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1. [2025邵阳绥宁期中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC = 90°$,$BD ⊥ AC$于点$D$,若$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABD}} = \frac{9}{16}$,$CD = 12$,则$BC$的长是
20
.答案
$\because ∠ABC = 90°,\therefore ∠ABD + ∠CBD = 90°.\because BD ⊥ AC,$
$\therefore ∠ABD + ∠A = 90°,\therefore ∠CBD = ∠A.$ 又$\because ∠ADB = ∠BDC,$
$\therefore △ABD∽△BCD,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}.\because \frac{S_{△BCD}}{S_{△ABD}}=\frac{9}{16},\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{3}{4}.$
$\because CD = 12,\therefore BD = 16.$ 在$Rt△BCD$中,由勾股定理可得$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20.$
$\therefore ∠ABD + ∠A = 90°,\therefore ∠CBD = ∠A.$ 又$\because ∠ADB = ∠BDC,$
$\therefore △ABD∽△BCD,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}.\because \frac{S_{△BCD}}{S_{△ABD}}=\frac{9}{16},\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{3}{4}.$
$\because CD = 12,\therefore BD = 16.$ 在$Rt△BCD$中,由勾股定理可得$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20.$
解析
【分析】
本题是相似三角形“双垂直母子型”模型的典型应用，解题思路如下：首先，观察到图形是直角三角形斜边上作高的结构，可通过“同角的余角相等”推导对应角相等，证明△ABD和△BCD相似；其次，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知的面积比得到对应边的比值，代入已知的CD长度求出BD的长；最后在Rt△BCD中用勾股定理即可算出BC的长度。
【解析】
∵ ∠ABC = 90°，
∴ ∠ABD + ∠CBD = 90°，
∵ BD ⊥ AC，
∴ ∠ADB = ∠BDC = 90°，∠ABD + ∠A = 90°，
∴ ∠CBD = ∠A，
∴ △ABD∽△BCD。
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△BCD}}{S_{△ABD}} = \frac{9}{16}$，
∴ 两个三角形的相似比为$\frac{3}{4}$，即$\frac{CD}{BD}=\frac{3}{4}$，
已知CD=12，代入得$\frac{12}{BD}=\frac{3}{4}$，解得BD=16。
在Rt△BCD中，由勾股定理可得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$。
【答案】
20
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形面积比的性质
【点评】
本题考查相似三角形常见模型的应用，解题关键是快速识别双垂直结构下的相似三角形，熟练运用相似的性质结合勾股定理求解线段长度，掌握这类基础相似模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形“双垂直母子型”模型的典型应用，解题思路如下：首先，观察到图形是直角三角形斜边上作高的结构，可通过“同角的余角相等”推导对应角相等，证明△ABD和△BCD相似；其次，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知的面积比得到对应边的比值，代入已知的CD长度求出BD的长；最后在Rt△BCD中用勾股定理即可算出BC的长度。
【解析】
∵ ∠ABC = 90°，
∴ ∠ABD + ∠CBD = 90°，
∵ BD ⊥ AC，
∴ ∠ADB = ∠BDC = 90°，∠ABD + ∠A = 90°，
∴ ∠CBD = ∠A，
∴ △ABD∽△BCD。
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△BCD}}{S_{△ABD}} = \frac{9}{16}$，
∴ 两个三角形的相似比为$\frac{3}{4}$，即$\frac{CD}{BD}=\frac{3}{4}$，
已知CD=12，代入得$\frac{12}{BD}=\frac{3}{4}$，解得BD=16。
在Rt△BCD中，由勾股定理可得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$。
【答案】
20
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形面积比的性质
【点评】
本题考查相似三角形常见模型的应用，解题关键是快速识别双垂直结构下的相似三角形，熟练运用相似的性质结合勾股定理求解线段长度，掌握这类基础相似模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
变式 [2026 泉州培元中学月考] 如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,连接AE,过点B作$BF⊥AE$于点H,交CD于点F,过点C作$CG⊥BF$于点G. 求证:
(1)$CG=BH$;(2)$FC^2=BF· GF$;(3)$\frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}$.
(1)$CG=BH$;(2)$FC^2=BF· GF$;(3)$\frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}$.
答案
(1)在正方形$ABCD$中,$∠ABF + ∠CBF = 90°$,$AB = BC.$
$\because CG ⊥ BF,\therefore ∠CBF + ∠BCG = 90°,\therefore ∠ABF = ∠BCG.$
$\because BF ⊥ AE,CG ⊥ BF,\therefore ∠AHB = ∠BGC.$
在$△ABH$和$△BCG$中,$\begin{cases}∠AHB = ∠BGC,\\∠ABH = ∠BCG,\\AB = BC,\end{cases}$
$\therefore △ABH≌△BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CG = BH.$
(2)$\because ∠BFC = ∠CFG,∠BCF = ∠CGF,$
$\therefore △BFC∽△CFG,\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{FC}{FG},\therefore FC^2 = BF· GF.$
(3)$\because ∠FBC = ∠CBG,∠BCF = ∠BGC,$
$\therefore △BFC∽△BCG,\therefore \frac{BC}{BG}=\frac{BF}{BC},\therefore BC^2 = BG· BF.$
$\because AB = BC,\therefore AB^2 = BG· BF,$
$\therefore \frac{FC^2}{BC^2}=\frac{BF· GF}{BG· BF}=\frac{GF}{BG},\therefore \frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}.$
$\because CG ⊥ BF,\therefore ∠CBF + ∠BCG = 90°,\therefore ∠ABF = ∠BCG.$
$\because BF ⊥ AE,CG ⊥ BF,\therefore ∠AHB = ∠BGC.$
在$△ABH$和$△BCG$中,$\begin{cases}∠AHB = ∠BGC,\\∠ABH = ∠BCG,\\AB = BC,\end{cases}$
$\therefore △ABH≌△BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CG = BH.$
(2)$\because ∠BFC = ∠CFG,∠BCF = ∠CGF,$
$\therefore △BFC∽△CFG,\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{FC}{FG},\therefore FC^2 = BF· GF.$
(3)$\because ∠FBC = ∠CBG,∠BCF = ∠BGC,$
$\therefore △BFC∽△BCG,\therefore \frac{BC}{BG}=\frac{BF}{BC},\therefore BC^2 = BG· BF.$
$\because AB = BC,\therefore AB^2 = BG· BF,$
$\therefore \frac{FC^2}{BC^2}=\frac{BF· GF}{BG· BF}=\frac{GF}{BG},\therefore \frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}.$
解析
【分析】
(1) 证明两条线段相等优先考虑证明线段所在三角形全等。结合正方形性质可得AB=BC，再利用垂直关系推导同角的余角相等，得到∠ABH=∠BCG，结合两个直角相等，即可用AAS判定△ABH≌△BCG，从而得到CG=BH。
(2) 证明等积式可先转化为比例式$\frac{BF}{FC}=\frac{FC}{GF}$，观察比例式对应线段，可通过证明△BFC∽△CFG得到对应边成比例，再转化为等积式即可得证。
(3) 结合第(2)问得到的FC²=BF·GF，再通过证明△BFC∽△BCG得到BC²=BF·BG，利用正方形AB=BC的性质替换BC为AB，将两个等积式作比，约分后即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 在正方形$ABCD$中，$∠ ABF + ∠ CBF = 90°$，$AB = BC$。
$\because CG ⊥ BF$，$\therefore ∠ CBF + ∠ BCG = 90°$，$\therefore ∠ ABF = ∠ BCG$。
$\because BF ⊥ AE$，$CG ⊥ BF$，$\therefore ∠ AHB = ∠ BGC = 90°$。
在$△ ABH$和$△ BCG$中，
$\begin{cases}∠ AHB = ∠ BGC, \\∠ ABH = ∠ BCG, \\AB = BC,\end{cases}$
$\therefore △ ABH ≌ △ BCG(\mathrm{AAS})$，$\therefore CG = BH$。
(2) $\because ∠ BFC = ∠ CFG$，$∠ BCF = ∠ CGF = 90°$，
$\therefore △ BFC ∽ △ CFG$，$\therefore \frac{BF}{CF} = \frac{FC}{FG}$，$\therefore FC^2 = BF · GF$。
(3) $\because ∠ FBC = ∠ CBG$，$∠ BCF = ∠ BGC = 90°$，
$\therefore △ BFC ∽ △ BCG$，$\therefore \frac{BC}{BG} = \frac{BF}{BC}$，$\therefore BC^2 = BG · BF$。
$\because AB = BC$，$\therefore AB^2 = BG · BF$，
$\therefore \frac{FC^2}{BC^2} = \frac{BF · GF}{BG · BF} = \frac{GF}{BG}$，$\therefore \frac{FC^2}{AB^2} = \frac{GF}{GB}$。
【答案】
(1) $CG=BH$得证；
(2) $FC^2=BF·GF$得证；
(3) $\frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}$得证。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合证明题，解题的关键是利用垂直关系推导同角的余角相等，进而得到全等或相似所需的等角条件，等积类证明通常转化为比例式寻找对应相似三角形，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 证明两条线段相等优先考虑证明线段所在三角形全等。结合正方形性质可得AB=BC，再利用垂直关系推导同角的余角相等，得到∠ABH=∠BCG，结合两个直角相等，即可用AAS判定△ABH≌△BCG，从而得到CG=BH。
(2) 证明等积式可先转化为比例式$\frac{BF}{FC}=\frac{FC}{GF}$，观察比例式对应线段，可通过证明△BFC∽△CFG得到对应边成比例，再转化为等积式即可得证。
(3) 结合第(2)问得到的FC²=BF·GF，再通过证明△BFC∽△BCG得到BC²=BF·BG，利用正方形AB=BC的性质替换BC为AB，将两个等积式作比，约分后即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 在正方形$ABCD$中，$∠ ABF + ∠ CBF = 90°$，$AB = BC$。
$\because CG ⊥ BF$，$\therefore ∠ CBF + ∠ BCG = 90°$，$\therefore ∠ ABF = ∠ BCG$。
$\because BF ⊥ AE$，$CG ⊥ BF$，$\therefore ∠ AHB = ∠ BGC = 90°$。
在$△ ABH$和$△ BCG$中，
$\begin{cases}∠ AHB = ∠ BGC, \\∠ ABH = ∠ BCG, \\AB = BC,\end{cases}$
$\therefore △ ABH ≌ △ BCG(\mathrm{AAS})$，$\therefore CG = BH$。
(2) $\because ∠ BFC = ∠ CFG$，$∠ BCF = ∠ CGF = 90°$，
$\therefore △ BFC ∽ △ CFG$，$\therefore \frac{BF}{CF} = \frac{FC}{FG}$，$\therefore FC^2 = BF · GF$。
(3) $\because ∠ FBC = ∠ CBG$，$∠ BCF = ∠ BGC = 90°$，
$\therefore △ BFC ∽ △ BCG$，$\therefore \frac{BC}{BG} = \frac{BF}{BC}$，$\therefore BC^2 = BG · BF$。
$\because AB = BC$，$\therefore AB^2 = BG · BF$，
$\therefore \frac{FC^2}{BC^2} = \frac{BF · GF}{BG · BF} = \frac{GF}{BG}$，$\therefore \frac{FC^2}{AB^2} = \frac{GF}{GB}$。
【答案】
(1) $CG=BH$得证；
(2) $FC^2=BF·GF$得证；
(3) $\frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}$得证。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合证明题，解题的关键是利用垂直关系推导同角的余角相等，进而得到全等或相似所需的等角条件，等积类证明通常转化为比例式寻找对应相似三角形，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2. [2025合肥期末] 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F。若AB=4，AD=3，则AF的长为（
A.$\frac{10}{3}$
B.2
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{3}$
D
）A.$\frac{10}{3}$
B.2
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠ADC = 90°,CD = AB = 4,$
$AB// CD,\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = 5.$ $\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD.$ $\because AB// CD,\therefore △AEF∽△CDF,\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2},\therefore AF = \frac{1}{3}AC = \frac{5}{3}.$
$AB// CD,\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = 5.$ $\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD.$ $\because AB// CD,\therefore △AEF∽△CDF,\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2},\therefore AF = \frac{1}{3}AC = \frac{5}{3}.$
解析
【分析】
要解决本题可按以下思路思考：①首先利用矩形的性质得到直角和边的关系，结合勾股定理先算出对角线AC的总长度；②根据矩形对边平行的性质，可判定△AEF与△CDF相似，结合E是AB中点得到两个三角形的相似比；③利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AF与CF的比值，进而求出AF占AC的比例，最终计算出AF的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ADC = 90°$，$CD = AB = 4$，$AB// CD$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
∵ $E$是$AB$的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠FAE = ∠FCD$，$∠FEA = ∠FDC$，
∴ $△AEF∽△CDF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，即$CF=2AF$，
∵ $AC = AF + CF = 3AF = 5$，
∴ $AF = \frac{5}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形在矩形中的典型应用，解题核心是通过矩形对边平行的性质找到相似三角形，结合线段比例关系求解未知线段长度，是几何部分的基础常考题，需熟练掌握相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决本题可按以下思路思考：①首先利用矩形的性质得到直角和边的关系，结合勾股定理先算出对角线AC的总长度；②根据矩形对边平行的性质，可判定△AEF与△CDF相似，结合E是AB中点得到两个三角形的相似比；③利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AF与CF的比值，进而求出AF占AC的比例，最终计算出AF的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ADC = 90°$，$CD = AB = 4$，$AB// CD$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
∵ $E$是$AB$的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠FAE = ∠FCD$，$∠FEA = ∠FDC$，
∴ $△AEF∽△CDF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，即$CF=2AF$，
∵ $AC = AF + CF = 3AF = 5$，
∴ $AF = \frac{5}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形在矩形中的典型应用，解题核心是通过矩形对边平行的性质找到相似三角形，结合线段比例关系求解未知线段长度，是几何部分的基础常考题，需熟练掌握相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
变式[2025宜宾中考]如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则$\frac{AE}{EC}$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
如图,过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$,$\therefore △AFD∽△ACB,\therefore \frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2.$ $\because AD = 2DB,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3},\therefore \frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=\frac{4}{9}.$ 设$S_{△AFD}=4x$,则$S_{△ACB}=9x.$ $\because$ 沿$DE$将$△ABC$剪成面积相等的两部分,$\therefore S_{△ADE}=\frac{9x}{2},\therefore \frac{S_{△AFD}}{S_{△ADE}}=\frac{4x}{\frac{9x}{2}}=\frac{8}{9}=\frac{AF}{AE}$($△AFD$和$△AED$同高). $\because \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AF}{AE}÷\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AE}·\frac{AC}{AF}=\frac{AC}{AE}=\frac{8}{9}÷\frac{2}{3}=\frac{4}{3},\therefore \frac{AE}{EC}=3.$
解析
【分析】
已知AD=2DB可得AD与AB的比例关系，沿DE裁剪后两部分面积相等即$S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。解题时可先构造平行线得到与△ABC相似的三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出对应小三角形的面积，再结合△ADE的面积条件，利用同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导AE与AC的比例，最终求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$，
$\therefore △AFD∽△ACB$，根据相似三角形性质可得$\frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2$。
$\because AD = 2DB$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，代入得$\frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△AFD}=4x$，则$S_{△ACB}=9x$。
$\because$ 沿$DE$将$△ABC$剪成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ACB}=\frac{9x}{2}$。
$\because △AFD$和$△AED$同高（顶点均为D，底边在AC上），$\therefore \frac{S_{△AFD}}{S_{△ADE}}=\frac{AF}{AE}=\frac{4x}{\frac{9x}{2}}=\frac{8}{9}$。
又$\because \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，两式相除得$\frac{AC}{AE}=\frac{\frac{8}{9}}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{3}$，即$AC=\frac{4}{3}AE$。
$\therefore EC=AC-AE=\frac{1}{3}AE$，故$\frac{AE}{EC}=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积与底的关系，比例计算
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，核心是通过构造平行线得到相似三角形，结合面积比例关系推导线段比例，需熟练掌握相似三角形面积比与相似比的对应关系、同高三角形面积和底边的比例规律。
【难度系数】
0.6
已知AD=2DB可得AD与AB的比例关系，沿DE裁剪后两部分面积相等即$S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。解题时可先构造平行线得到与△ABC相似的三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出对应小三角形的面积，再结合△ADE的面积条件，利用同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导AE与AC的比例，最终求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$，
$\therefore △AFD∽△ACB$，根据相似三角形性质可得$\frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2$。
$\because AD = 2DB$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，代入得$\frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△AFD}=4x$，则$S_{△ACB}=9x$。
$\because$ 沿$DE$将$△ABC$剪成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ACB}=\frac{9x}{2}$。
$\because △AFD$和$△AED$同高（顶点均为D，底边在AC上），$\therefore \frac{S_{△AFD}}{S_{△ADE}}=\frac{AF}{AE}=\frac{4x}{\frac{9x}{2}}=\frac{8}{9}$。
又$\because \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，两式相除得$\frac{AC}{AE}=\frac{\frac{8}{9}}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{3}$，即$AC=\frac{4}{3}AE$。
$\therefore EC=AC-AE=\frac{1}{3}AE$，故$\frac{AE}{EC}=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积与底的关系，比例计算
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，核心是通过构造平行线得到相似三角形，结合面积比例关系推导线段比例，需熟练掌握相似三角形面积比与相似比的对应关系、同高三角形面积和底边的比例规律。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且∠ABD = ∠ACD.求证:
(1)$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$; (2)$∠DAC = ∠CBD$.
(1)$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$; (2)$∠DAC = ∠CBD$.
答案
(1)$\because ∠ABD = ∠ACD,∠AEB = ∠DEC,$
$\therefore △ABE∽△DCE,\therefore \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}.$
(2)$\because \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED},\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{CE}{DE}.$
$\because ∠AED = ∠BEC,\therefore △ADE∽△BCE,\therefore ∠DAC = ∠CBD.$
$\therefore △ABE∽△DCE,\therefore \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}.$
(2)$\because \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED},\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{CE}{DE}.$
$\because ∠AED = ∠BEC,\therefore △ADE∽△BCE,\therefore ∠DAC = ∠CBD.$
解析
【分析】
(1) 要证线段比例式$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$，可通过证明对应三角形相似推导。已知∠ABD=∠ACD，结合AC、BD相交形成的对顶角∠AEB=∠DEC，可证△ABE与△DCE相似，利用相似三角形对应边成比例即可得到结论。
(2) 要证∠DAC=∠CBD，可通过证明两角所在三角形相似推导。将(1)得到的比例式变形，结合对顶角∠AED=∠BEC，可证△ADE与△BCE相似，利用相似三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
(1) $\because ∠ABD = ∠ACD,∠AEB = ∠DEC,$
$\therefore △ABE∽△DCE,\therefore \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}.$
(2) $\because \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED},\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{CE}{DE}.$
$\because ∠AED = ∠BEC,\therefore △ADE∽△BCE,\therefore ∠DAC = ∠CBD.$
【答案】
(1) $\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$得证；
(2) $∠DAC = ∠CBD$得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件（如对顶角相等），结合已知的角相等条件判定三角形相似，再利用相似的性质推导边的比例关系或角的等量关系。
【难度系数】
0.75
(1) 要证线段比例式$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$，可通过证明对应三角形相似推导。已知∠ABD=∠ACD，结合AC、BD相交形成的对顶角∠AEB=∠DEC，可证△ABE与△DCE相似，利用相似三角形对应边成比例即可得到结论。
(2) 要证∠DAC=∠CBD，可通过证明两角所在三角形相似推导。将(1)得到的比例式变形，结合对顶角∠AED=∠BEC，可证△ADE与△BCE相似，利用相似三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
(1) $\because ∠ABD = ∠ACD,∠AEB = ∠DEC,$
$\therefore △ABE∽△DCE,\therefore \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}.$
(2) $\because \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED},\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{CE}{DE}.$
$\because ∠AED = ∠BEC,\therefore △ADE∽△BCE,\therefore ∠DAC = ∠CBD.$
【答案】
(1) $\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$得证；
(2) $∠DAC = ∠CBD$得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件（如对顶角相等），结合已知的角相等条件判定三角形相似，再利用相似的性质推导边的比例关系或角的等量关系。
【难度系数】
0.75
