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1. [2026漳州漳浦期中]用尺规作图将$△ ABC$分割成$△ AEF$和四边形$EFCB$,在下列图形中,$△ ABC$与$△ AEF$不一定相似的是 (
D
)答案
选项A中,由题中作图痕迹,可知所作直线是两条垂直平分线,
∴点 E,F 分别为 AB,AC 的中点,
∴ EF 是△ABC的中位线,
∴ EF // BC,
∴ △AEF∽△ABC. 选项 B 中,由题中作图痕迹,可知所作射线 BF 平分∠ABC,另一条直线垂直平分 BF,
∴ ∠ABF = ∠CBF,BE = FE,
∴ ∠ABF = ∠EFB,
∴ ∠CBF = ∠EFB,
∴ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC. 选项 C 中,由题中作图痕迹,可知∠AEF = ∠ABC,
∴ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC. 选项 D 中,由题中作图痕迹,可知 BF 平分∠ABC,CE 平分∠ACB,但不能判定△AEF∽△ABC.
∴点 E,F 分别为 AB,AC 的中点,
∴ EF 是△ABC的中位线,
∴ EF // BC,
∴ △AEF∽△ABC. 选项 B 中,由题中作图痕迹,可知所作射线 BF 平分∠ABC,另一条直线垂直平分 BF,
∴ ∠ABF = ∠CBF,BE = FE,
∴ ∠ABF = ∠EFB,
∴ ∠CBF = ∠EFB,
∴ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC. 选项 C 中,由题中作图痕迹,可知∠AEF = ∠ABC,
∴ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC. 选项 D 中,由题中作图痕迹,可知 BF 平分∠ABC,CE 平分∠ACB,但不能判定△AEF∽△ABC.
解析
【分析】
本题是尺规作图与相似三角形判定结合的题型，解题思路为：①首先识别每个选项中的尺规作图痕迹，推导得到对应的边角关系；②结合相似三角形的判定定理，逐一判断$△ AEF$和$△ ABC$是否相似；③最终选出不一定相似的选项。相似三角形常用判定方法有：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由作图痕迹可知所作直线是AB、AC的垂直平分线，因此E、F分别是AB、AC的中点，EF是$△ ABC$的中位线，可得$EF// BC$，根据平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似，故$△ AEF∽△ ABC$。
选项B：由作图痕迹可知BF平分$∠ ABC$，另一条直线是BF的垂直平分线，因此$∠ ABF=∠ CBF$，且$BE=FE$，可得$∠ ABF=∠ EFB$，等量代换得$∠ CBF=∠ EFB$，故$EF// BC$，因此$△ AEF∽△ ABC$。
选项C：由作图痕迹可知所作$∠ AEF=∠ ABC$，同位角相等可得$EF// BC$，因此$△ AEF∽△ ABC$。
选项D：由作图痕迹可知BF平分$∠ ABC$、CE平分$∠ ACB$，但无法推导得到EF与BC平行，也没有其他满足相似三角形判定的条件，因此$△ AEF$和$△ ABC$不一定相似。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图识别；相似三角形判定；角平分线性质
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形判定结合考查，解题的核心是准确识别基本尺规作图的痕迹，推导得到对应的边角关系，再结合相似判定定理判断，要求学生熟练掌握基本作图的性质及相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
本题是尺规作图与相似三角形判定结合的题型，解题思路为：①首先识别每个选项中的尺规作图痕迹，推导得到对应的边角关系；②结合相似三角形的判定定理，逐一判断$△ AEF$和$△ ABC$是否相似；③最终选出不一定相似的选项。相似三角形常用判定方法有：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由作图痕迹可知所作直线是AB、AC的垂直平分线，因此E、F分别是AB、AC的中点，EF是$△ ABC$的中位线，可得$EF// BC$，根据平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似，故$△ AEF∽△ ABC$。
选项B：由作图痕迹可知BF平分$∠ ABC$，另一条直线是BF的垂直平分线，因此$∠ ABF=∠ CBF$，且$BE=FE$，可得$∠ ABF=∠ EFB$，等量代换得$∠ CBF=∠ EFB$，故$EF// BC$，因此$△ AEF∽△ ABC$。
选项C：由作图痕迹可知所作$∠ AEF=∠ ABC$，同位角相等可得$EF// BC$，因此$△ AEF∽△ ABC$。
选项D：由作图痕迹可知BF平分$∠ ABC$、CE平分$∠ ACB$，但无法推导得到EF与BC平行，也没有其他满足相似三角形判定的条件，因此$△ AEF$和$△ ABC$不一定相似。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图识别；相似三角形判定；角平分线性质
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形判定结合考查，解题的核心是准确识别基本尺规作图的痕迹，推导得到对应的边角关系，再结合相似判定定理判断，要求学生熟练掌握基本作图的性质及相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
2. [2026眉山东坡区苏祠中学月考] 如图, 在$□ ABCD$中,点F在AB的延长线上,$CF ⊥ AB$于点F.
(1)尺规作图:在AD上找一点E,使得$△ BAE ∽ △ CBF$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若点E为AD的中点,$BC=8,BF=3$,求CD的长.
(1)尺规作图:在AD上找一点E,使得$△ BAE ∽ △ CBF$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若点E为AD的中点,$BC=8,BF=3$,求CD的长.
答案
解题思路:(1)根据平行四边形的对边互相平行可得AD//BC,则∠A = ∠CBF. 要使△BAE∽△CBF,需要再求得一组相等的角. 已知∠F=90°,故可过点 B 作 AD 边上的垂线,垂足为点 E,即可得∠AEB=90°.
解:(1)如图,点 E 即为所求.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = CD,AD = BC = 8.
∵ △BAE∽△CBF,
∴ $\frac{AE}{BF}=\frac{AB}{BC}$,即$\frac{AE}{BF}=\frac{CD}{8}$.
∵ 点 E 为 AD 的中点,
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=4$.
∵ BF = 3,
∴ $\frac{4}{3}=\frac{CD}{8}$,
∴ $CD=\frac{32}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要使$△ BAE ∽ △ CBF$，首先根据平行四边形对边平行的性质可得$AD// BC$，因此同位角$∠ A=∠ CBF$。已知$CF⊥ AB$，即$∠ F=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，只需再构造$∠ AEB=90°$即可，也就是过点$B$作$AD$的垂线，垂足就是所求的点$E$。
(2) 求$CD$的长时，先利用平行四边形对边相等的性质，得到$AD=BC=8$、$AB=CD$，结合$E$是$AD$中点可求出$AE$的长度；再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数值即可求出$CD$的长。
【解析】
(1) 过点$B$作$BE⊥ AD$，垂足$E$即为所求，作图痕迹如图所示。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AD = BC = 8$。
∵ $△ BAE ∽ △ CBF$，
∴ 对应边成比例：$\frac{AE}{BF}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AE}{BF}=\frac{CD}{BC}$。
∵ 点$E$为$AD$的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。
将$AE=4$，$BF=3$，$BC=8$代入比例式得：
$\frac{4}{3}=\frac{CD}{8}$，
解得$CD=\frac{32}{3}$。
【答案】
(1) 点$E$的位置如图所示；
(2) $\boxed{\dfrac{32}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题综合考查了尺规作图、平行四边形性质和相似三角形的应用，第一问需要结合相似的判定条件反推作图要求，第二问需要熟练运用相似三角形的比例关系和平行四边形的边的性质求解，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要使$△ BAE ∽ △ CBF$，首先根据平行四边形对边平行的性质可得$AD// BC$，因此同位角$∠ A=∠ CBF$。已知$CF⊥ AB$，即$∠ F=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，只需再构造$∠ AEB=90°$即可，也就是过点$B$作$AD$的垂线，垂足就是所求的点$E$。
(2) 求$CD$的长时，先利用平行四边形对边相等的性质，得到$AD=BC=8$、$AB=CD$，结合$E$是$AD$中点可求出$AE$的长度；再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数值即可求出$CD$的长。
【解析】
(1) 过点$B$作$BE⊥ AD$，垂足$E$即为所求，作图痕迹如图所示
。(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AD = BC = 8$。
∵ $△ BAE ∽ △ CBF$，
∴ 对应边成比例：$\frac{AE}{BF}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AE}{BF}=\frac{CD}{BC}$。
∵ 点$E$为$AD$的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。
将$AE=4$，$BF=3$，$BC=8$代入比例式得：
$\frac{4}{3}=\frac{CD}{8}$，
解得$CD=\frac{32}{3}$。
【答案】
(1) 点$E$的位置如图所示
；(2) $\boxed{\dfrac{32}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题综合考查了尺规作图、平行四边形性质和相似三角形的应用，第一问需要结合相似的判定条件反推作图要求，第二问需要熟练运用相似三角形的比例关系和平行四边形的边的性质求解，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABO$的顶点A在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$∠ ABO=90°$，过边AO的三等分点M,N分别作x轴的平行线交AB于点P,Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（
A.9
B.12
C.15
D.18
D
）A.9
B.12
C.15
D.18
答案
∵ NQ//MP//OB,
∴ △ANQ∽△AMP∽△AOB.
∵ M,N是 OA 的三等分点,
∴ $\frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$,$\frac{AN}{AO}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{S_{△ANQ}}{S_{△AMP}}=\frac{1}{4}$.
∵ 四边形MNQP 的面积为 3,
∴ $\frac{S_{△ANQ}}{3+S_{△ANQ}}=\frac{1}{4}$,
∴ $S_{△ANQ}=1$.
∵ $\frac{S_{△ANQ}}{S_{△AOB}}=(\frac{AN}{AO})^2=\frac{1}{9}$,
∴ $S_{△AOB}=9$,
∴ $k=2S_{△AOB}=18$.
解析
【分析】
解题时首先观察到NQ、MP均平行于x轴（即OB），可判定△ANQ、△AMP、△AOB两两相似；再结合M、N是AO的三等分点，得到三组相似三角形的相似比，利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质，结合已知四边形MNQP的面积，先求出最小的△ANQ的面积，再求出△AOB的面积；最后根据反比例函数中k的几何意义，即可求出k的值。
【解析】
∵ NQ//MP//OB，
∴ △ANQ∽△AMP∽△AOB。
∵ M、N是OA的三等分点，
∴ $\frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$，$\frac{AN}{AO}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ANQ}}{S_{△AMP}}=(\frac{AN}{AM})^2=\frac{1}{4}$。
已知四边形MNQP的面积为3，即$S_{△AMP}-S_{△ANQ}=3$，
设$S_{△ANQ}=s$，则$S_{△AMP}=4s$，代入得$4s - s = 3$，解得$s=1$，即$S_{△ANQ}=1$。
又
∵ $\frac{S_{△ANQ}}{S_{△AOB}}=(\frac{AN}{AO})^2=\frac{1}{9}$，
∴ $S_{△AOB}=9S_{△ANQ}=9×1=9$。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$中k的几何意义，$S_{△AOB}=\frac{1}{2}|k|$，且k＞0，
∴ $k=2S_{△AOB}=2×9=18$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形与反比例函数的综合题，解题核心是利用相似三角形的面积比与相似比的关系求出△AOB的面积，再结合反比例函数k的几何意义求解，是反比例函数结合几何的典型考法，需要熟练掌握相关性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到NQ、MP均平行于x轴（即OB），可判定△ANQ、△AMP、△AOB两两相似；再结合M、N是AO的三等分点，得到三组相似三角形的相似比，利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质，结合已知四边形MNQP的面积，先求出最小的△ANQ的面积，再求出△AOB的面积；最后根据反比例函数中k的几何意义，即可求出k的值。
【解析】
∵ NQ//MP//OB，
∴ △ANQ∽△AMP∽△AOB。
∵ M、N是OA的三等分点，
∴ $\frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$，$\frac{AN}{AO}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ANQ}}{S_{△AMP}}=(\frac{AN}{AM})^2=\frac{1}{4}$。
已知四边形MNQP的面积为3，即$S_{△AMP}-S_{△ANQ}=3$，
设$S_{△ANQ}=s$，则$S_{△AMP}=4s$，代入得$4s - s = 3$，解得$s=1$，即$S_{△ANQ}=1$。
又
∵ $\frac{S_{△ANQ}}{S_{△AOB}}=(\frac{AN}{AO})^2=\frac{1}{9}$，
∴ $S_{△AOB}=9S_{△ANQ}=9×1=9$。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$中k的几何意义，$S_{△AOB}=\frac{1}{2}|k|$，且k＞0，
∴ $k=2S_{△AOB}=2×9=18$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形与反比例函数的综合题，解题核心是利用相似三角形的面积比与相似比的关系求出△AOB的面积，再结合反比例函数k的几何意义求解，是反比例函数结合几何的典型考法，需要熟练掌握相关性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
4. [2024 苏州中考] 如图，A 为反比例函数$y=-\frac{1}{x}(x ＜ 0)$图象上的一点，连接 AO，过点 O 作 OA 的垂线与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点 B，则$\frac{AO}{BO}$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
如图,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,
∴ $S_{△ACO}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$,$S_{△BDO}=\frac{1}{2}×|4|=2$,∠ACO = ∠ODB = 90°.
∵ OA⊥OB,
∴ ∠AOB = 90°. 根据“一线三等角”模型,可得△AOC∽△OBD,
∴ $\frac{S_{△AOC}}{S_{△OBD}}=(\frac{AO}{BO})^2$,即$\frac{\frac{1}{2}}{2}=(\frac{AO}{BO})^2$,
∴ $\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
遇到反比例函数图象上的点与原点连线、且存在过原点的垂线的问题，可按以下思路解题：首先过两个反比例函数上的点向x轴作垂线构造直角三角形；其次利用反比例函数|k|的几何意义求出两个直角三角形的面积；再根据垂直关系推导两个三角形的角的等量关系，证明两三角形相似；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入面积即可求出线段的比值。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴ $∠ ACO = ∠ ODB = 90°$，根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$，$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵ $OA⊥ OB$，
∴ $∠ AOB = 90°$，
∴ $∠ AOC + ∠ BOD = 180° - 90° = 90°$，
又
∵ $∠ AOC + ∠ OAC = 90°$，
∴ $∠ OAC = ∠ BOD$，
∴ $△ AOC ∽ △ OBD$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ AOC}}{S_{△ OBD}}=(\frac{AO}{BO})^2$，
代入面积得：$\frac{\frac{1}{2}}{2}=(\frac{AO}{BO})^2$，即$(\frac{AO}{BO})^2=\frac{1}{4}$，
∵ AO、BO均为线段，比值为正，
∴ $\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与相似三角形的综合题型，解题核心是构造直角三角形，结合一线三等角模型证明三角形相似，同时需熟练掌握反比例函数k的几何意义，能有效锻炼函数与几何结合的综合解题思维。
【难度系数】
0.7
遇到反比例函数图象上的点与原点连线、且存在过原点的垂线的问题，可按以下思路解题：首先过两个反比例函数上的点向x轴作垂线构造直角三角形；其次利用反比例函数|k|的几何意义求出两个直角三角形的面积；再根据垂直关系推导两个三角形的角的等量关系，证明两三角形相似；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入面积即可求出线段的比值。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴ $∠ ACO = ∠ ODB = 90°$，根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$，$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵ $OA⊥ OB$，
∴ $∠ AOB = 90°$，
∴ $∠ AOC + ∠ BOD = 180° - 90° = 90°$，
又
∵ $∠ AOC + ∠ OAC = 90°$，
∴ $∠ OAC = ∠ BOD$，
∴ $△ AOC ∽ △ OBD$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ AOC}}{S_{△ OBD}}=(\frac{AO}{BO})^2$，
代入面积得：$\frac{\frac{1}{2}}{2}=(\frac{AO}{BO})^2$，即$(\frac{AO}{BO})^2=\frac{1}{4}$，
∵ AO、BO均为线段，比值为正，
∴ $\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与相似三角形的综合题型，解题核心是构造直角三角形，结合一线三等角模型证明三角形相似，同时需熟练掌握反比例函数k的几何意义，能有效锻炼函数与几何结合的综合解题思维。
【难度系数】
0.7
5. 教材复习题变式 如图1,在△ABC中,∠B=36°,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿折线A→B→C向点C运动,设点P的运动时间为t s,AP的长度为y cm,则y关于t的函数图象如图2所示,当AP恰好平分∠BAC时,t=
$2\sqrt{5} + 2$
. 答案
如图,连接 AP,由题图 2 可得,AB = BC = 4 cm(点 P 在 AB 上运动时,AP 的长度在变大,当点 P 在 BC 上运动时,AP 的长度先减小再变大).
∵ ∠B = 36°,AB = BC,
∴ ∠BAC = ∠C = 72°. 当 AP 平分∠BAC 时,∠BAP = ∠PAC = ∠B = 36°,
∴ ∠APC = ∠C = 72°,
∴ AP = AC = BP.
∵ ∠PAC = ∠B,∠C = ∠C,
∴ △APC∽△BAC,
∴ $\frac{AP}{BA}=\frac{PC}{AC}$,
∴ $AP^2 = BA·PC = 4(4 - AP)$,
∴ $AP = 2\sqrt{5} - 2$(负值已舍去),
∴ $t=\frac{4+2\sqrt{5}-2}{1}=2\sqrt{5}+2$.
解析
【分析】
解题需先结合函数图像获取△ABC的边长信息：0~4s时AP长度随t增大而增大，对应点P从A运动到B，速度为1cm/s，因此AB=4cm；4~8s时AP长度先减后增，对应点P从B运动到C，因此BC=4cm，得AB=BC，△ABC为等腰三角形。再结合∠B=36°计算各内角度数，当AP平分∠BAC时，根据角度关系可推出等腰三角形与相似三角形，利用相似的比例关系列方程求出BP的长度，最后计算点P运动的总路程即可得到t的值。
【解析】
连接AP，由图2可知：
点P在0~4s沿A→B运动，速度为1cm/s，故$AB=1×4=4\mathrm{cm}$；
点P在4~8s沿B→C运动，故$BC=1×(8-4)=4\mathrm{cm}$，即$AB=BC=4\mathrm{cm}$。
∵ $∠ B=36°$，$AB=BC$，
∴ $∠ BAC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
当AP平分$∠ BAC$时，$∠ BAP=∠ PAC=36°=∠ B$，
∴ $AP=BP$，且$∠ APC=∠ B+∠ BAP=72°=∠ C$，
∴ $AP=AC=BP$。
又
∵ $∠ PAC=∠ B=36°$，$∠ C$是公共角，
∴ $△ APC ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{AP}{BA}=\frac{PC}{AC}$，即$AP^2=BA·PC$。
设$AP=BP=x\mathrm{cm}$，则$PC=(4-x)\mathrm{cm}$，代入得：
$x^2=4(4-x)$，整理得$x^2+4x-16=0$，
解得$x=2\sqrt{5}-2$（负值不符合实际，舍去）。
点P运动的总路程为$AB+BP=4+(2\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}+2\mathrm{cm}$，
运动速度为$1\mathrm{cm/s}$，因此$t=\frac{2\sqrt{5}+2}{1}=2\sqrt{5}+2$。
【答案】
$2\sqrt{5}+2$
【知识点】
函数图像信息提取；等腰三角形性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是动点与函数图像结合的几何综合题，需要先从图像中提取边长信息，再结合等腰三角形的角度特征、相似三角形的性质列方程求解，能有效考察数形结合思想和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
解题需先结合函数图像获取△ABC的边长信息：0~4s时AP长度随t增大而增大，对应点P从A运动到B，速度为1cm/s，因此AB=4cm；4~8s时AP长度先减后增，对应点P从B运动到C，因此BC=4cm，得AB=BC，△ABC为等腰三角形。再结合∠B=36°计算各内角度数，当AP平分∠BAC时，根据角度关系可推出等腰三角形与相似三角形，利用相似的比例关系列方程求出BP的长度，最后计算点P运动的总路程即可得到t的值。
【解析】
连接AP，由图2可知：
点P在0~4s沿A→B运动，速度为1cm/s，故$AB=1×4=4\mathrm{cm}$；
点P在4~8s沿B→C运动，故$BC=1×(8-4)=4\mathrm{cm}$，即$AB=BC=4\mathrm{cm}$。
∵ $∠ B=36°$，$AB=BC$，
∴ $∠ BAC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
当AP平分$∠ BAC$时，$∠ BAP=∠ PAC=36°=∠ B$，
∴ $AP=BP$，且$∠ APC=∠ B+∠ BAP=72°=∠ C$，
∴ $AP=AC=BP$。
又
∵ $∠ PAC=∠ B=36°$，$∠ C$是公共角，
∴ $△ APC ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{AP}{BA}=\frac{PC}{AC}$，即$AP^2=BA·PC$。
设$AP=BP=x\mathrm{cm}$，则$PC=(4-x)\mathrm{cm}$，代入得：
$x^2=4(4-x)$，整理得$x^2+4x-16=0$，
解得$x=2\sqrt{5}-2$（负值不符合实际，舍去）。
点P运动的总路程为$AB+BP=4+(2\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}+2\mathrm{cm}$，
运动速度为$1\mathrm{cm/s}$，因此$t=\frac{2\sqrt{5}+2}{1}=2\sqrt{5}+2$。
【答案】
$2\sqrt{5}+2$
【知识点】
函数图像信息提取；等腰三角形性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是动点与函数图像结合的几何综合题，需要先从图像中提取边长信息，再结合等腰三角形的角度特征、相似三角形的性质列方程求解，能有效考察数形结合思想和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
6. [2026广州海珠区期末]如图,在$□ ABCD$中,点E是AB的中点,EC与BD交于点F.
(1)求证:$△ BFE ∽ △ DFC$.
(2)若$DB=6$,求BF的长.
(1)求证:$△ BFE ∽ △ DFC$.
(2)若$DB=6$,求BF的长.
答案
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠EBF = ∠CDF,∠BEF = ∠DCF,
∴ △BFE∽△DFC.
(2)解:
∵ △BFE∽△DFC,
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BF}{DF}$.
∵ 点 E 是 AB 的中点,
∴ AB = 2BE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = DC,
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{2}$.
∵ DB = 6,
∴ $BF=\frac{1}{3}DB=2$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠EBF = ∠CDF,∠BEF = ∠DCF,
∴ △BFE∽△DFC.
(2)解:
∵ △BFE∽△DFC,
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BF}{DF}$.
∵ 点 E 是 AB 的中点,
∴ AB = 2BE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = DC,
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{2}$.
∵ DB = 6,
∴ $BF=\frac{1}{3}DB=2$.
解析
【分析】
(1) 要证明△BFE∽△DFC，可优先考虑两角对应相等的相似判定定理。已知四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，可得AB//CD，进而推出两组内错角相等，满足相似的判定条件。
(2) 求BF的长度时，先利用(1)的相似结论得到对应边成比例，再结合E是AB中点、平行四边形对边相等的性质，推导出BF和DF的比例关系，最后结合BD的总长度按比例计算即可得到BF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EBF = ∠CDF，∠BEF = ∠DCF，
∴ △BFE∽△DFC。
(2) 解：
∵ △BFE∽△DFC，
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BF}{DF}$。
∵ 点E是AB的中点，
∴ AB = 2BE。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{2}$，即DF=2BF。
∵ DB = BF + DF = 3BF = 6，
∴ $BF=2$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) BF的长为2。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，结合了平行四边形与相似三角形的核心考点，侧重考察基础定理的应用能力，理清边的比例关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△BFE∽△DFC，可优先考虑两角对应相等的相似判定定理。已知四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，可得AB//CD，进而推出两组内错角相等，满足相似的判定条件。
(2) 求BF的长度时，先利用(1)的相似结论得到对应边成比例，再结合E是AB中点、平行四边形对边相等的性质，推导出BF和DF的比例关系，最后结合BD的总长度按比例计算即可得到BF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EBF = ∠CDF，∠BEF = ∠DCF，
∴ △BFE∽△DFC。
(2) 解：
∵ △BFE∽△DFC，
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BF}{DF}$。
∵ 点E是AB的中点，
∴ AB = 2BE。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，
∴ $\frac{BE}{DC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{2}$，即DF=2BF。
∵ DB = BF + DF = 3BF = 6，
∴ $BF=2$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) BF的长为2。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，结合了平行四边形与相似三角形的核心考点，侧重考察基础定理的应用能力，理清边的比例关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
