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变式 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AC$,$AB$上,且$AE· AB = AD· AC$,连接$BD,ED$.
(1)求证:$∠ ADE = ∠ ABC$;
(2)若$E$为$AB$的中点,$AE = \dfrac{3}{4}AD$,$△ AED$的面积为$8$,求$△ BCD$的面积.
(1)求证:$∠ ADE = ∠ ABC$;
(2)若$E$为$AB$的中点,$AE = \dfrac{3}{4}AD$,$△ AED$的面积为$8$,求$△ BCD$的面积.
答案
(1)证明:$\because AE· AB = AD· AC,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}.$
$\because ∠A = ∠A,\therefore △ADE∽△ABC,\therefore ∠ADE = ∠ABC.$
(2)解:$\because E$为$AB$的中点,$S_{△AED}=8,$
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB,S_{△BDE}=S_{△AED}=8.$
$\because AE = \frac{3}{4}AD,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}.$
由(1)知,$△ADE∽△ABC,\therefore \frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}.$
$\because S_{△AED}=8,\therefore S_{△ABC}=18,$
$\therefore S_{△BCD}=S_{△ABC}-S_{△ADE}-S_{△BED}=18-8-8=2,$
即$△BCD$的面积为2.
$\because ∠A = ∠A,\therefore △ADE∽△ABC,\therefore ∠ADE = ∠ABC.$
(2)解:$\because E$为$AB$的中点,$S_{△AED}=8,$
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB,S_{△BDE}=S_{△AED}=8.$
$\because AE = \frac{3}{4}AD,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}.$
由(1)知,$△ADE∽△ABC,\therefore \frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}.$
$\because S_{△AED}=8,\therefore S_{△ABC}=18,$
$\therefore S_{△BCD}=S_{△ABC}-S_{△ADE}-S_{△BED}=18-8-8=2,$
即$△BCD$的面积为2.
解析
【分析】
(1)要证明∠ADE=∠ABC，可通过证明两角所在的三角形相似得到。首先将题给的乘积式转化为比例式，结合公共角∠A即可证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应角相等即可得证。
(2)首先根据E是AB中点，可知△AED和△BED等高且底相等，因此二者面积相等；再结合AE与AD的关系、AE与AB的关系推导出两个相似三角形的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△AED和△BED的面积即可得到△BCD的面积。
【解析】
(1)证明：
$\because AE· AB = AD· AC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
又$\because ∠A=∠A$，
$\therefore △ADE∽△ABC$，
$\therefore ∠ADE = ∠ABC$。
(2)解：
$\because E$为$AB$的中点，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，$△ AED$和$△ BED$等高且底相等，
$\therefore S_{△BDE}=S_{△AED}=8$。
$\because AE = \frac{3}{4}AD$，
$\therefore AD=\frac{4}{3}AE$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{4}{3}AE}{2AE}=\frac{2}{3}$。
由(1)知$△ADE∽△ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}$，
将$S_{△AED}=8$代入得$S_{△ABC}=18$，
$\therefore S_{△BCD}=S_{△ABC}-S_{△ADE}-S_{△BED}=18-8-8=2$。
【答案】
(1)$∠ADE=∠ABC$得证；
(2)$\boxed{2}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形的常考基础题型，解题关键是掌握将乘积式转化为比例式的技巧，同时灵活运用相似三角形的性质、等高三角形的面积关系进行推导，计算难度不大。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠ADE=∠ABC，可通过证明两角所在的三角形相似得到。首先将题给的乘积式转化为比例式，结合公共角∠A即可证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应角相等即可得证。
(2)首先根据E是AB中点，可知△AED和△BED等高且底相等，因此二者面积相等；再结合AE与AD的关系、AE与AB的关系推导出两个相似三角形的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△AED和△BED的面积即可得到△BCD的面积。
【解析】
(1)证明：
$\because AE· AB = AD· AC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
又$\because ∠A=∠A$，
$\therefore △ADE∽△ABC$，
$\therefore ∠ADE = ∠ABC$。
(2)解：
$\because E$为$AB$的中点，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，$△ AED$和$△ BED$等高且底相等，
$\therefore S_{△BDE}=S_{△AED}=8$。
$\because AE = \frac{3}{4}AD$，
$\therefore AD=\frac{4}{3}AE$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{4}{3}AE}{2AE}=\frac{2}{3}$。
由(1)知$△ADE∽△ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}$，
将$S_{△AED}=8$代入得$S_{△ABC}=18$，
$\therefore S_{△BCD}=S_{△ABC}-S_{△ADE}-S_{△BED}=18-8-8=2$。
【答案】
(1)$∠ADE=∠ABC$得证；
(2)$\boxed{2}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形的常考基础题型，解题关键是掌握将乘积式转化为比例式的技巧，同时灵活运用相似三角形的性质、等高三角形的面积关系进行推导，计算难度不大。
【难度系数】
0.7
4. [2026苏州立达中学期中]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,CE=BF,AE²=AQ·AB.
求证:(1)∠CAE=∠BAF;
(2)△ACE∽△AFQ.
求证:(1)∠CAE=∠BAF;
(2)△ACE∽△AFQ.
答案
(1)$\because AB = AC,\therefore ∠B = ∠C.$
在$△ACE$和$△ABF$中,$\begin{cases}AC = AB,\\∠C = ∠B,\\CE = BF,\end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ABF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠CAE = ∠BAF.$
(2)由(1)知$△ACE≌△ABF,\therefore AE = AF.$
$\because AE^2 = AQ· AB,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AE},\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AQ}{AF}.$
又$\because ∠FAQ = ∠BAF,\therefore △AFQ∽△ABF,\therefore △ACE∽△AFQ.$
在$△ACE$和$△ABF$中,$\begin{cases}AC = AB,\\∠C = ∠B,\\CE = BF,\end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ABF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠CAE = ∠BAF.$
(2)由(1)知$△ACE≌△ABF,\therefore AE = AF.$
$\because AE^2 = AQ· AB,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AE},\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AQ}{AF}.$
又$\because ∠FAQ = ∠BAF,\therefore △AFQ∽△ABF,\therefore △ACE∽△AFQ.$
解析
【分析】
(1) 要证∠CAE=∠BAF，首先由AB=AC可知等腰△ABC的底角∠C=∠B，结合已知CE=BF，可通过SAS判定证明△ACE和△ABF全等，再利用全等三角形对应角相等即可得到结论。
(2) 要证△ACE∽△AFQ，先由(1)的全等结论可得AE=AF，将已知AE²=AQ·AB转化为比例式，替换AE为AF后得到△AFQ和△ABF的对应边成比例，结合公共角∠FAQ=∠BAF可证△AFQ∽△ABF，最后结合△ACE≌△ABF，即可通过相似的传递性得到要证的结论。
【解析】
(1) 证明：$\because AB = AC,\therefore ∠B = ∠C.$
在$△ACE$和$△ABF$中,
$\begin{cases}AC = AB,\\∠C = ∠B,\\CE = BF,\end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ABF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠CAE = ∠BAF.$
(2) 证明：由(1)知$△ACE≌△ABF,\therefore AE = AF.$
$\because AE^2 = AQ· AB,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AE},\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AQ}{AF}.$
又$\because ∠FAQ = ∠BAF,\therefore △AFQ∽△ABF,$
$\therefore △ACE∽△AFQ.$
【答案】
(1) ∠CAE=∠BAF得证；
(2) △ACE∽△AFQ得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是三角形全等和相似的综合基础题，解题关键是先通过全等得到边角的等量关系，再将乘积式转化为比例式，结合夹角相等证明相似，能有效巩固三角形相关性质的应用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠CAE=∠BAF，首先由AB=AC可知等腰△ABC的底角∠C=∠B，结合已知CE=BF，可通过SAS判定证明△ACE和△ABF全等，再利用全等三角形对应角相等即可得到结论。
(2) 要证△ACE∽△AFQ，先由(1)的全等结论可得AE=AF，将已知AE²=AQ·AB转化为比例式，替换AE为AF后得到△AFQ和△ABF的对应边成比例，结合公共角∠FAQ=∠BAF可证△AFQ∽△ABF，最后结合△ACE≌△ABF，即可通过相似的传递性得到要证的结论。
【解析】
(1) 证明：$\because AB = AC,\therefore ∠B = ∠C.$
在$△ACE$和$△ABF$中,
$\begin{cases}AC = AB,\\∠C = ∠B,\\CE = BF,\end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ABF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠CAE = ∠BAF.$
(2) 证明：由(1)知$△ACE≌△ABF,\therefore AE = AF.$
$\because AE^2 = AQ· AB,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AE},\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AQ}{AF}.$
又$\because ∠FAQ = ∠BAF,\therefore △AFQ∽△ABF,$
$\therefore △ACE∽△AFQ.$
【答案】
(1) ∠CAE=∠BAF得证；
(2) △ACE∽△AFQ得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是三角形全等和相似的综合基础题，解题关键是先通过全等得到边角的等量关系，再将乘积式转化为比例式，结合夹角相等证明相似，能有效巩固三角形相关性质的应用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
变式 如图，$△ ABC$和$△ CDE$都是等腰直角三角形，$∠ ABC = ∠ CDE = 90°$，$B,C,E$三点共线，$AE$和$BD$交于点$F$，$AE$交$CD$于点$O$.
求证:(1)$△ BCD ∽ △ ACE$;
(2)$OC^2 = OA · OF$.
求证:(1)$△ BCD ∽ △ ACE$;
(2)$OC^2 = OA · OF$.
答案
(1)$\because △ABC$和$△CDE$为等腰直角三角形,
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CD}=\sqrt{2}.$
$\because ∠ACB = ∠DCE = 45°,$
$\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD,$
$\therefore ∠BCD = ∠ACE,\therefore △BCD∽△ACE.$
(2)$\because △BCD∽△ACE,\therefore ∠BDC = ∠AEC.$
$\because ∠COE = ∠FOD,\therefore △COE∽△FOD,\therefore \frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OD}.$
$\because ∠ACB = ∠DCE = 45°,$
$\therefore ∠ACD = 90° = ∠CDE,\therefore AC// ED,\therefore \frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OD},$
$\therefore \frac{OC}{OF}·\frac{OC}{OD}=\frac{OE}{OD}·\frac{OA}{OE},\therefore OC^2 = OA· OF.$
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CD}=\sqrt{2}.$
$\because ∠ACB = ∠DCE = 45°,$
$\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD,$
$\therefore ∠BCD = ∠ACE,\therefore △BCD∽△ACE.$
(2)$\because △BCD∽△ACE,\therefore ∠BDC = ∠AEC.$
$\because ∠COE = ∠FOD,\therefore △COE∽△FOD,\therefore \frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OD}.$
$\because ∠ACB = ∠DCE = 45°,$
$\therefore ∠ACD = 90° = ∠CDE,\therefore AC// ED,\therefore \frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OD},$
$\therefore \frac{OC}{OF}·\frac{OC}{OD}=\frac{OE}{OD}·\frac{OA}{OE},\therefore OC^2 = OA· OF.$
解析
【分析】
(1)要证明△BCD∽△ACE，可采用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定思路：先结合等腰直角三角形的性质得到两组对应边的比例相等，再推导两个三角形的夹角相等，即可完成证明。
(2)要证明等积式OC²=OA·OF，通常先将其转化为比例式分析：首先利用(1)的相似结论得到角相等，证明△COE∽△FOD得到一组比例关系；再根据角度关系推导AC//DE，结合平行线分线段成比例得到另一组比例关系，联立两组比例式化简即可得到待证结论。
【解析】
(1)
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠CDE=90°，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CD}=\sqrt{2}$，且∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE。
(2)
∵△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
又
∵∠COE=∠FOD（对顶角相等），
∴△COE∽△FOD，
∴$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OD}$ ①。
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACD=180°-45°-45°=90°=∠CDE，
∴AC//ED，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OD}$，变形得$\frac{OE}{OD}=\frac{OA}{OC}$ ②。
将②代入①可得$\frac{OC}{OF}=\frac{OA}{OC}$，
交叉相乘得$OC^2 = OA · OF$。
【答案】
(1)△BCD∽△ACE成立；
(2)$OC^2 = OA · OF$成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，第一问考查相似三角形的基础判定，第二问需要灵活运用前序结论，通过等积式转比例式的思路结合平行线性质推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△BCD∽△ACE，可采用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定思路：先结合等腰直角三角形的性质得到两组对应边的比例相等，再推导两个三角形的夹角相等，即可完成证明。
(2)要证明等积式OC²=OA·OF，通常先将其转化为比例式分析：首先利用(1)的相似结论得到角相等，证明△COE∽△FOD得到一组比例关系；再根据角度关系推导AC//DE，结合平行线分线段成比例得到另一组比例关系，联立两组比例式化简即可得到待证结论。
【解析】
(1)
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠CDE=90°，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CD}=\sqrt{2}$，且∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE。
(2)
∵△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
又
∵∠COE=∠FOD（对顶角相等），
∴△COE∽△FOD，
∴$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OD}$ ①。
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACD=180°-45°-45°=90°=∠CDE，
∴AC//ED，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OD}$，变形得$\frac{OE}{OD}=\frac{OA}{OC}$ ②。
将②代入①可得$\frac{OC}{OF}=\frac{OA}{OC}$，
交叉相乘得$OC^2 = OA · OF$。
【答案】
(1)△BCD∽△ACE成立；
(2)$OC^2 = OA · OF$成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，第一问考查相似三角形的基础判定，第二问需要灵活运用前序结论，通过等积式转比例式的思路结合平行线性质推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
