点P在边BC上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
(3) 如图3,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8√2,CE=6,求DE的长.

(1)证明:$\because AB// CD,∠B = ∠APD = 90°,$
$\therefore ∠C = ∠B = 90°,∠BAP + ∠APB = 90°,∠APB + ∠CPD = 90°,$
$\therefore ∠BAP = ∠CPD,\therefore △ABP∽△PCD.$
(2)证明:$\because ∠B = ∠C = ∠APD,∠CPD = 180° - ∠APD - ∠APB,$
$∠BAP = 180° - ∠APB - ∠B,$
$\therefore ∠CPD = ∠BAP,\therefore △ABP∽△PCD.$
(3)解:由(2)知$△BDP∽△CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}.$
$\because$ 点$P$是边$BC$的中点,$BC = 8\sqrt{2},\therefore BP = CP = 4\sqrt{2}.$
$\because CE = 6,\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD = \frac{16}{3}.$
$\because ∠B = ∠C = 45°,\therefore ∠A = 90°.$
又$\because BC = 8\sqrt{2},\therefore AC = AB = 8,$
$\therefore AD = AB - BD = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3},AE = AC - CE = 8 - 6 = 2,$
$\therefore DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \frac{10}{3}.$

【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理：首先由AB//CD、∠B=90°可得∠C=90°，再结合∠APD=90°，利用同角的余角相等可推出∠BAP=∠CPD，两组角对应相等即可证明相似。
(2) 属于“一线三等角”的通用模型，利用平角的定义和三角形内角和定理，可得∠BAP和∠CPD均等于180°-∠APB-∠B（或∠APD），进而得到两角相等，结合∠B=∠C即可证明相似。
(3) 首先直接应用(2)的结论得到△BDP∽△CPE，根据相似三角形对应边成比例求出BD的长度；再由∠B=∠C=45°判断△ABC为等腰直角三角形，求出AB、AC的长度，进而得到AD、AE的长度，最后在直角△ADE中用勾股定理计算DE的长度。
【解析】
(1) 证明:$\because AB// CD,∠B = ∠APD = 90°,$
$\therefore ∠C = ∠B = 90°,∠BAP + ∠APB = 90°,∠APB + ∠CPD = 90°,$
$\therefore ∠BAP = ∠CPD,\therefore △ABP∽△PCD.$
(2) 证明:$\because ∠B = ∠C = ∠APD,∠CPD = 180° - ∠APD - ∠APB,$
$∠BAP = 180° - ∠APB - ∠B,$
$\therefore ∠CPD = ∠BAP,\therefore △ABP∽△PCD.$
(3) 解:由(2)知$△BDP∽△CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}.$
$\because$ 点$P$是边$BC$的中点,$BC = 8\sqrt{2},\therefore BP = CP = 4\sqrt{2}.$
$\because CE = 6,\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD = \frac{16}{3}.$
$\because ∠B = ∠C = 45°,\therefore ∠A = 180°-45°-45°= 90°.$
又$\because BC = 8\sqrt{2},\therefore AC = AB = BC·\sin45°=8\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=8,$
$\therefore AD = AB - BD = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3},AE = AC - CE = 8 - 6 = 2,$
$\therefore DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9}+\frac{36}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}.$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题围绕“一线三等角”相似模型展开，从特殊的直角情形到一般等角情形逐步推导，最后迁移结论完成计算，既考查了相似三角形的判定与性质的灵活应用，也结合了等腰直角三角形、勾股定理的相关知识，能较好地锻炼逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65

变式 [2025 河南中考改编] 在 $∠ AOB$ 中,点 $C$ 是$∠ AOB$ 的平分线上一点,过点 $C$ 作 $CD ⊥ OB$,垂足为点 $D$,过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$,垂足为点 $E$,直线 $DE,OC$ 交于点 $F$,过点 $C$ 作 $CG ⊥ DE$,垂足为点 $G$.
(1)观察猜想
如图1,当$∠ AOB$为锐角时,用等式表示线段 $CG,OE,OD$ 的数量关系:.
(2)类比探究
如图2,当$∠ AOB$为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.
(3)拓展应用
当$0° ＜ ∠ AOB ＜ 180°$,且$∠ AOB ≠ 90°$时,若$\frac{GF}{EF}=3$,求$\frac{OD}{CD}$的值.

解题思路:(1)过点$C$作$CP ⊥ OA$于点$P$,由角平分线的性质得$CP = CD$,再证明$\mathrm{Rt}△POC≌\mathrm{Rt}△DOC$,得$OP = OD$,说明四边形$CPEG$是矩形得$PE = CG$,根据线段的和差及等量代换即可求解;(3)分$0° ＜ ∠AOB ＜ 90°$和$90° ＜ ∠AOB ＜ 180°$两种情况,利用“一线三等角”模型、(1)(2)中的结论和相似三角形的性质即可求解.
解:(1)$OD = CG + OE$

过点$C$作$CP ⊥ OA$于点$P.$ $\because OC$平分$∠AOB,CD ⊥ OB,CP ⊥ OA,\therefore CP = CD.$ 在$\mathrm{Rt}△POC$和$\mathrm{Rt}△DOC$中,$CP = CD,OC = OC,\therefore \mathrm{Rt}△POC≌\mathrm{Rt}△DOC(\mathrm{HL}),\therefore OP = OD.$ $\because DE ⊥ OA,CG ⊥ DE,CP ⊥ OA,\therefore ∠CPE = ∠PEG = ∠CGE = 90°,$
$\therefore$ 四边形$CPEG$是矩形,$\therefore PE = CG,\therefore OD = OP = PE + OE = CG + OE.$
(2)补全图形如所示.
不成立,正确结论为$OD = CG - OE.$ 证明如下:
过点$C$作$CQ ⊥ OA$于点$Q.$
$\because OC$平分$∠AOB,CD ⊥ OB,CQ ⊥ OA,\therefore CQ = CD.$
在$\mathrm{Rt}△QOC$和$\mathrm{Rt}△DOC$中,$CQ = CD,OC = OC,$
$\therefore \mathrm{Rt}△QOC≌\mathrm{Rt}△DOC(\mathrm{HL}),\therefore OQ = OD.$
$\because DE ⊥ OA,CG ⊥ DE,CQ ⊥ OA,$
$\therefore ∠CQE = ∠QEG = ∠CGE = 90°,$
$\therefore$ 四边形$CQEG$是矩形,$\therefore QE = CG,$
$\therefore OD = OQ = QE - OE = CG - OE.$
(3)①如,当$0° ＜ ∠AOB ＜ 90°$时,
$\because ∠DCG + ∠CDG = 90°,∠ODE + ∠CDG = 90°,$
$\therefore ∠ODE = ∠DCG.$
又$\because ∠DEO = ∠CGD,\therefore △DOE∽△CDG,\therefore \frac{OD}{DC}=\frac{DE}{CG}.$
$\because CG// OE,\therefore △CGF∽△OEF,$
$\therefore \frac{CG}{OE}=\frac{GF}{EF}=3,\therefore CG = 3OE,\therefore OD = CG + OE = 4OE,$
$\therefore DE = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{(4OE)^2 - OE^2} = \sqrt{15}OE,$
$\therefore \frac{OD}{CD}=\frac{DE}{CG}=\frac{\sqrt{15}OE}{3OE}=\frac{\sqrt{15}}{3}.$
②如,当$90° ＜ ∠AOB ＜ 180°$时,
已知$∠CGD = ∠CDO = ∠OED$("一线三等角"模型),
易得$△DOE∽△CDG,\therefore \frac{OD}{DC}=\frac{DE}{CG}.$
$\because CG// OE,\therefore △OEF∽△CGF,$
$\therefore \frac{CG}{OE}=\frac{GF}{EF}=3,\therefore CG = 3OE,\therefore OD = CG - OE = 2OE,$
$\therefore DE = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{(2OE)^2 - OE^2} = \sqrt{3}OE,$
$\therefore \frac{OD}{CD}=\frac{DE}{CG}=\frac{\sqrt{3}OE}{3OE}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
综上,$\frac{OD}{CD}$的值为$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}.$

【分析】
解决本题需逐层梳理每小问的解题思路：
(1) 探究三条线段的数量关系时，先利用角平分线的性质，过点C作OA边的垂线，得到该垂线段与CD相等；再通过HL证明两个直角三角形全等，得到OD与OA边上垂足到O点的距离相等；接着通过三个直角证明四边形是矩形，将CG转化为对应线段，通过线段和差即可得到三者关系。
(2) 当∠AOB为钝角时，类比(1)的辅助线作法，过C作OA的垂线，同样利用角平分线性质、全等三角形、矩形的性质推导，注意此时线段的和差关系发生变化，同时按要求补全图形。
(3) 分∠AOB为锐角、钝角两种情况讨论：首先通过角度互余或“一线三等角”模型证明△DOE与△CDG相似，得到OD与CD的比值和DE、CG的关系；再由CG//OE证明△CGF与△OEF相似，结合$\frac{GF}{EF}=3$得到CG与OE的数量关系；最后代入(1)(2)的结论得到OD与OE的关系，用勾股定理求出DE，代入比值计算即可，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 过点$C$作$CP ⊥ OA$于点$P$，如。
$\because OC$平分$∠AOB,CD ⊥ OB,CP ⊥ OA,\therefore CP = CD$。
在$\mathrm{Rt}△POC$和$\mathrm{Rt}△DOC$中，$\begin{cases} CP = CD \\ OC = OC \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△POC≌\mathrm{Rt}△DOC(\mathrm{HL}),\therefore OP = OD$。
$\because DE ⊥ OA,CG ⊥ DE,CP ⊥ OA,\therefore ∠CPE = ∠PEG = ∠CGE = 90°$，
$\therefore$ 四边形$CPEG$是矩形，$\therefore PE = CG$，
$\therefore OD = OP = PE + OE = CG + OE$。
(2) 补全图形如所示，(1)中的结论不成立，正确结论为$OD = CG - OE$。
证明：过点$C$作$CQ ⊥ OA$于点$Q$。
$\because OC$平分$∠AOB,CD ⊥ OB,CQ ⊥ OA,\therefore CQ = CD$。
在$\mathrm{Rt}△QOC$和$\mathrm{Rt}△DOC$中，$\begin{cases} CQ = CD \\ OC = OC \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△QOC≌\mathrm{Rt}△DOC(\mathrm{HL}),\therefore OQ = OD$。
$\because DE ⊥ OA,CG ⊥ DE,CQ ⊥ OA,\therefore ∠CQE = ∠QEG = ∠CGE = 90°$，
$\therefore$ 四边形$CQEG$是矩形，$\therefore QE = CG$，
$\therefore OD = OQ = QE - OE = CG - OE$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$0° ＜ ∠AOB ＜ 90°$时，如：
$\because ∠DCG + ∠CDG = 90°,∠ODE + ∠CDG = 90°$，
$\therefore ∠ODE = ∠DCG$，
又$\because ∠DEO = ∠CGD = 90°,\therefore △DOE∽△CDG$，
$\therefore \frac{OD}{DC}=\frac{DE}{CG}$。
$\because CG// OE,\therefore △CGF∽△OEF$，
$\therefore \frac{CG}{OE}=\frac{GF}{EF}=3,\therefore CG = 3OE$，
结合(1)的结论得$OD = CG + OE = 4OE$，
在$\mathrm{Rt}△DOE$中，$DE = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{(4OE)^2 - OE^2} = \sqrt{15}OE$，
$\therefore \frac{OD}{CD}=\frac{DE}{CG}=\frac{\sqrt{15}OE}{3OE}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
② 当$90° ＜ ∠AOB ＜ 180°$时，如：
由“一线三等角”模型，$∠CGD = ∠CDO = ∠OED = 90°$，
易得$∠GCD = ∠ODE$，$\therefore △DOE∽△CDG$，
$\therefore \frac{OD}{DC}=\frac{DE}{CG}$。
$\because CG// OE,\therefore △OEF∽△CGF$，
$\therefore \frac{CG}{OE}=\frac{GF}{EF}=3,\therefore CG = 3OE$，
结合(2)的结论得$OD = CG - OE = 2OE$，
在$\mathrm{Rt}△DOE$中，$DE = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{(2OE)^2 - OE^2} = \sqrt{3}OE$，
$\therefore \frac{OD}{CD}=\frac{DE}{CG}=\frac{\sqrt{3}OE}{3OE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
综上，$\frac{OD}{CD}$的值为$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{OD = CG + OE}$
(2) 补全图形，(1)中结论不成立，正确结论为$\boldsymbol{OD = CG - OE}$，证明见解析
(3) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{15}}{3}}$或$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合探究题，设问层层递进，融合了角平分线、全等三角形、矩形、相似三角形等多个知识点，渗透了转化、分类讨论的数学思想，有助于锻炼辅助线构造能力和几何知识综合应用能力。
【难度系数】
0.3